1、数学 第 1 页新时代 NT 教育 2023-2024 学年高三入学摸底考试数学（新高考）参考答案1.D【解析】当A时，a=0,当2A时，1a ,当 2A时，a=1,1,0,1a.2.B【解析】21i,i.1 izz 3.B【解析】当,0)2)(2kk（即22kk或时，12222kykx表示双曲线，所以“2k”是“12222kykx表示双曲线”的充分不必要条件.4.D【解析】由题分析得111)1(1nnnnan,所以1231011111101.223101111aaaa5.A【解析】224523ababa b，3.ab6.C【解析】3tan2tan1tan1)4tan)45tan(，（，54t
2、an1tan1sincos2cos2222.7.A【解析】11112,11111nnnTTanTannnn时，当时，当，2341,naaaa11a 而，为最大项为最小项，21aa.8.D【解 析】由 已 知 得 函 数()f x 既 关 于 原 点 对 称，又 关 于1x 对 称，所 以 周 期 T=4，1)7()3(2log)(5ggxxg，而设，由函数图像可分析()f x 与()g x 的交点个数为 5.9.AB【解析】22121,0,0abababbaba则若，当且仅当22 ba时取等号.A 正确；3)(xxf是在 R 上单调递增的函数，()()f af bab若，则，B 正确；）单调递
3、减，在（若0)(,0axxfaaa)53()52(，C 错误；,0,011baba则若balnln，D 错误.10.BC【解析】222221212(),nnxxxxxxxnnA 错误;#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#数学 第 2 页,101210122xxsii由130)10101222iixsx（，B 正确;，）得，（由2)(319DB8)(4)2(DD,C 正确;数据 2，3，4，7，8，10，17，18 的第 50 百分位数是 7.5，D 错误11.ACD【解析】取EFNFMNFABNDB,连结的中点的中点,则四
4、边形 EMNF为平行四边形,/,/MNEF MNB AE MNB AE 面面,A 正确;假设存在一个位置使得 B DAE，取 AE 中点 H，连结DHHB,显然,B HAE B HB DB,DHAEHDBAE，面,进而有 DA=DE,而由题可得DADE3,不存在AEDB，故 B 错误;当 B DEC时，则B DADDEAD，而,ADB DEB DEADE面面面,且B DEADEDE面面,B 到面 ADE 的距离即 B 到 DE 的距离 d，2,3,B DEB EB DDE在中，12 623,23B DESdd由,C 正确;当时，面面ABCDAEB四棱锥AECDB 的体积最大，此时棱锥的高为3，
5、1 13313BAECDV .D 正确.12.ACD【解析】设切点)1ln,(mm，,1)(mmfk2,2ln,11lnemmmmm，所以过原点的切线方程为2xye，A 正确；与)(xf关于xy 对称的函数为1xey,B 错误；若过点(,)a b 有 2 条直线与()f x 相切，则点(a,b)在 f(x)上方，即(),bf a即ln1,baC 正确;由于,ln1ln12xRxxxx ，D 正确.13.56【解析】2yx为偶函数，所以），（，0)32cos()(xxg为奇函数，5,.326kkZ14.13 23【解析】易得棱台的高2h，(3hVSSSS下下棱台上上）13 23.15.11【解析
6、】2121)21,0,22(122(1)()271111ababababababba（）,22(1)ba时取等号.#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#数学 第 3 页16.8【解析】法一：如图建立直角坐标系，2222(,),24(2 3)A x yABADxyxy设由得：223316 3480 xyx即：，8 34 302,33ABCABDASS所以点 的轨迹为以（，）为圆心，半径为的圆，4 38.3AxABC所以当 到 轴距离最大时，即为时，面积最大为,2,ADmABmABD法二：设则在中，由余弦定理可知，2222121
7、244cos,54cosmmmA mA，224sinsin22sin6),(0,)554coscos4ABCABDAASSmAAAA 而（，sin453cos4AMNA由右图可知，最小值为直线的斜率，4(6)()8.3ABC 故面积的最大值为17.【解析】1145(1)1,1,131488abdqaaddqd2,2dq.2 分121,2 nnnanb.5 分(2)21,(21)21(21)2(21)nnnnnnnScaSnnn.7 分121 23 2.(21)2135.(21)nnTnn21 23 2.(21)2 nnSn 令23121 23 2.(21)2 nnSn 231122(22.2)
8、(21)262)2nnnnSnn （3.9 分1126(23)2,6(23)2nnnnSnTnn.10 分18.【解析】（1）由得)sin(sinsinsin)sin(sin)sin(sinCACABBAABAABCABCACAsinsinsinsinsinsinsinsin,由正弦定理可得：222()()2acacb acbacacb.2 分#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#数学 第 4 页22222212,cos,(0,).223acbacbacBBBac 即.4 分2213(2)sin3,44()242ABCBAB
9、CSacBacacBDBDBABC，由，.8 分222222242cos428acacBacac，.10 分2222cos284324 2.bacacBb.12 分19.【解析】，时，设）当（11)(,1)1ln(1)()()(11xexhxexgxfxhaxx10,0()0,10()01xexxh xxh xx 只有一个解时时，()1 0)0)h x 在(，单调递减，(，单调递增，.2 分()(0),(0)0,()0h xhhh x而,()()1f xg x即.4 分（2）法一：若1()()1xf xg x （，），恒成立，即：1ln1lnln11xxxaeaeaxa ln1ln(1)xxa
10、eaexx即.6 分()ln,()0)m tttm t 构 造 函 数易 知在(，递 增，()(1)xm aem x则 不 等 式 为.8 分111,()(1)xxxxxaexaxxee 设()(1),()1 0)0 xxxxxe 则在（，递 增，递 减，.10 分m ax()(0)1x,1a.12 分法二：1()()1xf xg x （，），恒成立，即lnln110 xaeax（）；)ln(1)ln1xF xaexa令（0011(),0,1)11xxF xaeaaexxxx（）有唯一实数根，设为，(.6 分00001,lnln(1),1xaeaxxx 即00)(1,)F xxx 则（在递减，
11、在(，递增，0min00()()ln(1ln10 xF xF xaexa）.8 分00012ln(1)101xxx 即：,1()2ln(1)1,()1)1h xxxh xx 设显然在(，单调递减，#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#数学 第 5 页0000()0,10hh xx 而（），则,.10 分000lnln(1),(1,0axx x ,ln0,a1.a.12 分20.【解析】(1)取 SC 中点 F，连接,EF FD，,E F分别为,SB SC 的中点，/EFBC，12EFBC，底面四边形 ABCD是矩形，P 为棱
12、 AD 的中点，/PDBC，12PDBC/EFPD，EFPD，故四边形 PEFD 是平行四边形，/PEFD.2 分又FD 平面 SCD，PE 平面 SCD，/PE平面 SCD.4 分(2)以点 P 为原点，PA，PS的方向分别为,x z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD=2,则 0,0,0P，1,0,0A，1,1,0B，0,0,3S.6 分1110232,0,330nPBSMMAMPMBnnPM 若（，）设面的法向量为12(3,3,2),(0,1,0)nSADn取取面的法向量.9 分12121230cos,10nnn nnn .11 分3010SADPMB 面和面夹角的余弦值
13、为.12 分21.【解析】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率 P=9132213221.4 分（2）同学甲成功通过关卡的个数的值为 0，1，2.6 分P(=0)=18113121312121312121P(=1)=185231213221213221P(=2)=9132213221.11 分所以同学甲成功通过关卡的个数的分布列为：.12 分012P181118519#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#数学 第 6 页22.【解析】由题可得22222224116232abacbaabc22163xy所 求 椭 圆
14、 方 程 为：.4 分22)1(2)(0)Ayk xytxt（方 法 一：设 过 点的 直 线 为与相 切，2221(2)2104(210yk xtxkxkktkytx ），12121212121281124kktkkkkPAQ Akktk kkk ,(，分 别 是 直 线和的 斜 率）.6 分设直线 PQ 为：nmxy，1122(,),(,),P x yQ x y2222212)4260,26ymxnmxmnxnxy得:(则22212212162,214mnxxmmnxx，由0得：03622 nm.8 分2121212121k12211221121nmxxnmxxyxyxk，即)1)(2()
15、1)(21221nmxxnmxx（)1)(1(212nmxnmx得：0)1(2)(21()22221212nxxmnnxxmm（,0)21)(1()2)(21()3)222222mnmnmnnnmm（,整理得：0168222mmmnn，即0)14()12(mnmn,)14(12mnmn或.10 分所以1212mmxyPQmn为：时，直线当，恒过21A 点（，）,不符合题意；当时，)14(mn直线 PQ 为：），恒过点（，即14)4(114xmymmxy，综上，直线 PQ 恒过定点 41)(，.12 分21(2)(0)Ayk xytxt方 法 二：设 过 点的 直 线 为与相 切，2221(2)
16、2104(210yk xtxkxkktkytx ）#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#数学 第 7 页1212121212824kktkkkkP AQ Akktk k ，(，分 别 是 直 线和的 斜 率）.6 分1)1()2(ynxmPQ：设直线.7 分椭圆方程：61)1(22)222yx（联立得：0)1()2()1(4)1(2)1()2()2(4)222ynxmyyynxmxx（22112)24)()4()()14022yyxnmnmxx同 除 以(得:(.9 分y1(,)2 1)2x yx而为与(，连 线 的 斜 率12124()2,62141kkmnmnk km 即即代 入 直 线 方 程 得21)(2)6(1)6nxn y（，(21)6240nxnyn即.11 分41).P Q直 线恒 过(，.12 分#QQABJYIUggCIABAAARgCAQEwCgCQkAECAKgOxAAEoAABiAFABAA=#
