1、习题课(二) 直线与圆一、选择题1已知直线l1:xy10,l2:xy10,则直线l1与直线l2之间的距离为()A1 BC D2解析:选B由平行线间的距离公式可知,直线l1与直线l2之间的距离为.2直线l过点(1,1)和(2,5),点(1 009,b)在直线l上,则b的值为()A2 017 B2 018C2 019 D2 020解析:选C直线l的方程为,即y2x1,令x1 009,则b2 019.3已知点M(a,b)在直线4x3yc0上,若(a1)2(b1)2的最小值为4,则实数c的值为()A21或19 B11或9C21或9 D11或19解析:选B点M(a,b)在直线4x3yc0上,点(1,1)
2、到此直线的最小距离d2,解得c9或11.故选B.4光线从点A(3,5)射到x轴上,经反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离是()A5 B2C5 D10解析:选C根据光学原理,光线从A到B的距离,等于点A关于x轴的对称点A到点B的距离,易求得A(3,5)所以|AB|5.5直线yxb与曲线x有且仅有一个公共点,则b的取值范围是()A|b| B1b1或bC1b1 D非A、B、C的结论 解析:选B作出曲线x和直线yxb,利用图形直观考查它们的关系,寻找解决问题的办法将曲线x变为x2y21(x0)当直线yxb与曲线x2y21相切时,则满足1,|b|,b.观察图象,可得当b或1b1时,直线与曲线
3、x有且仅有一个公共点6(2018全国卷)直线xy20分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x2)2y22上,则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C,3 D2,3解析:选A设圆(x2)2y22的圆心为C,半径为r,点P到直线xy20的距离为d,则圆心C(2,0),r,所以圆心C到直线xy20的距离为2,可得dmax2r3,dmin2r.由已知条件可得|AB|2,所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6,ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上,ABP面积的取值范围是2,6二、填空题7已知圆C:(x1)2(y1)21与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧的中点为M,则过点M的圆
4、C的切线方程是_解析:因为圆C与两轴相切,且M是劣弧的中点,所以直线CM是第二、四象限的角平分线,所以斜率为1,所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为,所以|OM|1,所以M,所以切线方程为y1x1,整理得xy20.答案:xy208圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离的最大值为_解析:圆心到直线的距离为5,再加上圆x2y21的半径,得516,即为所求的最大值答案:69过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2xy20和l2:xy30所截的线段AB以P为中点,则此直线l的方程是_解析:法一:设直线l的方程为yk(x3),将此方程分别与l1,l2的方程联立,得和解得xA和x
5、B.P(3,0)是线段AB的中点,xAxB6,即6,解得k8.故直线l的方程为y8(x3),即8xy240.法二:设直线l1上的点A的坐标为(x1,y1),P(3,0)是线段AB的中点,则直线l2上的点B的坐标为(6x1,y1),解得点A的坐标为,由两点式可得直线l的方程为8xy240.答案:8xy240三、解答题10已知以点C为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4),且圆心在直线x3y150上设点P在圆C上,求PAB的面积的最大值解:线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,线段AB的垂直平分线的方程为y2(x1),即yx3.联立解得即圆心C为(3,6),则半径r2.又|AB|4,圆
6、心C到AB的距离d4,点P到AB的距离的最大值为dr42,PAB的面积的最大值为4(42)168.11已知以点C(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点(1)求证:OAB的面积为定值;(2)设直线y2x4与圆C交于点M,N,若OMON,求圆C的方程解:(1)证明:圆C过原点O,r2OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2.令x0,得y10,y2;令y0,得x10,x22t.SOAB|OA|OB|2t|4,即OAB的面积为定值(2)OMON,CMCN,直线OC垂直平分线段MN.kMN2,kO C.直线OC的方程是yx.t.解得t2或t2.当t2时,圆心C的坐
7、标为(2,1),OC,此时C点到直线y2x4的距离d,圆C与直线y2x4不相交,t2不符合题意,舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.12已知ABC的三个顶点A(1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程;(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;(3)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M,N,使得M是线段PN的中点,求圆C的半径r的取值范围解:(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0),则由题意,可知解得所以圆H的标准方程为x2(y3)210.(2)设圆心到直线l的距离为d,则1d210,所以d3.若直线l的斜率不存在,即lx轴时,则直线方程为x3,满足题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x3)2,圆心到直线l的距离为d3,解得k,所以直线l的方程为4x3y60.综上可知,直线l的方程为x3或4x3y60.(3)由题意得0|CP|r2r,即r|CP|3r恒成立,所以解得r.于是圆C的半径r的取值范围为.