1、2015-2016学年北京市西城区普通中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知An2=20，则n=（）A7B6C5D42有不同的红球5个，不同的白球4个从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（）A9种B16种C20种D32种3（1+2x）5展开式的二项式系数和为（）A243B32C24D164甲、乙两组各有6人，现从每组中分别选出3人参加科普知识竞赛，则参加比赛人员的组成方式共有（）A400种B200种C40种D20种55个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有（）A72种B36种C18种D12种6在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时
2、，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的则下列说法正确的是（）A100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎B某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有7已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率为（）ABCD8从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有（）A36个B30个C28个D24个9现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一
3、颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有（）A4种B6种C8种D12种10已知，当P（X=k）（kN，0k8）取得最大值时，k的值是（）A7B6C5D4二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11（2x+1）5的展开式中x2项的系数是_125个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有_种（用数字作答）13X服从正态分布N（3，2），若P（X4）=0.2，则P（2X3）=_14从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，设事件A=“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，且P（A）=0.91则从该批产品中任取1件是二等品的概率为_15随机变量X的分布
4、列如下：若，则DX的值是_X101Pac16若对于任意的实数x，有a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3=x3，则a0的值为_； a2的值为_三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率18一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；（2）若不放回的取2
5、次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E（X）19已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为（1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的分布列2015-2016学年北京市西城区普通中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知An2=20，则n=（）A7B6C5D4【考点】排列及排列数公式【分析】由题意可得An2 =n（n1）=20，n 为正整数，解方
6、程求得 n 的值【解答】解：An2=20，而 An2 =n（n1），n（n1）=20，又 n 为正整数，n=5，故选C2有不同的红球5个，不同的白球4个从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（）A9种B16种C20种D32种【考点】排列、组合的实际应用【分析】本题是一个分步计数问题，要取两个不同颜色的球，先取一个红球有5种结果，再取一个白球有4种结果，根据分步计数原理得到结果数【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，要取两个不同颜色的球，首先取一个红球，有5种结果，再取一个白球有4种结果，根据分步计数原理得到共有45=20种结果故选C3（1+2x）5展开式的二项式系数和为（）A243
7、B32C24D16【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的二项式系数和公式：2n，求出（1+2x）5展开式的二项式系数和【解答】解：（1+2x）5展开式的二项式系数和为：C50+C51+C52+C53+C54+C55=25=32故选B4甲、乙两组各有6人，现从每组中分别选出3人参加科普知识竞赛，则参加比赛人员的组成方式共有（）A400种B200种C40种D20种【考点】排列、组合的实际应用【分析】本题是一个分步计数问题，每一组有6个人，分别从中选出3个参加活动，各有C63种结果，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，每一组有6个人，分别从中选出3个参加活动
8、，各有C63=20种结果，根据分步计数原理得到共有2020=400故选A55个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有（）A72种B36种C18种D12种【考点】排列、组合的实际应用【分析】求解本题宜用绑定法，先在甲乙两人中间安排一个，将三者绑定，将其看作一个元素与剩余的两人组成三个元素进行全排列，故本题需要分为两步完成求解，第一步绑定，第二步排列【解答】解：甲乙两人有2种站法，中间恰有一个人，从其余三人选一人有三种选法，故第一步三人绑定在一起的方法有23=6将此三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进行排列，排列方法有A33=6种故5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有66=3
9、6种故选B6在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的则下列说法正确的是（）A100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎B某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有【考点】独立性检验的应用【分析】“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，有99%以上的把握认为正确，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患慢性支气管炎没有关系，得到结论【解答】解：“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，
10、有99%以上的把握认为正确，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患慢性支气管炎没有关系，只有D选项正确，故选D7已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率为（）ABCD【考点】等可能事件的概率【分析】由已知中在10件产品中有2件次品，我们可以计算出从中任意抽取2件产品的所有情况数，及满足条件至少抽出1件次品的情况数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案【解答】解：从10件产品中，任意抽取2件产品，共有C102=45种情况其中至少抽出1件次品包括正好抽取一件次品，和抽取两件次品两类共C81C21+C22=17情况故从中任意抽取2件产品，则至少抽出1
11、件次品的概率P=故选C8从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有（）A36个B30个C28个D24个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题可以分类来解，当首位是4时，组成的数字是A43个，当首位是3时，第二位是4，后两位可以从余下的三个数字中任意选，有A32种结果，当前两位是32时，结果和首位是3的一样多，有6种结果，相加得到结果【解答】解：从5个数字中选出4个不同的数字组成大于3200的数，本题可以分类来解，当首位是4时，组成的数字是A43=24个，当首位是3时，第二位是4，后两位可以从余下的三个数字中任意选，有A32=6种结果，当前两位是3
12、2时，结果和首位是3的一样多，有6种结果，综上可知共有24+6+6=36种结果，故选A9现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有（）A4种B6种C8种D12种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题是一个分步计数问题，首先给下面一个涂色，有三种结果，再给最左边的上面的涂色，有两种结果，中间一块只有一种选择，右边的一块没有选择，只有一种颜色，得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先给下面一个涂色，有三种结果，再给最左边的上面的涂色，有两种结果，中间一块只有一种选择，右边的一块没有选择，只有一种颜色，根据分步计数原理得
13、到共有32=6种结果，故选B10已知，当P（X=k）（kN，0k8）取得最大值时，k的值是（）A7B6C5D4【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据变量符号二项分布，写出变量对应的概率的表示式，整理得到在概率的表示式中，只有组合数是一个变量，根据组合数的性质得到结果【解答】解：，P（X=k）=当P（X=k）（kN，0k8）取得最大值时只有C8k是一个变量，根据组合数的性质得到当k=4时，概率取得最大值，故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11（2x+1）5的展开式中x2项的系数是40【考点】二项式定理的应用【分析】根据所给的二项式写出通项
14、，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，看出式子中的系数的表示式，得到结果【解答】解：（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5r=Cr525rx5r当5r=2时，即r=3时，得到含有x2的项，它的系数是C5322=40故答案为：40125个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有36种（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题是一个排列组合及简单的计数问题，甲、乙、丙三人相邻，可以把三个元素看做一个元素同其他的两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，写出结果【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题，甲、乙、丙三人相邻，可以把三个元素看做一个
15、元素同其他的两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，共有A33A33=36种结果，故答案为：3613X服从正态分布N（3，2），若P（X4）=0.2，则P（2X3）=0.3【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据题目中：“正态分布N（3，2）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P（X4）的概率可求出P（2X3）【解答】解：P（2X4）=12P（X4）=0.6，观察图得，P（2X3）=P（2X4）=0.3故答案为：0.314从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，设事件A=“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，且P（A）=0.91则从该批产品中任取
16、1件是二等品的概率为0.3【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【分析】由题意知取出的2件产品中至多有1件是二等品的对立事件是取出的产品中全是二等品，根据对立事件的概率做出取出的两件全是二等品的概率，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果【解答】解：由题意知取出的2件产品中至多有1件是二等品的对立事件是取出的产品中全是二等品，P（A）=0.91取出的产品中全是二等品的概率是10.91=0.09设出取出一件是二等品的概率是P，p2=0.09p=0.3故答案为：0.315随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是X101Pac【考点】离散型随机变量的期望与方差【
17、分析】由分布列的性质和期望列出关于a和c的方程组，解出a和c，再利用方差公式求方差即可【解答】解：由题意：，解得：所以DX=故答案为：16若对于任意的实数x，有a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3=x3，则a0的值为1； a2的值为3【考点】二项式系数的性质【分析】令已知等式中的x=1求得a0的值；将x3表示成（x1）+13，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x1的指数为2，求出a2的值【解答】解：令已知等式中的x=1得a0=1x3=（x1）+13其展开式的通项为Tr+1=C3r（x1）ra2=C32=3故答案为1，；3三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文
18、字说明，证明过程或演算步骤.17甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件【分析】（1）“甲第三次才成功”为事件，故第三次才成功的概率，运算求得结果 （2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C，由题意可得【解答】解：记“甲第i次复原成功”为事件Ai，“乙第i次复原成功”为事件Bi，依题意，P（Ai）=0.8，P（Bi）=0.6（1）“甲第
19、三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，所以， （2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C所以=18一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E（X）【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】先设Ai=“第i次取到白球”，Bi=“第i次取到黑球”（1）每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，根据等可能
20、事件的概率即可得到；（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，根据等可能事件的概率即可得到所求概率；（3）有放回的依次取出3个球，则取到黑球次数X的可能取值为0，1，2，3，三次取球互不影响，由（1）知每次取出黑球的概率均为，分别求出X取值为0，1，2，3的概率写出分布列，这个试验为3次独立重复事件，X服从二项分布，最后根据二项分布的数学期望公式即可求解【解答】解：设Ai=“第i次取到白球”，Bi=“第i次取到黑球”（1）每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以，所求概率（3）有放回
21、的依次取出3个球，则取到黑球次数X的可能取值为0，1，2，3三次取球互不影响，由（1）知每次取出黑球的概率均为，所以，； ； X0123P这个试验为3次独立重复事件，X服从二项分布，即，所以，E（X）=119已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为（1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的分布列【考点】离散型随机变量及其分布列；二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】（1）正确理解题意：“甲同学投篮4次，恰有3次投”即从4次中选出三次C43，再结合概率的知识解决问题即可（2）根据题意可得本题主要考查相互独立事件的概率与分布列，写出X的可能取值，进而利用相互独立事件的概率进行求解【解答】解：（1）设“甲投篮4次，恰有3次投进”为事件A，则 （2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，6； ； ； “X=5”表示投篮5次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第二次至少有一次投中”所以； 所以，所求X的分布列为：X23456P2016年9月28日
