1、第2章 2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 4 2.2.2 椭圆的几何性质（二）预习导学 挑战自我，点点落实 知识链接 已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断.0直线和椭圆相交；0直线和椭圆相切；b0)的位置关系点 P 在椭圆上
2、x20a2y20b21；点 P 在椭圆内部x20a2y20b21；点 P 在椭圆外部x20a2y20b21.6 2.2.2 椭圆的几何性质（二）2.直线与椭圆的位置关系 直线 ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系判断方法：联立ykxm，x2a2y2b21.消y得到一个关于x的一元二次方程.7 2.2.2 椭圆的几何性质（二）位置关系 解的个数 的取值 相交 解 0 相切 解 0 相离 解 0 两一无b0)或y2a2x2b21(ab0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB .1k2x1x224x1x29 2.2.2 椭圆的几何性质（二）其中，x
3、1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程得到.或 AB .11k2y1y224y1y210 2.2.2 椭圆的几何性质（二）课堂讲义 重点难点，个个击破 要点一 直线与椭圆的位置关系例 1 在椭圆x24y271 上求一点 P，使它到直线 l：3x2y160 的距离最短，并求出最短距离.解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为y32xm，11 2.2.2 椭圆的几何性质（二）代入x24y271，并整理得4x23mxm270，9m216(m27)0m216m4，故两切线方程为 y32x4 和 y32x4，显然 y32
4、x4 距 l 最近 d|168|3222 8138 1313，切点为 P32，74.12 2.2.2 椭圆的几何性质（二）规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.这时直线的方程为 y212(x4)，即x2y80.25 2.2.2 椭圆的几何性质（二）方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x2136y2191，x2236y2291，两式相减得x22x2136 y22y2190，整理
5、得 kABy2y1x2x19x2x136y2y1，26 2.2.2 椭圆的几何性质（二）由于P(4,2)是AB的中点，所以x1x28，y1y24，于是 kAB 9836412，于是直线 AB 的方程为 y212(x4)，即x2y80.27 2.2.2 椭圆的几何性质（二）要点三 椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；解 由4x2y21，yxm 得 5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m21)0，解得 52 m 52.28 2.2.2 椭圆的几何性质（二）(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线
6、方程.解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以 x1x22m5，x1x215(m21)，所以 ABx1x22y1y222x1x222x1x224x1x229 2.2.2 椭圆的几何性质（二）24m225 45m21 25108m2.所以当m0时，AB最大，此时直线方程为yx.30 2.2.2 椭圆的几何性质（二）规律方法 解析几何中的综合性问题很多.而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系
7、构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.31 2.2.2 椭圆的几何性质（二）跟踪演练 3 如图，点 A 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BPx 轴，ABAP9.32 2.2.2 椭圆的几何性质（二）(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；解 直线AB的斜率为1，BAP45，即BAP 是等腰直角三角形，|AB|2|AP|.ABAP9，|AB|AP|cos 45 2|AP|2cos 459，|AP|3.33 2.2.2 椭圆的几何性质（二）(1)
8、P(0,1)，|OP|1，|OA|2，即b2，且B(3,1).B 在椭圆上，9a2141，得 a212，椭圆 C 的标准方程为x212y241.34 2.2.2 椭圆的几何性质（二）(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解 由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：9a2t23t21，解得 a233t232t.35 2.2.2 椭圆的几何性质（二）a2b20，33t232t(3t)20.332t1，即332t1 2t32t0，所求 t 的取值范围是 0t0，m1或m0，m1且m3.(1,3
9、)(3，)38 2.2.2 椭圆的几何性质（二）1 2 3 43.如图所示，直线l：x2y20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为_.解析 由条件知，F1(2,0)，B(0,1)，b1，c2，a2212 5，eca 252 55.2 5539 2.2.2 椭圆的几何性质（二）1 2 3 44.椭圆x212y231 的左焦点为 F1，点 P 在椭圆上.如果线段PF1 的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标是_.解析 由条件可得F1(3,0)，PF1的中点在y轴上，P 坐标(3，y0)，又 P 在椭圆x212y231 上得 y0 32，M 的坐标为(0，34).3440 2.2.2 椭圆的几何性质（二）课堂小结解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解.
