1、第3讲 导数的应用基础过关1.函数f(x)=f(1)ex-x2+2的图像在点(0,f(0)处的切线的斜率等于()A.2eB.2e-1C.2ee-1D.4-2ee-12.若直线x=a(a0)分别与直线y=2x+1、曲线y=x+lnx相交于点A,B,则|AB|的最小值为()A.1B.2C.2D.33.若对任意的x1,x2(0,a)且x11,则a的最大值为()A.2eB.eC.1D.124.若曲线y=lnx-2x在x=1处的切线的倾斜角为,则cos+sin的值为()A.2105B.105C.-105D.21055.已知f(x)=2alnx+x2(a0),若对任意的x1,x2(0,+)且x1x2,都有
2、f(x1)-f(x2)x1-x24,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.1,+)C.(0,1)D.(0,16.若对任意的x1,x21,+),当x2x1时,恒有alnx2x10),且x1x2,若x1x20)和C2:y=x-2ex-2,若直线l与C1,C2都相切,且与C2相切于点P,则P的横坐标为()A.3-5B.5-1C.3-52D.3-1211.已知aR,若实数x,y满足y=-x2+3lnx,则(a-x)2+(a+2-y)2的最小值为()A.32B.22C.8D.1812.已知函数f(x)=(x-1)ex-a2e2x+ax只有一个极值点,则实数a的取值范围是()A.a0或a12B.a0或
3、a13C.a0D.a0或a-1313.曲线y=lnx在点1e,-1处的切线在y轴上的截距为.14.若函数f(x)=ex-lnx-mx在区间(1,+)上单调递增,则实数m的取值范围为.能力提升15.函数y=f(x)g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取自然对数得到lny=g(x)lnf(x),然后两边同时求导得yy=g(x)lnf(x)+g(x)f(x)f(x),于是y=f(x)g(x)g(x)lnf(x)+g(x)f(x)f(x),根据此方法可知y=(x+1)1x+1(x0)的单调递减区间为()A.(0,e)B.(0,e-1)C.(e-1,+)D.(e,+)16.已知函数f(x)的导
4、函数为f(x),记f1(x)=f(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x)(nN*).若f(x)=xsinx,则f2019(x)+f2021(x)=()A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx17.已知定义在-2,2上的函数f(x)满足f(x)f(2x-1)的解集为()A.(-,1)B.12,32C.0,1D.1,3218.记函数f(x)=ex-x-a,若曲线y=-cos2x+2cosx+1上存在点(x0,y0),使得f(y0)=y0,则实数a的取值范围是()A.(-,e2-4)B.2-2ln2,e2-4C.2-2ln2,e-2+4D.(-,e-2+4)19
5、.已知函数f(x)=alnx-x+2(a为大于1的整数),若y=f(x)与y=ff(x)的值域相同,则a的最小值是(参考数据:ln20.6931,ln31.0986,ln51.6094)()A.5B.6C.7D.820.已知函数f(x)=2x2,x0,ex,x0,若f(x1)=f(x2)(x1x2),则x1+x2的最大值为()A.-22B.2ln2-2C.3ln2-2D.ln2-1限时集训(三)1.B解析由已知得f(x)=f(1)ex-2x,令x=1,则f(1)=f(1)e-2,解得f(1)=2e-1,所以f(x)=2e-1ex-2x,所以函数f(x)的图像在点(0,f(0)处的切线的斜率k=
6、f(0)=2e-1,故选B.2.B解析由题知A(a,2a+1),B(a,a+lna),则|AB|=|2a+1-(a+lna)|=|a+1-lna|.令f(x)=x+1-lnx,则f(x)=1-1x,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,当x=1时,函数f(x)取到最小值2,|AB|的最小值为2.故选B.3.C解析由已知得x2lnx1-x1lnx2x1-x2,两边同时除以x1x2,化简得lnx1+1x10,得0x1;令f(x)1.所以函数f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数.因为lnx1+1x1lnx2+1x2对任意的x1,x2(0,a)且x1x2恒成立,
7、所以f(x)在(0,a)上为增函数,则00,解得sin=31010,cos=1010,因此cos+sin=2105.故选A.5.B解析由f(x1)-f(x2)x1-x24,得f(x1)-4x1-f(x2)-4x2x1-x20.设g(x)=f(x)-4x=2alnx+x2-4x(x0),则g(x)为增函数,所以g(x)=2a1x+2x-40,化简整理得a(2-x)x.当x0时,(2-x)x的最大值为1,所以a1.故选B.6.C解析对任意的x1,x21,+),当x2x1时,恒有alnx2x12(x2-x1)成立,即恒有alnx2-2x2alnx1-2x1成立.令f(x)=alnx-2x,f(x2)
8、f(x1),f(x)在1,+)上单调递减,f(x)=ax-20在1,+)上恒成立,a2x在1,+)上恒成立.当x1时,2x2,实数a的取值范围为(-,2,故选C.7.C解析由题知,x0;x=0时,f(0)=0;0x0;x=1时,f(1)=0;1x2时,f(x)0;x=2时,f(2)=0;2x3时,f(x)3时,f(x)0.故f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+)上单调递增,故f(x)的极大值是f(1),极小值是f(3),f(x)至多有3个零点.故选C.8.A解析由x1x2x2x1可得x2lnx1x1lnx2,即lnx1x1lnx2x2,又x10.依题意,设A(x1
9、,a),B(x2,a),则ex1+2=a,x2-1=a,即x1=lna-2,x2=a2+1,结合图像(图略)可知x10),则y0=x0-2ex0-2,y1=x1ex1.由y=xex(x0)得y=(x+1)ex,由y=x-2ex-2得y=3-xex-2.因为l是C1和C2的公切线,所以3-x0ex0-2=(x1+1)ex1,即(2-x0+1)e2-x0=(x1+1)ex1.又y=(x+1)ex在(0,+)上单调递增,所以2-x0=x1.又因为y1-y0x1-x0=(x1+1)ex1,即x1ex1-x0-2ex0-2x1-x0=(x1+1)ex1,所以x1ex1+x1ex1x1-(2-x1)=(x
10、1+1)ex1,即x1x1-1=x1+1,解得x1=1+52或x1=1-52(舍去),所以x0=2-x1=3-52,故选C.11.C解析点(x,y)在曲线y=-x2+3lnx上,点(a,a+2)在直线y=x+2上,(a-x)2+(a+2-y)2的几何意义是曲线y=-x2+3lnx上的点(x,y)到直线y=x+2上的点(a,a+2)的距离的平方.令f(x)=-x2+3lnx,得f(x)=-2x+3x,令f(x)=0,得x=62,则f(x)在0,62上单调递增,在62,+上单调递减,f(x)在x=62处取得最大值-32+3ln62.作出曲线y=-x2+3lnx与直线y=x+2,如图所示.由图可知,
11、曲线y=3lnx-x2(x0)的平行于直线y=x+2的切线的切点到直线y=x+2的距离最小.令f(x)=3x-2x=1,解得x=1或x=-32(舍去),当x=1时,f(1)=-1,所以切点为(1,-1),该切点到直线y=x+2的距离为|1+1+2|2=22,故(a-x)2+(a+2-y)2的最小值为(22)2=8,故选C.12.A解析由f(x)=(x-1)ex-a2e2x+ax,得f(x)=xex-ae2x+a.当a=0时,f(x)=xex,f(0)=0.函数f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,故函数f(x)有唯一的极值点,满足题意.当a0时,由f(x)=0得xa=ex-e
12、-x,设g(x)=ex-e-x,则g(x)=ex+e-x2恒成立,且g(0)=2,画出函数g(x)的图像和直线y=xa,如图所示.由图可知,当1a2时,即a0或a12时,直线y=xa与函数g(x)的图像恰有一个交点,此时满足题意.综上所述,a0或a12.故选A.13.-2解析由y=lnx,得y=1x,当x=1e时,y=e,曲线y=lnx在点1e,-1处的切线方程为y+1=ex-1e=ex-1,令x=0,得y=-2,即切线在y轴上的截距为-2.14.(-,e-1解析由题意可得f(x)=ex-1x-m0在(1,+)上恒成立,易知f(x)在(1,+)上单调递增,故只需f(1)=e-1-m0,解得me
13、-1.15.C解析由y=(x+1)1x+1得lny=1x+1ln(x+1),(lny)=1x+1ln(x+1),即1yy=1-ln(x+1)(x+1)2,故y=1-ln(x+1)(x+1)1x+1-2,令y0,得1-ln(x+1)e-1.故选C.16.D解析因为f(x)=xsinx,所以f1(x)=sinx+xcosx,f2(x)=2cosx-xsinx,f3(x)=-3sinx-xcosx,f4(x)=-4cosx+xsinx,f5(x)=5sinx+xcosx,猜想可知f4k-3(x)=(4k-3)sinx+xcosx,f4k-2(x)=(4k-2)cosx-xsinx,f4k-1(x)=
14、-(4k-1)sinx-xcosx,f4k(x)=-4kcosx+xsinx,其中kN*.由2019=4505-1,2021=4506-3,得f2019(x)=-2019sinx-xcosx,f2021(x)=2021sinx+xcosx,所以f2019(x)+f2021(x)=2sinx,故选D.17.D解析令F(x)=f(x)ex(x-2,2),则F(x)=f(x)-f(x)ex.f(x)f(x),F(x)f(2x-1)f(x)exf(2x-1)e2x-1F(x)F(2x-1),-2x2,-22x-12,x2x-1,解得10,得ln2x2,此时h(x)单调递增,由h(x)0,得-2xln2
15、,此时h(x)单调递减,则当x=ln2时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,且h(ln2)=2-2ln2.又h(2)=e2-4,h(-2)=e-2+4,可得h(2)a时,f(x)0,函数f(x)单调递减,当0x0,函数f(x)单调递增,故f(x)max=f(a)=alna-a+2,又当x0时,f(x)-,所以函数f(x)的值域为(-,alna-a+2.令t(a)=alna-a+2,则t(a)=lna+1-1=lna,因为a1,aZ,所以t(a)0,所以t(a)单调递增,因此当a2,aZ时,t(a)t(2)=2ln20.令f(x)=alnx-x+2=n,则nalna-a+2,y=ff(x)=f
16、(n),要使y=ff(x)=f(n)的值域为(-,alna-a+2,只需aalna-a+2,即alna-2a+20.设g(a)=alna-2a+2,a2,aZ,则g(a)=lna-1,所以当a3,aZ时,函数g(a)单调递增,又g(2)=2ln2-20,g(3)=3ln3-40,g(4)=4ln4-60,所以a的最小值是5,故选A.20.C解析不妨设x1x2,当x0时,f(x)=2x2,f(x)单调递减,不存在x1x20,使得f(x1)=f(x2);当x0时,f(x)=ex,f(x)单调递增,不存在0x1x2,使得f(x1)=f(x2).x10;当t(8,+)时,g(t)0.则g(t)在1,8)上单调递增,在(8,+)上单调递减,g(t)max=g(8)=ln8-4=3ln2-2,故选C.
