1、习题课（二） 直线与圆一、选择题1已知直线l1：xy10，l2：xy10，则直线l1与直线l2之间的距离为()A1 BC D2解析：选B由平行线间的距离公式可知，直线l1与直线l2之间的距离为.2直线l过点(1，1)和(2,5)，点(1 009，b)在直线l上，则b的值为()A2 017 B2 018C2 019 D2 020解析：选C直线l的方程为，即y2x1，令x1 009，则b2 019.3已知点M(a，b)在直线4x3yc0上，若(a1)2(b1)2的最小值为4，则实数c的值为()A21或19 B11或9C21或9 D11或19解析：选B点M(a，b)在直线4x3yc0上，点(1,1)
2、到此直线的最小距离d2，解得c9或11.故选B.4光线从点A(3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是()A5 B2C5 D10解析：选C根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A到点B的距离，易求得A(3，5)所以|AB|5.5直线yxb与曲线x有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()A|b| B1b1或bC1b1 D非A、B、C的结论 解析：选B作出曲线x和直线yxb，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法将曲线x变为x2y21(x0)当直线yxb与曲线x2y21相切时，则满足1，|b|，b.观察图象，可得当b或1b1时，直线与曲线
3、x有且仅有一个公共点6(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析：选A设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6，ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,6二、填空题7已知圆C：(x1)2(y1)21与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆
4、C的切线方程是_解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为，所以|OM|1，所以M，所以切线方程为y1x1，整理得xy20.答案：xy208圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离的最大值为_解析：圆心到直线的距离为5，再加上圆x2y21的半径，得516，即为所求的最大值答案：69过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是_解析：法一：设直线l的方程为yk(x3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得和解得xA和x
5、B.P(3,0)是线段AB的中点，xAxB6，即6，解得k8.故直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.法二：设直线l1上的点A的坐标为(x1，y1)，P(3,0)是线段AB的中点，则直线l2上的点B的坐标为(6x1，y1)，解得点A的坐标为，由两点式可得直线l的方程为8xy240.答案：8xy240三、解答题10已知以点C为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x3y150上设点P在圆C上，求PAB的面积的最大值解：线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，线段AB的垂直平分线的方程为y2(x1)，即yx3.联立解得即圆心C为(3,6)，则半径r2.又|AB|4，圆
6、心C到AB的距离d4，点P到AB的距离的最大值为dr42，PAB的面积的最大值为4(42)168.11已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：圆C过原点O，r2OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2.令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)OMON，CMCN，直线OC垂直平分线段MN.kMN2，kO C.直线OC的方程是yx.t.解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐
7、标为(2,1)，OC，此时C点到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.12已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解：(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意，可知解得所以圆H的标准方程为x2(y3)210.(2)设圆心到直线l的距离为d，则1d210，所以d3.若直线l的斜率不存在，即lx轴时，则直线方程为x3，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)2，圆心到直线l的距离为d3，解得k，所以直线l的方程为4x3y60.综上可知，直线l的方程为x3或4x3y60.(3)由题意得0|CP|r2r，即r|CP|3r恒成立，所以解得r.于是圆C的半径r的取值范围为.