1、第8讲解三角形高考年份全国卷全国卷全国卷2020解三角形及三角形的周长的最值T172019三角恒等变换与解三角形T17解三角形及三角形的面积T182018正余弦定理的应用T171.2019全国卷ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.2.2018全国卷在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.3.2020浙江卷在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsinA-3a=0.(1)求角B的大小
2、;(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.三角形基本量的求解12020全国卷ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.2已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosC-33sinC=ba.(1)求角A的大小;(2)若P是线段CA延长线上的一点,且PA=3,AC=2,C=6,求PB.【规律提炼】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,若式子中含有角的余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;若式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理.测题202
3、0全国新高考卷在ac=3,csinA=3,c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=6,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.与三角形面积有关的问题3已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且13acosA-5ccosB=5bcosC.(1)求sinA;(2)若a=27且ABC的面积为6,求ABC的周长.【规律提炼】正、余弦定理都揭示了三角形边角之间的数量关系,而三角形的面积与三角形的边、角都有关系,所以在解决
4、三角形的面积问题时,正、余弦定理都是重要的工具.三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.测题1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4c=b+4acosB.(1)求sinA;(2)若a=4,且b+c=6,求ABC的面积.2.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(A+C)=23sin2B2.(1)求角B的大小;(2)若a+c=6,ABC的面积为3,求b.以平面几何为载体的解三角形问题4如图M2-8-1,在ABC中,AC=6
5、,D为AB边上一点,CD=AD=2,且cosBCD=64.(1)求sinB;(2)求ABC的面积.图M2-8-15如图M2-8-2,在平面四边形ABCD中,BC=2,CD=23,且AB=BD=DA.(1)若CDB=6,求tanABC的值;(2)求四边形ABCD面积的最大值.图M2-8-2【规律提炼】以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求解;四是善于用好三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于等于3,从而可以确定角或边的范围.测题已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为
6、a,b,c,C=120.(1)若a=2b,求tanA的值;(2)若ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求ABC的面积的最小值.第8讲解三角形真知真题扫描1.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC=sin(C+6
7、0-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.2.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25,所以BC=5.3.解:(1)由正弦定理得2sinBsinA=3sinA,故sinB=32,由题意得B=3.(2)由A+B+C=得C=23-A,由ABC是锐角三角形得
8、A6,2.由cosC=cos23-A=-12cosA+32sinA得cosA+cosB+cosC=32sinA+12cosA+12=sinA+6+123+12,32.故cosA+cosB+cosC的取值范围是3+12,32.考点考法探究解答1例1解:(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.由得cosA=-12.因为0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=23sin(-A-B)=3cosB-3sinB,故BC+AC+AB=3+3sinB
9、+3cosB=3+23sinB+3.又0B0,所以tanA=-3,又A(0,),所以A=23.(2)由(1)可知,BAC=23,又C=6,则ABC=6,所以AB=AC=2.在PAB中,PAB=3,由余弦定理,得PB2=PA2+AB2-2PAABcosPAB=9+4-6=7,所以PB=7.【自测题】解:方案一:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c2
10、2ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=6,A=23.由csinA=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.解答2例3解:(1)因为13acosA-5ccosB=5bcosC,所以由正弦定理得13sinAcosA=5sinBcosC+5sinCcosB,即
11、13sinAcosA=5sin(B+C)=5sinA.因为0A0,所以cosA=513,所以sinA=1-cos2A=1213.(2)因为SABC=12bcsinA=613bc=6,所以bc=13.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-10=(b+c)2-2bc-10=(b+c)2-36,即28=(b+c)2-36,解得b+c=8,所以ABC的周长为8+27.【自测题】1.解:(1)因为4c=b+4acosB,所以由正弦定理得4sinC=sinB+4sinAcosB,所以4sin(A+B)=sinB+4sinAcosB,即4cosAsinB=sinB.因为B(0,),所以s
12、inB0,所以cosA=14,所以sinA=154.(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA),因为a=4,b+c=6,所以36-52bc=16,所以bc=8,故ABC的面积为12bcsinA=128154=15.2.解:(1)在ABC中,sin(A+C)=23sin2B2,sinB=23sin2B2,即2sinB2cosB2=23sin2B2,0B,0B22,sinB20,tanB2=33,B2=6,B=3.(2)由ABC的面积为3,得12acsinB=3,ac=4,又a+c=6,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3a
13、c=24,b=26.解答3例4解:(1)在ADC中,由余弦定理得cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=22+22-(6)2222=14,所以sinADC=1-cos2ADC=1-(14)2=154.因为cosBCD=64,BCD是BCD的内角,所以sinBCD=1-cos2BCD=1-(64)2=104,所以sinB=sin(ADC-BCD)=sinADCcosBCD-cosADCsinBCD=15464-14104=108.(2)在BCD中,由正弦定理得BDsinBCD=CDsinB=BCsinBDC,所以BD=CDsinBCDsinB=2104108=4,BC=CDsinBDCs
14、inB=CDsinADCsinB=2154108=26,所以AB=AD+BD=6,所以SABC=12ABBCsinB=12626108=3152.例5解:(1)在BCD中,由正弦定理得CDsinCBD=BCsinBDC,sinCBD=23sin62=32.0CBD,CBD=3或CBD=23.当CBD=23时,A,B,C三点共线,矛盾,CBD=3,tanABC=tan(ABD+CBD)=tan3+3=tan23=-3.(2)设BCD=,(0,),在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos=22+(23)2-2223cos=16-83cos,S四边形ABCD=SBCD+SBA
15、D=12BCCDsin+12BABDsin3=43sin-3+43,(0,),当-3=2,即=56时,四边形ABCD的面积取得最大值,最大值为83.【自测题】解:(1)方法一:由a=2b及正弦定理知sinA=2sinB,则sinA=2sin(60-A),即sinA=3cosA-sinA,得tanA=32.方法二:c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-22bb-12=7b2,c=7b,则cosA=b2+c2-a22bc=b2+7b2-4b22b7b=27.A(0,180),sinA=1-cos2A=1-47=37,tanA=sinAcosA=32.(2)由ACB的平分线交AB于点D,得SACD+SBCD=SABC,12bsin60+12asin60=12absin120,则a+b=ab.由a+b=ab2ab,得ab4,当且仅当a=b时等号成立,ABC的面积的最小值为12324=3.
