1、5月月考数学一、选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分）1.在等差数列中，若，则等于（ ）A. 13B. 15C. 17D. 48【答案】A【解析】【分析】直接利用等差中项公式求解即可【详解】解： 等差数列中，若，则13故选：A 【点睛】本题考查等差中项公式的应用；基础题.2.设mN*，且m25，则（20m）（21m）（26m）等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由排列数公式可得（20m）（21m）（26m），即可得答案【详解】根据题意，（20m）（21m）（26m），故选：A【点睛】本题考查排列数公式，关键是掌握排列数公式的形式，属于基础题3. 拋掷
2、2颗骰子，所得点数之和记为，那么4表示的随机试验结果是()A. 2颗都是4点B. 1颗是1点，另1颗是3点C. 2颗都是2点D. 1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点【答案】D【解析】考点：离散型随机变量及其分布列分析：题目要求点数之和为=4表示的随机试验结果，对于选择题我们可以代入选项检验，从而选出正确答案，题目考查的是变量所取得数字与试验中事件相互对应解：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是=4代表的所有试验结果故选D4.已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1+a918，a47，则S10（ ）A. 55B. 81C. 90D. 100【答案】D【解析】【分析】
3、利用等差数列的通项公式可得a1及公差d，再利用前n项和公式即可得到S10【详解】设等差数列知an的公差为d，a1+a918，a47，解得S10101+452100故选：D【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题型，熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题的关键5.从标110的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为，那么随机变量可能取的值有（ ）A. 17个B. 18个C. 19个D. 20个【答案】A【解析】2支竹签上的数字是110中的两个，若其中一个为1，另一个可取210，相应X可取得311，同理一个为2，另一个可取310，相应X可取得512，以此类推，可看到X可取
4、得319间的所有整数，共17个.6.（x）6展开式中常数项是（ ）A. 第4项B. 24CC. CD. 2【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【详解】（x）6展开式的通项公式为，令60，求得，可得展开式中常数项是24，故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题7.从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概
5、率为.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:求出试验的总的基本事件数；求出事件A所包含的基本事件数；代公式=.8.已知各项不为0的等差数列an，满足a72a3a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质化简已知条件，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，即得到的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将的值代入求出值【详解】根据等差数列的性质得：， 变为：，解得，或（舍去），所以，因为数列等比数列，所以，故选：B【点睛】本题考查学生灵活
6、运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题9.已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件10.随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题意，由所有概率的和为可得，
7、故选.11.的展开式中，含项的系数为40，则（ ）A. B. C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可得的系数与的关系，解出即可.【详解】展开式的通项公式为，令，则，故的系数为，故.故选：A.【点睛】本题考查二项展开式中的指定项，利用展开式的通项公式来处理此类问题是不二选择，此类问题属于容易题.12.随机变量的分布列如下表，其中，成等差数列，且，246则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.【详解】由，得.则，故选A.【点睛】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求
8、出13.现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种综上所述，不同的排法共有种.故选D.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的
9、过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组14.已知等比数列an中，有a2a148a8，数列bn是等差数列，其前n项和为Sn，且a8b8，则S15（ ）A. 30B. 60C. 120D. 240【答案】C【解析】【分析】由等比数列的中项性质可得a88，设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和【详解】等比数列an中，有a2a148a8，可得a828a8，解得a88（0舍去），数列bn是等差数列，设
10、公差为d，其前n项和为Sn，由a8b88，可得b1+7d8，则S1515b11514d15（b1+7d）158120故选：C【点睛】本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题15.已知是等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再求出，即得解【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.设an（nN*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T5T6，T6T7T
11、8，则下列结论错误的是（ ）A. 0q1B. a71C. T6与T7均为Tn的最大值D. T9T5【答案】D【解析】【分析】由等比数列的单调性和通项公式逐个选项验证可得【详解】an是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，由T6T7可得a71，故B正确；由T5T6可得a61，q（0，1），故A正确；由an是各项为正数的等比数列且q（0，1），所以数列单调递减，T9T5，故D错误；结合T5T6，T6T7T8，可得C正确故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属中档题17.将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同
12、的排列方法共有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】A【解析】【分析】由题意，可按分步原理计数，根据题设中的规则可分六步解决这个问题，分别计算出每一步的填法种数，再由分步原理即可得到总的排列方法【详解】由题意，可按分步原理计数，第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三数字中任意选一个，有三种选法，第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法，第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法，第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一种填法，第五步，第三行第一个数字不能与第一行与
13、第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法，由分步原理知，总的排列方法有32211112种.故选：A【点睛】本题考查计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理，准确审题正确得出每一步的填法种数也很关键，计数问题是高考的热点，本题需要考虑的因素较多，计数较复杂，有难度,属于中档题18.在数列an中，若an2an12p，（n2，nN*，p为常数），则称an为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断：若an是等方差数列，则an2是等差数列；（1）n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn（kN*，k为常数）也是等方差数列；若an既是等方差数列，又
14、是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【详解】利用等方差数列的定义与等差数列的定义判断；利用等方差数列的定义判断；先表示出akn的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断；利用等方差数列和等差数列的定义判断若数列an是等方差数列，则有p（nN*，且n2），则数列是公差为p的等差数列，故正确；数列（1）n中，an2an12（1）n2（1）n120，（n2，nN*），数列（1）n等方差数列，故正确；数列an中的项列举出来是：a1，a2，ak，a2k，数列akn中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，（ak+12ak2）（ak+22ak
15、+12）a2k2a2k12p（ak+12ak2）+（ak+22ak+12）+（a2k2a2k12）kpak（n+1）2akn2kp，即数列akn是等方差数列，故正确；数列an是等差数列，anan1d1（n2）数列an是等方差数列，an2an12d2（n2），（an+an1）d1d2，当d10时，为常数列；当d10，数列an为常数列则该数列an必为常数列，故正确正确命题的个数是4个故选：D本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题19.如图所示，天花板上挂着3串玻璃球，射击玻璃球规则：每次击中1球，每串中下面球没击中，上面球不能击中，则把这6个球全部击中射
16、击方法数是（ ）A. 78B. 60C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据题意，假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之间被击中，先不考虑限制条件，计算将6个小球按被击中的顺序排成一排的情况，进而计算ABC、DE之间的顺序，据此分析可得答案【详解】解：根据题意，如图：假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之前被击中，若不考虑限制条件，将6个小球按被击中的顺序排成一排，有A66720种情况，ABC之间的顺序有A33种，DE之间的顺序有A22种，其中C在B之前，B在A之前，且E在D之间，则把这6个球全部击中射击方法
17、数是60种；故选：B【点睛】本题考查排列组合的应用，解题的关键在于将原问题转化为有固定顺序的排列问题20.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为，径粗，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数19的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不
18、能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果.【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数；因此，用这6根算筹能表
19、示的两位数的个数为16个.故选D【点睛】本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）21.若与7的等差中项为4，则实数_【答案】1【解析】【分析】根据等差中项的公式，列方程，解方程求得的值.【详解】由于与的等差中项为，故.【点睛】本小题主要考查等差中项的公式.利用公式列方程可求得的值.属于基础题.22.二项式（12x）10展开式中，第5项的二项式系数为_【答案】210【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数【详解】由题意知：通项为，令k+15，得k4，故第五项的二项式系数为：故答
20、案为：210【分析】本题考查二项式展开式二项式系数的求法，注意区别于项的系数，属于基础题23.已知随机变量X的分布列为，则等于_.【答案】【解析】【分析】由概率分布列中所有概率和为1可求得，从而根据互斥事件概率公式计算出概率【详解】，解得a=5，则.故答案为：【点睛】本题考查随机变量概率分布列，掌握概率分布列的性质是解题关键24.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有_种（用数字作答）【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有25.将正奇数划分成下列
21、各组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31，则前n组各数的和是_【答案】n4【解析】【分析】根据题设条件先找到前n组中的数据个数，再求其和即可【详解】依题意知前n组中的数据个数为1+3+5+（2n1）n2，且其中的数据是以1为首项，2为公差的等差数列，故前n组各数的和是n22n4故答案为：n4【点睛】本题关键是分析并求出n组中的数据个数，还考查了等差数列的和的公式，属于基础题26.已知集合Ax|x6n1，nN*，Bx|x2n，nN*，将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an记Sn为数列an的前n项和，若Sm3014，则正整数
22、m值为_【答案】37【解析】【分析】设集合A中的元素从小到大依次排列构成数列bn，设集合B中的元素从小到大依次排列构成数列cn，列举出数列bn、cn中的一些项，根据列出的项，找到满足其前m项和等于3014的项数m即可【详解】设集合A中的元素从小到大依次排列构成等差数列bn，其前n项和为Tn，设集合B中的元素从小到大依次排列构成等比数列cn，其前n项和为Dn，则数列bn：5，11，17，23，29，35，41，47，53，59，65，71，77，83，89，95，101，107，113，119，125，131，137，143，149，155，161，167，173，179，数列cn：2，4，8，
23、16，32，64，128，256，故数列an：2，4，5，8，11，16，17，23，29，32，35，41，47，53，59，64，65，71，77，83，89，95，101，107，113，119，125，128，131，137，143，149，155，161，167，173，179，T30+D73014Sm，m37故答案为：37【点睛】本题主要考查利用等差、等比数列的前n项和公式求数列的和，属于基础题三、解答题（本大题共3小题，共40分）27.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（1）求
24、三种粽子各取到1个的概率；（2）设表示取到豆沙粽子个数，求的分布列【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出基本事件总数，再求出三种粽子各取到1个包含的基本事件个数，由此能求出三种粽子各取到1个的概率（2）设表示取到的豆沙粽子个数，由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列【详解】（1）设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，基本事件总数n120，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m30，三种粽子各取到1个的概率p（2）设表示取到的豆沙粽子个数，由题意得的可能取值为0，1，2，3
25、，P（0），P（1），P（2），P（3），的分布列为： 0 1 2 3 P 【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用28.设等差数列an的前n项和为Sn（nN*），等比数列bn的前n项和为Tn（nN*），已知a13，b11，a3+b210，S3T211（）求数列an、bn通项公式：（）若数列cn满足c11，cn+1cnan，求c100；（）设数列dnanbn，求dn的前n项和Kn【答案】（）an2n+1，bn3n，nN*；（）10000；（）Knn3n+1【解析】【分析】（）等差数列an的公差设为d，等比数列b
26、n的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；（）求得cn+1cnan2n+1，由数列的恒等式cnc1+（c2c1）+（c3c2）+（cncn1），结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；（）求得dnanbn（2n+1）3n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（）等差数列an的公差设为d，前n项和为Sn（nN*），等比数列bn的公比设为q，前n项和为Tn（nN*），由a13，b11，a3+b210，S3T211，可得3+2d+q10，9+3d（1+q）11，解得d2，q3，则an3+2（n1）2n+1，bn3
27、3n13n，nN*；（）若数列cn满足c11，cn+1cnan2n+1，可得cnc1+（c2c1）+（c3c2）+（cncn1）1+3+5+（2n1）n（1+2n1）n2，则c100100210000；（）dnanbn（2n+1）3n，Kn33+532+733+（2n+1）3n，3Kn332+533+734+（2n+1）3n+1，两式相减可得2Kn9+2（32+33+3n）（2n+1）3n+19+2（2n+1）3n+1，化简可得Knn3n+1【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题29.已知递增数列an前n项和为S
28、n，且满足a13，4Sn4n+1an2，设bn（nN*)且数列bn的前n项和为Tn（)求证：数列an为等差数列；（)若对任意的nN*，不等式Tnn（1)n+1恒成立，求实数的取值范围【答案】（)见解析（)（，14)【解析】【分析】（)当n2时，由4Sn4n+1an2，类比可得4Sn14（n1)+1an12，两式相减，再化简整理可得（an+an12)（anan12)0，即an+an120，或anan120，根据数列an是递增数列可排除不符合题意的一项，即可证明结论；（)先根据第（)题的结果计算出数列an的通项公式，以及数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法计算出Tn的表达式，将Tn的表达式代入不
29、等式，分离参变量可得（2n+3)3n+2(1)n+1，构造数列cn：令cn(2n+3)3n+2(1)n+1，通过分别对数列cn的奇偶项的单调性进行分析可得数列cn的最小项的值，即可得到实数的取值范围【详解】（)证明：依题意，当n2时，由4Sn4n+1an2，可得4Sn14(n1)+1an12，两式相减，可得4an4an2an12，化简整理，得(an+an12)(anan12)0，an+an120，或anan120，数列an是递增数列，anan1，则an+an12an12a1236，an+an120不符合题意，anan120，即anan12，数列an是首项为3，公差为2的等差数列（)由（)知，a
30、n3+2(n1)2n+1，nN*，则bn()，故Tnb1+b2+bn()()()()()，将Tn代入不等式，可得n（1)n+1，化简整理，得(2n+3)3n+2(1)n+1，构造数列cn：令cn(2n+3)3n+2(1)n+1，则当n为奇数时，n+2为奇数，cn(2n+3)3n+2(1)n+1 (2n+3)(3n+2)，cn+22(n+2)+33(n+2)+2(1)n+3 (2n+7)（3n+8)，cn+2cn(2n+7)(3n+8)(2n+3)(3n+2) ，n为奇数，n2+2n10，cn+2cn0，即cn+2cn，数列cn的奇数项为单调递增数列，即c1c3c5当n为偶数时，n+2也为偶数，cn(2n+3)3n+2(1)n+1（2n+3)(3n2)，cn+22(n+2)+33(n+2)+2(1)n+3 (2n+7)(3n+4)，cn+2cn(2n+7)(3n+4)(2n+3)(3n2)0，故数列cn的偶数项为单调递增数列，即c2c4c6c125，c214，c333，c4，cnminc214，实数的取值范围为(，14)【点睛】本题主要考查数列求通项公式，求和问题，以及数列与不等式的综合考查了转化与化归思想，整体思想，函数思想，分类讨论，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属综合性较强的中档题
