1、基础过关1.设Sn为等比数列an的前n项和,S3=3a3,则数列an的公比q=()A.-12B.12C.1或-12D.-1或122.若等差数列an的前15项和S15=30,则2a5-a6-a10+a14=()A.2B.3C.4D.53.已知等比数列an的前n项和Sn=3n+(nN*),则的值为()A.-3B.-1C.1D.34.在等比数列an中,a1=1,a6+a8a3+a5=127,则a6的值为()A.127B.181C.1243D.17295.由实数组成的等比数列an的前n项和为Sn,则“a10”是“S9S8”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6
2、.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟领先他1米所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时,乌龟爬行的总路程为()A.106-19000米B.104-190米C.105-990米D.105-1900米7.已知等差数列an的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列
3、,则S9S3=()A.3B.6C.9D.128.已知Sn为数列an的前n项和,-2,an,6Sn成等差数列,若t=a1a2+a2a3+anan+1,则()A.-18t-124B.-18t-112C.-16t-18D.-162016D.a2019201910.已知点(n,an)(nN*)在函数y=lnx的图像上,若满足Sn=ea1+ea2+eanm的n的最小值为5,则m的取值范围是()A.(10,15B.(-,15C.(15,21D.(-,2111.已知数列an满足an+am=am+n(m,nN*)且a1=1,若x表示不超过x的最大整数,则数列a2n+35的前10项和为()A.12B.1135C
4、.24D.4012.已知等差数列an满足a52+a92=10,则a1+a2+a3+a4+a5的最大值为()A.55B.20C.25D.10013.等比数列an的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+a5+a2n-1)(nN*),a1a2a3=8,则S8=()A.510B.255C.127D.654014.设数列an的前n项和为Sn,且Sn=(-1)nan+12n,则S1+S3+S5=.15.已知数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,则数列an的通项公式是.16.已知数列an为正项递增的等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则a20-a19a10-a9的值
5、为.能力提升17.设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an=Snn+2(n-1)(nN*),则nSn-2n2的最小值为()A.-2B.-1C.23D.318.已知数列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1(n2),则数列an的前99项和S99=()A.3(950-1)8B.950-18C.399-12D.3(949-1)819.对于数列an,若存在常数M,使得对任意nN*,an与an+1中至少有一个不小于M,则记作anM,那么下列说法正确的是()A.若anM,则数列an的各项均大于或等于MB.若anM,则an2M2C.若anM,bnM,则an+bn(2M)D.若anM,则
6、2an+1(2M+1)20.设an=1nsinn25,Sn=a1+a2+an,则S1,S2,S100中正数的个数是.限时集训(九)1.C解析由S3=3a3,得a1+a2+a3=3a3,即a1+a2=2a3,所以a1+a1q=2a1q2,则2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12,故选C.2.A解析由S15=152(a1+a15)=30,得a1+a15=4,2a8=4,a8=2,则2a5-a6-a10+a14=a4+a6-a6-a10+a14=a4-a10+a14=a10+a8-a10=a8=2.故选A.3.B解析当n=1时,a1=S1=3+,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+)-(3n
7、-1+)=23n-1,则a2=6,a3=18.因为an是等比数列,所以63+=186,解得=-1.故选B.4.C解析设等比数列an的公比为q,由a6+a8a3+a5=(a3+a5)q3a3+a5=q3=127,得q=13,所以a6=a1q5=1243.故选C.5.C解析设an的公比为q(q0),则S9-S8=a9=a1q8.若a10,则a1q80,即S9S8;若S9S8,则a1q80,即a10.故“a10”是“S9S8”的充要条件,故选C.6.A解析由题意知,乌龟每次爬行的路程构成等比数列,设该数列为an,公比为q,则a1=100,q=110,所以a6=10-3,所以乌龟爬行的总路程为S6=a
8、1-a6q1-q=100-10-31101-110=106-19000(米).故选A.7.C解析因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,即9(a1+a9)22=3(a1+a3)227(a1+a27)2,整理得a52=a2a14,所以(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),得d=2a1,所以S9S3=9(a1+a9)23(a1+a3)2=9a53a2=3(a1+4d)a1+d=27a13a1=9.8.C解析因为-2,an,6Sn成等差数列,所以2an=6Sn-2,即an=3Sn-1.当n=1时,a1=3S1-1,解得a1=12.当n2时,有an-1=3Sn-1-1,由-
9、得an-an-1=3an,即an=-12an-1,所以数列an是以12为首项,-12为公比的等比数列,故an=12-12n-1=-12n,所以anan+1=-1814n-1,故anan+1是首项为-18,公比为14的等比数列,所以t=a1a2+a2a3+anan+1=-181-(14)n1-14=-161-14n,因为nN*,所以-161-14n-16,-18,所以-16t-18,故选C.9.C解析由S2017=2017(a1+a2017)2=20172a10092=2017a1009=2017,得a1009=1,故A中判断正确.无穷等差数列an的各项都为正数,公差d0,a10101,故B中判
10、断正确.S2016=2016(a1+a2016)2=1008(a1008+a1009)10082a1009=10082=2016,故C中判断错误.S2019=2019(a1+a2019)2=20192a10102=2019a101020191=2019,故D中判断正确.故选C.10.A解析因为点(n,an)(nN*)在函数y=lnx的图像上,所以an=lnn,则ean=n,所以Sn=ea1+ea2+ean=1+2+n=n(n+1)2,因为满足Sn=ea1+ea2+eanm的n的最小值为5,所以S4mS5,得100,q1,解得a1=2,q5=5,a20-a19a10-a9=a1q19-a1q18
11、a1q9-a1q8=q10=25.17.B解析由题知,当n2时,Sn-Sn-1=Snn+2(n-1),整理得Snn-Sn-1n-1=2,即数列Snn是以1为首项,2为公差的等差数列,所以Snn=1+2(n-1)=2n-1,故Sn=2n2-n,所以nSn-2n2=2n3-3n2.令f(x)=2x3-3x2,x1,则f(x)=6x2-6x=6x(x-1)0,故f(x)在1,+)上单调递增,所以数列nSn-2n2是一个递增数列,当n=1时,nSn-2n2取得最小值1-2=-1.故选B.18.B解析由an+1=2an+3an-1(n2)得an+1+an=2an+3an-1+an=3(an+an-1).
12、a1+a2=3,数列an+1+an是以3为首项,3为公比的等比数列,an+1+an=3n.由题意,设cn=an+1+an=3n,则S99=a1+a2+a99=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a98+a99)=a1+c2+c4+c98=1+32+34+398=1+32-31001-32=950-18.故选B.19.D解析对于A,在数列1,2,1,2,1,2,中,存在M=1.5,anM,数列an的各项均大于或等于M不成立,故A中说法不正确;对于B,在数列1,2,1,2,1,2,中,存在M=-3,anM,此时an2M2不成立,故B中说法不正确;对于C,数列an为1,2,1,2,1,2,bn为2,1,2,1,2,1,存在M=1.6,anM,bnM,而an+bn的各项均为3,则an+bn(2M)不成立,故C中说法不正确;对于D,若anM,则2an+1中,2an+1与2an+1+1中至少有一个不小于2M+1,故2an+1(2M+1)正确,故选D.20.100解析函数y=sin25n的最小正周期T=50,由正弦函数的性质可知a1,a2,a240,a25=0,a26,a27,a490,a50=0,且sin2625=-sin25,sin2725=-sin225,又y=1n在(0,+)上单调递减,a26a1,a27a2,a49a24,S1,S2,S100都是正数.
