1、专题5 数列、推理与证明第21练 基本量法破解等差、等比数列的法宝等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 1.(2016课标全国乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A.100B.99C.98D.97 解析 由等差数列性质，知 S99a1a9292a529a527，体验高考 解析 12345 得 a53，而 a1
2、08，因此公差 da10a5105 1，a100a1090d98，故选C.2.(2015福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A.6B.7C.8D.9 解析 12345解析 a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.123453.(2016北京)已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a16，a3a50，则S6_.6S6666612(2)6.解析答案 解析 由等比数列的性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，4.(2015安徽)已知数列an是递增的等
3、比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_.解析答案 2n1 联立方程a1a48，a1a49，解得a11，a48或a18，a41，又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前 n 项和为 Sn12n12 2n1.1234512345返回 5.(2016 课标全国乙)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.64答案 解析 高考必会题型 题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a311，S324.(1)求数列an的通项公式；解 a3a12d，S33a1322 d3a13d，a12d11，3
4、a13d24a15，d3.an5(n1)33n2.解析答案(2)设 bnann6an15，求数列bn中的最小的项.解 bnann6an153n220n123nn4n203 2 n4n203 323.解析答案 点评 当且仅当 n4n，即 n2 时，bn 取得最小值323，数列bn中的最小的项为323.4S2S13S3，即 4a11q21qa13a11q31q，变式训练1(1)等比数列an前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列an的公比为_.13解析 设等比数列an的公比为q，则当q1时，S1a1，2S24a1，3S39a1，S1，2S2，3S3不成等差数列；当q1时，S1，2
5、S2，3S3成等差数列，即 3q24q10，q1(舍)或 q13.解析答案(2)(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()A.21B.42C.63D.84 解析 解析 设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521，得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.题型二 等差数列、等比数列的性质及应用例2(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.10解析 因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，
6、即a55，a2a82a510.解析答案(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 27a3a60，则S6S3_.解析答案 点评 28解析 由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由 Sna11qn1q，得 S6a113613，S3a113313，所以S6S3a11361313a113328.变式训练 2(1)an为等差数列，若a11a101，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最小正值时，n 等于()A.11B.17C.19D.21 解析 Sn有最大值，d0，又a11a101，a110a10，解析
7、 a10a110，S2010(a1a20)10(a10a11)0，S19为最小正值.(2)在正项等比数列an中，3a1，12a3，2a2成等差数列，则a2 016a2 017a2 014a2 015等于()A.3或1B.9或1C.1D.9 解析 设数列an的公比为q(q0)，依题意，a33a12a2，a1q23a12a1q，整理得：q22q30，解得q3或q1(舍)，a2 016a2 017a2 014a2 015a2 014q2a2 015q2a2 014a2 015q29.解析 解析答案 题型三 等差、等比数列的综合应用例3 已知等比数列an中，首项a13，公比q1，且3(an2an)10
8、an10(nN*).(1)求数列an的通项公式；解 3(an2an)10an10，3(anq2an)10anq0，即3q210q30，公比q1，q3.又首项a13，数列an的通项公式为an3n.(2)设bn13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列bn的通项公式和前 n 项和 Sn.解 bn13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，bn13an12(n1)，即数列bn的通项公式为bn2n13n1.前n项和Sn(13323n1)13(2n1)12(3n1)n2.解析答案 点评 解析答案 变式训练3(2015北京)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；
9、解(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，).返回(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？解 设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2，得n63，所以b6与数列an的第63项相等.解析答案 A.2 B.2 C.12D.121.设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于()高考题型精练 12345解析 678910 11 12 所以
10、S1，S2，S4分别为a1，2a11，4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16).解析 因为等差数列an的前 n 项和为 Snna1nn12d，解得 a112.解析 2.已知无穷等差数列an，前n项和Sn中，S6S8，则()A.在数列an中a7最大 B.在数列an中，a3或a4最大 C.前三项之和S3必与前10项之和S10相等 D.当n8时，an0 解析 由于S6S8，所以S7S6a70，S8S7a80，故C错误.12345678910 11 12解析 S10102012109(2)110.12345678910 11 123.已知an为等差数列，其公差为2，
11、且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A.110B.90C.90D.110 解析 a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.4.已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：d0；使Sn0的最大n值为12；数列Sn中的最大项为S11；|a6|a7|，其中正确命题的个数是()A.5B.4C.3D.1 解析 12345678910 11 12 5.在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为
12、()A.125B.126C.127D.128 解析 解析 设正项等比数列an的公比为q(q0)，且a11，由a3，a2，a4成等差数列，得2a2a4a3，即2a1qa1q3a1q2.因为q0，所以q2q20.解得q1(舍)或q2.则 S7a11q71q112712127.12345678910 11 1212345678910 11 126.已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数 n 的个数是()解析 A.2B.3C.4D.5 7.(2016江苏)已知an是等差数列，Sn 是其前 n 项和.若 a1a223，S510
13、，则 a9 的值是_.解析 设等差数列an公差为 d，由题意可得：a1a1d23，5a1542 d10，解析答案 12345678910 11 1220则a9a18d48320.解得a14，d3，解析 等差数列an的公差为d，解析答案 则3a16d105，3a19d99，即a12d35，a13d33，a139，d2.当n20时，Sn取得最大值.Sn39nnn12(2)n240n(n20)2400，8.已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是_.2012345678910 11 12解析答案 12345678910 11 12
14、解析 根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1 a1(n1)(3a1)64a1，解得n22，即k422.9.公差不为0的等差数列an的部分项构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.22123,kkkaaa4ka10.若数列an对任意的正整数 n 和 m 等式 a2nmanan2m 都成立，则称数列an为 m 阶梯等比数列.若an是 3 阶梯等比数列有 a11，a42，则a10_.12345678910 11 128解析答案 解析 由题意有，当an是3阶梯等比数列，a2n3ana
15、n6，a24a1a7，所以 a74，由 a27a4a10，有 a10a27a48.解析答案 12345678910 11 1211.(2016北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和.解析答案 解 设数列cn的前n项和为Sanbn2n13n1，Snc1c2c3cn 2113022131231322n13n1 2(12n)n3013n132n1n2n3n12n23n12.即数列cn的前 n 项和为 n23n12.12345678910 11 1212345678910 11 12解析答案 解 设等差数列an的公差是d，a3a8(a2a7)2d6，d3.a2a72a17d23，解得a11.数列an的通项公式为an3n2.12.在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；返回 解析答案 12345678910 11 12(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.
