1、2016年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1设复数z满足（1+2i）z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为_2设集合A=1，0，1，AB=0，则实数a的值为_3如图是一个算法流程图，则输出的k的值是_4为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命500，700）700，900）900，1100）1100，1300）1300，1500只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是_5电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块
2、的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是_6已知函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1，bR）的图象如图所示，则a+b的值是_7设函数（0x），当且仅当时，y取得最大值，则正数的值为_8在等比数列an中，a2=1，公比q1若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是_9在体积为的四面体ABCD中，AB平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为_10在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=
3、RS，则正数a的值为_11已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x0，+），满足f（x+2）=f（x），若当x0，2）时，f（x）=|x2x1|，则函数y=f（x）1在区间2，4上的零点个数为_12如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3点B、C分别在m、n上，则的最大值是_13实数x，y满足y2=1，则3x22xy的最小值是_14若存在，R，使得，则实数t的取值范围是_二、解答题：本大题共6小题，共计90分15在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1（1）求C的值；（2）若A=15，求ABC的周长16如图，在正方体ABCD
4、A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点求证：（1）AP平面C1MN；（2）平面B1BDD1平面C1MN17植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙现有两种方案：方案多边形为直角三角形AEB（AEB=90），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案多边形为等腰梯形AEFB（ABEF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）
5、设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为，求实数m的值19设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数（1）若k=0，解不等式f（x）g（x）；（2）若k0，求关于x的方程f（x）=xg（x）实根的个数20设数列an的各项均为正数，an的前n项和，nN*（1）求证：数列an为等差数列；（2）等比数列bn的各项均为正数，nN*，且存在整数k2，使得（i）求数列bn公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n2时，求数列bn的通项公式附加题21在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A，将点B（3，4）绕点A逆时针旋转90得到点
6、B，求点B的坐标附加题22在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长23一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（kN*），且游戏费仍退还给参加者记参加者玩1次游戏的收益为X元（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值（注：概率学源于赌博，请自觉远离
7、不正当的游戏！）24设S4k=a1+a2+a4k（kN*），其中ai0，1（i=1，2，4k）当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，a4k的个数记为m（b）（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简2016年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1设复数z满足（1+2i）z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+2i）z=3，得，复数z的实部为故答案为
8、：2设集合A=1，0，1，AB=0，则实数a的值为1【考点】交集及其运算【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可【解答】解：A=1，0，1，B=a1，a+，AB=0，a1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k9，退出循环，输出k的值为17【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k9，k=1不满足条件k9，k=3不满足条件k9，k=17满足条件k9，退出循环，输出k的值为17故答案为：174为了解一批灯泡（共5000只
9、）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命500，700）700，900）900，1100）1100，1300）1300，1500只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是1400【考点】频率分布表【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000=1400故答案为：14005电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选2个主题
10、作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n=10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，“立德树人”主题被该队选中的概率p=1=故答案为：6已知函数f（x）=loga（x+b）（a0，a
11、1，bR）的图象如图所示，则a+b的值是【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象【分析】由函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1，bR）的图象过（3，0）点和（0，2）点，构造方程组，解得答案【解答】解：函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1，bR）的图象过（3，0）点和（0，2）点，解得：a+b=，故答案为：7设函数（0x），当且仅当时，y取得最大值，则正数的值为2【考点】正弦函数的图象【分析】根据题意，得出+=+2k，kZ，求出的值即可【解答】解：函数，且0x，0，x+，又当且仅当时，y取得最大值，x+，+=，解得=2故答案为：28在等比数列an中，a2=1，公比q1若a1，4
12、a3，7a5成等差数列，则a6的值是【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得【解答】解：在等比数列an中a2=1，公比q1，a1，4a3，7a5成等差数列，8a3=a1+7a5，81q=+71q3，整理可得7q48q2+1=0，分解因式可得（q21）（7q21）=0，解得q2=或q2=1，公比q1，q2=，a6=a2q4=故答案为：9在体积为的四面体ABCD中，AB平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为【考点】棱锥的结构特征【分析】由已知求得BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得
13、CD长度【解答】解：如图，在四面体ABCD中，AB平面BCD，AB为以BCD为底面的三棱锥的高，AB=1，由，得又BC=2，BD=3，得，得sinB=，cosB=当cosB=时，CD2=22+32223=7，则CD=；当cosB=时，CD2=22+32223（）=19，则CD=CD长度的所有值为，故答案为：，10在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4【考点】直线与圆的位置关系【分析】设过点P（2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（
14、a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果【解答】解：设过点P（2，0）的直线方程为y=k（x+2），过点P（2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，=1，解得k=，不妨取k=，PT=，PT=RS=，直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d=，由a0，解得a=4故答案为：411已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x0，+），满足f（x+2）=f（x），若当x0，2）时，f（x）=|x2x1|，则函数y=f（x）1在区间2，4上的零点个数为7【考点】函数零点的判定定理【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）1=，再利用f（x+2）
15、=f（x），可得x2，4上的图象由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x2，4上的图象由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x2，0）上的图象x0，2）时，g（0）=g（1）=0，x2，4时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0x2，0）时，g（2）=g（2）=0，g（1）=g（1）=0指数可得：函数g（x）共有7个零点故答案为：712如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离
16、分别为1，3点B、C分别在m、n上，则的最大值是【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=2，设点B（a，0）、点C（b，2），=（a，1）、=（b，3），+=（a+b，4），（a+b）2+16=25，a+b=3，或a+b=3当a+b=3时， =ab+3=a（3a）+3=a
17、2+3a+3，它的最大值为=当a+b=3时， =ab+3=a（3a）+3=a23a+3，它的最大值为=综上可得， 的最大值为，故答案为：13实数x，y满足y2=1，则3x22xy的最小值是6+4【考点】双曲线的简单性质【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= （1sin）+（1+sin）（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：由y2=1，可设x=2sec，y=tan，则3x22xy=12sec24sectan=+，其中1sin1，（1sin）+（1+sin）（+）=12+12+2=12+8，当且仅当=，解得sin=32（3+2舍去），取得最小值则3x22
18、xy的最小值是6+4故答案为：6+414若存在，R，使得，则实数t的取值范围是，1【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由5cos，得到cos0，由已知t，即，令，则f（t）=，令f（t）=0，则sin=0，当sin=0时，f（t）取得最小值，然后由t5cos，即，令，则令f（t）=0，则sin=0当sin=0时，f（t）取得最大值【解答】解：5cos，05coscos0t，即令，则f（t）=，令f（t）=0，则sin=0当sin=0时，f（t）取得最小值f（t）=t5cos，t+5cos即令，则令f（t）=0，则sin=0当sin=0时，f（t）取得最大值f（t）=则实数t的取值范围是：，
19、1故答案为：，1二、解答题：本大题共6小题，共计90分15在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1（1）求C的值；（2）若A=15，求ABC的周长【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得ABC的周长【解答】解：（1）斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1，tanA+tanB=1tanAtanB，tan（A+B）=1，即tanC=1，tanC=1，C=135（2）若A=15，则B=30，则由正弦定理可得=2，求得a=2
20、sin（4530）=2（sin45cos30cos45sin30）=，b=2=1，故ABC的周长为a+b+c=+1+=16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点求证：（1）AP平面C1MN；（2）平面B1BDD1平面C1MN【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而APC1M，由此能证明AP平面C1MN（2）连结AC，推导出MNBD，DD1MN，从而MN平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1平面C1MN【解答】证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB
21、，BC，C1D1的中点，AM=PC1，又AMCD，PC1CD，故AMPC1，四边形AMC1P为平行四边形，APC1M，又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，AP平面C1MN（2）连结AC，在正方形ABCD中，ACBD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，MNAC，MNBD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，又MN平面ABCD，DD1MN，而DD1DB=D，DD1、DB平面BDD1B1，MN平面BDD1B1，又MN平面C1MN，平面B1BDD1平面C1MN17植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙现有两种方案：方案多边形为直角三角形AEB（AEB=9
22、0），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案多边形为等腰梯形AEFB（ABEF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式【分析】设方案，的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可【解答】解：设方案，的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案，设AE=x，则S1=x（30x） 2=，当且仅当x=15时，取等号，方案，设BAE=，则S2=100sin（1+cos），（0，），由S2=100（2cos2+cos1）=0得cos=（c
23、os=1舍去），（0，），=，当S20，解得0x，函数单调递增，当S20，解得x，函数单调递减，当=时，（S2）max=75，75，建立苗圃时用方案，且BAE=18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为，求实数m的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知得A（1，），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（2x1，2
24、y1），（2x1x2，2y1y2）=m（x3x2，y3y2），从而得到（）+（）（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为，得到=0，由此能求出实数m的值【解答】解：（1）A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），A（1，），代入椭圆，得，椭圆+=1（ab0）的离心率为，=，联立，解得a2=2，b2=1，椭圆方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），=2，P（2x1，2y1），=m，（2x1x2，2y1y2）=m（x3x2，y3y2），代入椭圆，得=1，即（）+（）（）=1，A，B在椭圆上，+=1， =1，直线OA，OB的斜率之积为，=，结合，知=0，
25、将代入，得=1，解得m=19设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数（1）若k=0，解不等式f（x）g（x）；（2）若k0，求关于x的方程f（x）=xg（x）实根的个数【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式f（x）g（x）；（2）若k0，化简方程f（x）=xg（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式f（x）g（x）等价为（x+1），此时，即x0，此时不等式等价为（x+1）x（x+3），即2x2+x30，得x1或x，x0，x1，即不等式的解集为1，+）（2）若k0，由f
26、（x）=xg（x）得（x+k+1）=x，由得，即xk，当x0时xk+10，方程两边平方整理得（2k1）x2（k21）xk（k+1）2=0，（xk），当k=时，由得x=，方程有唯一解，当k时，由得判别式=（k+1）2（3k1）2，1）当k=时，判别式=0，方程有两个相等的根x=，原方程有唯一解2）0k且k时，方程整理为（2k1）x+k（k+1）（xk1）=0，解得x1=，x2=k+1，由于判别式0，x1x2，其中x2=k+1k，x1k=0，即x1k，故原方程有两解，3）当k时，由2）知，x1k=0，即x1k，故x1不是原方程的解，而x2=k+1k，则原方程有唯一解，综上所述，当k或k=时，原方程
27、有唯一解，当0k且k时，原方程有两解20设数列an的各项均为正数，an的前n项和，nN*（1）求证：数列an为等差数列；（2）等比数列bn的各项均为正数，nN*，且存在整数k2，使得（i）求数列bn公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n2时，求数列bn的通项公式【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】（1）数列an的前n项和，nN*利用递推关系可得：anan1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出（2）（i）由（1）可得：an=2n1，Sn=n2根据存在整数k2，使得可得b1=bn=k2由，nN*，可得：qnk，当n=k时，上式恒成立当nk+1时，可得：（nk）lnq=2，利用导数研究其单
28、调性可得：的最大值为k，q当nk1时，q可得q的最小值为（整数k2）（ii）由题意可得：qN*，由（i）可知：q，（k2），可得：q1，q4，q2，3，4，分类讨论即可得出【解答】（1）证明：数列an的前n项和，nN*当n=1时，解得a1=1当n2时，an=SnS=，化为：（an+an1）（anan12）=0，数列an的各项均为正数，an+an10（n2），anan1=2，数列an是等差数列，公差为2（2）解：（i）由（1）可得：an=1+2（n1）=2n1，Sn=n2存在整数k2，使得，可得b1=bn=k2，nN*，k2qnkn2，qnk，当n=k时，上式恒成立当nk+1时，可得：（nk）l
29、nq=2，令f（x）=，（x1），则f（x）=，令g（t）=1t+lnt，（0t1），则g（t）=0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，g（t）g（1）=0，f（x）0，函数f（x）在（1，+）为减函数，的最大值为k，k，q当nk1时，qq的最小值为（整数k2）（ii）由题意可得：qN*，由（i）可知：q，（k2），q1，q4，q2，3，4，当q=2时，2，只能取k=3，此时bn=，舍去当q=3时，3，只能取k=2，此时bn=4，舍去当q=4时，4，只能取k=3，此时bn=22n3，符合条件综上可得：bn=22n3附加题21在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下
30、得到点A，将点B（3，4）绕点A逆时针旋转90得到点B，求点B的坐标【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】设B（x，y），=，求得A的坐标，写出向量， =，即可求得x和y，求得点B的坐标【解答】解：设B（x，y），由题意可知： =，得A（1，2），则=（2，2），=（x1，y2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B的坐标为（1，4）附加题22在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长【考点】参数方程化成普通方程【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程由曲线（为参数），利用倍角公式可得y=12sin2，联立解出，再利用两点之间的距离
31、公式即可得出【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1由曲线（为参数），可得y=12sin2=12x2（1x1），联立（1x1），解得，或，A（1，1），B（0，1），|AB|=23一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（kN*），且游戏费仍退还给参加者记参加者玩1次游戏的收益为X元（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收
32、益X的数学期望不小于0元，求k的最小值（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）（2）依题意，X的可能取值为k，1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3=（2）依题意，X的可能取值为k，1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=1）=（）3=，P（X=1）=3=，P（X=0）=3=，参加游戏者的
33、收益X的数学期望为：E（X）=，为使收益X的数学期望不小于0元，故k110，k的最小值为11024设S4k=a1+a2+a4k（kN*），其中ai0，1（i=1，2，4k）当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，a4k的个数记为m（b）（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简【考点】整除的定义【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m（3）【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，a8中有1个1或5个1，其余为0，m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k1）个1，其余为0，m（3）=，同理得：m（1）=，m（1）=m（3）又m（1）+m（3）=24k1，m（3）=24k2=42k12016年9月20日
