1、2016年数学全真模拟试卷三试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1已知集合A1，0，2，Bx|x2n1，nZ，则AB 【答案】12 设，是平面内两个不共线的向量，若，则的值 为 【答案】63 从集合1，2，3中随机取一个元素，记为a，从集合2，3，4中随机取一个元素，记为b， 则ab的概率为 【答案】开始输入ww50NY输出c结束（第4题）c 25+(w-50)0.8 c 0.5w4 如图，是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用（单位：元）与行李重量（单位：千克）之间的流程图假定某旅客的托运费为10元，则该旅客托运的行李重
2、量为 千克 【答案】205 函数的零点个数为 【答案】3（第7题）O 20 40 60 80 100 成绩 6 42 108 人数6 在平面直角坐标系中，曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】7 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 【答案】628 若函数的图象关于坐标原点中心对称，且在轴右侧 的第一个极值点为，则函数的最小正周期为 【答案】9 关于定义在上的函数，给出下列三个命题：若，则不是奇函数；若，则在上不是单调减函数；若对任意的恒成立，则是周期函数其中所有正确的命题序号是 【答案】10已知数列的前项和，且既不是等差数列，也不是等比数列，
3、则的 取值集合是 【答案】 【解析】11如果将直线：向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线与圆： 相切，则实数的值构成的集合为 【答案】，【解析】易得直线：，即，圆： 的圆心到直线：的距离，解得或12已知正数x，y满足，则y的最大值为 【答案】【解析】由，得， 所以，从而，解得 13考察下列等式： ， ， ，其中为虚数单位，an，bn(n)均为实数由归纳可得，a2015b2015的值为 【答案】0【解析】通过归纳可得， ，从而a2015b2015 014在ABC中，设，交于点，且，(,),则的值为 【答案】【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC，设AB， 以AB，分别为轴，轴建立平面直角
4、坐标系， 则A， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 由得，所以， 代入，得， 解得，故二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且（1）求角的大小； （2）求ABC面积的最大值（1）由得， 所以，（4分） 故ABC 中，（6分）（2）由正弦定理得，即，（8分） 由余弦定理得，即，（10分） 由得，（当且仅当时取等号）（12分） 所以.（14分）ABCP（第16题）D16（本题满分14分）如图，在四棱锥中，锐角三角形所在的平面与底面垂直， （1）求证：平面；（2
5、）求证：平面 证明：（1）在平面内过点作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，（4分) 而平面，所以， 由得， 又，平面， 所以平面，（8分) （2）因为平面，故， 由得， 故在平面中，（11分) 又平面，平面， 所以平面（14分)17（本题满分14分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB = x m，且（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为m2，则x取何值时，内圈周长最小？ABCD【解】设题中半圆形半径为r（m），矩形ABCD的面积为S（m2），内
6、圈周长为c（m）（1）由题意知：，且，即，于是（m2）当且仅当（m）时，等号成立答：当x = 100（m）时，矩形ABCD的面积最大（6分)（2）由题意知：，于是， 从而（8分) 因为，所以，即， 解得，所以，（10分) 故 因为，（12分) 所以关于r的函数在上是单调减函数故当即（m）时，内圈周长c取得最小值，且最小值为（m）（14分)18（本题满分16分） 在平面直角坐标系中，设椭圆：的焦距为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上横坐标大于2的一点，过点作圆的两条切线分别与 轴交于点，试确定点的坐标，使得的面积最大解：（1）由题意得，且，（2分） 又， 故， 所以椭圆的方程为；（5
7、分） （2）设点，其中，且，又设，不妨， 则直线的方程为：， 则圆心到直线的距离为， 化简得，（8分） 同理， 所以，为方程的两根， 则，（10分） 又的面积为， 所以，（12分） 令，记， 则在恒成立， 所以在上单调递增， 故，即时，最大， 此时的面积最大（16分）19（本题满分16分） 已知函数， （1）若有极值，求a的取值范围；（2）若有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由解：（1）易得，(2分) 若，则，从而无极值； 若a 0，则当时，；时，此时有极小值 综上，a的取值范围是(4分) （2）设P(x0，y0) 是经过原点的切线与函数图象的切点， 则切线方程为，（6分）
8、 因为切线过点(0，0)，于是，即， 因为，所以， 设，则，得，(8分)x（0，1）1（1，）+0 -g(x)极大值1 故当，即时，不存在切线； 当或，即或a0时，有且仅有一条切线， 当，即时，存在两条切线，（12分） 下证：对任意的，在(0，1)内一定有一解，其中 证明在(0，1) 内有一解， 证明在内有一解 令， 则h(1) m 10， 这是关于n的二次函数，所以当n充分大时，一定取得正值， 由介值定理知，在内有唯一解，即证（16分） 20（本题满分16分）已知数列的通项公式，设，（其中，）成等差数列（1）若 当，为连续正整数时，求的值； 当时，求证：为定值；（2）求的最大值 解：（1）依
9、题意，成等差数列，即， 从而， 当为奇数时，解得，不存在这样的正整数； 当为偶数时，解得，所以(3分) 依题意，成等差数列，即， 从而， 当 均为奇数时，左边为偶数，故矛盾； 当 均为偶数时，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，即(8分) （2）设，（）成等差数列，则， 即， 整理得， 若，则，因为，所以只能为2或4， 所以只能为1或2；(12分) 若，则， 故矛盾， 综上，只能，成等差数列或，成等差数列，其中为奇数， 从而的最大值为3(16分)试题（附加题） 21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多
10、做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCDE(第21A题)A（几何证明选讲）如图，已知ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E求证：ABACADAE证明：连结EC，易得BE，（2分） 由题意，BADCAE， 所以ABDAEC，（6分） 从而， 所以ABACADAE（10分）B（矩阵与变换） 求矩阵的特征值和特征向量解：矩阵的特征多项式为，（2分） 令，解得的特征值，（4分） 将代入二元一次方程组 解得 所以矩阵的属于特征值0的一个特征向量为；（7分） 同理，将代入解得 所以矩阵的属于特征值1的一个特征向量为（10分）C（极坐标与参数方程）在极坐标系中，
11、已知A( 1， )，B( 9， )，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及ABC的面积解：易得线段AB的中点坐标为(5，)，（2分） 设点P(，)为直线l上任意一点， 在直角三角形OMP中，cos()5， 所以，l的极坐标方程为cos()5，（6分） 令0，得10，即C(10，0)（8分） 所以，ABC的面积为：(91)10sin20（10分）D（不等式选讲） 已知，求证： 证明：因为，且，（当且仅当时“=”成立） 所以， （4分） 又，（当且仅当时“=”成立） （8分） 由得（当且仅当时“=”成立）（10分） 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定
12、区域内作答，解答时应写出文（第22题） 字说明、证明过程或演算步骤22如图，在正四棱柱中， （1）若，求与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小为，求的值 解：如图，以点为坐标原点，分别 为，轴，建立空间直角坐标系， （1）当时， 则， 设平面的法向量， 则由得， 不妨取，则，此时，（3分） 故，（第22题） 所以与平面所成角的正弦值为；（5分） （2）由得， 设平面的法向量， 则由得， 不妨取，则， 此时，（7分） 又平面的法向量， 故， 解得（10分） 23设为给定的不小于3的正整数数集，记数集的所有元子集的所有元素的和为（1）求，；（2）求解：（1）易得数集， 则，（2分） 数集的2元子集中，每个元素均出现次， 故，（4分） （2）易得数集的元子集中，每个元素均出现次， 故，（6分） 所以 （10分）
