1、模块综合检测(二)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1已知函数f(x)e2x1，则f(0)()A0 Be C2e DC解析：f(x)e2x1，f(x)2e2x1，f(0)2e.故选C2在等差数列an中，a1a4a736，a2a5a833，则a3a6a9的值为()A27 B30 C33 D36B解析：因为a1a4a73a436，所以a412.因为a2a5a833，所以a511.所以da5a41，所以a3a6a93a63(a5d)30.故选B3已知a0，b0，a，b的等比中项为2，则ab的最小值为()A3 B4 C5 D4C解析：ab(ab)(
2、ab)(ab)25，等号成立当且仅当ab2，原式的最小值为5.4函数y在(1,0)处的切线与直线l：yax垂直，则a()A3 B3 C DA解析：y，y|x1，函数在(1,0)处的切线的斜率是，所以，与此切线垂直的直线的斜率是3，a3.故选A5已知等差数列an的前n项和Sn满足：S37S23a，则S60()A4a Ba C5a DaB解析：因为S37S23a24a25a37147(a24a37)a.所以S606030(a24a37)a.故选B6函数f(x)(x22x)e2x的图象大致是()A解析：由于f(x)2(x23x1)e2x，而yx23x1的判别式9450，所以yx23x1开口向上且有两
3、个根x1，x2.不妨设x1x2，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上递增，在(x1，x2)上递减所以C，D选项不正确当x0，所以B选项不正确由此得出A选项正确故选A7周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A一尺五寸 B二尺五寸C三尺五寸 D四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an，Sn是其前n项和，则S99a585.5，所以a59.5，由题知a1a4a73a431.5，所以a410.5，所以公差
4、da5a41.所以a12a57d2.5尺故选B8已知函数f(x)x3x和点P(1，1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为()A1 B2 C3 D4B解析：因为f(1)1310，所以点P(1，1)没有在函数的图象上设切点坐标为(x0，y0) ，则y0xx0，则f(x)3x21.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k3x1，过P(1，1)和切点的斜率表示为k，所以化简可得x(2x03)0，所以x00或x0.所以切点有两个，因而有两条切线方程故选B二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9已知数列an的前n项和为Sn，Sn2an2，若存在两项am，an，使得aman64，则()A数列
5、an为等差数列B数列an为等比数列CaaaDmn为定值BD解析：由题意，当n1时，S12a12，解得a12，当n2时，Sn12an12，所以SnSn1an2an2(2an12)2an2an1，所以2，数列an是以a12为首项，q2为公比的等比数列，an2n，故选项A错误，选项B正确；数列a是以a4为首项，q14为公比的等比数列，所以aaa，故选项C错误；aman2m2n2mn6426，所以mn6为定值，故选项D正确故选BD10若函数exf(x)(e2.718 2是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数为()Af(x)2x Bf(x
6、)3xCf(x)x3 Df(x)x22AD解析：对于选项A，f(x)2x，则g(x)exf(x)ex2xx为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)3x，则g(x)exf(x)ex3xx为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)x3，则g(x)exf(x)exx3，g(x)exx33exx2ex(x33x2)exx2(x3)，当x3时，g(x)0，g(x)exf(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)x22，则g(x)exf(x)ex(x22)，g(x)ex(x22)2xexex(x22x2)0在实数集R上恒成立，g(x)exf(x)在定义域R上是增函数故选AD11设等比数列an的公比为q
7、，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a6a71，0，则下列结论正确的是()A0q1CSn的最大值为S7 DTn的最大值为T6AD解析：易知q0，若q1，则a61，a71，与0矛盾，故0q1.所以0a71.所以a6a8a0，a80，所以Sn的最大值一定不为S7.因为0a71，所以Tn的最大值为T6，故选AD12设f(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f(x)xf(x)ln x，f(1)，则下列结论正确的是()Axf(x)在(1，)单调递增Bxf(x)在(0,1)单调递减Cxf(x)在(0，)上有极大值Dxf(x)在(0，)上有极小值ABD解析：由x2f(x)xf(x)ln
8、x得x0，则xf(x)f(x)，由xf(x).设g(x)xf(x)，即g(x)0得x1.由g(x)0得0x1，即xf(x)在(1，)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x1时，函数g(x)xf(x)取得极小值g(1)f(1).故选ABD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列an中，a48，a84，则其通项公式an_.12n解析：等差数列an中，a48，a84，解得a111，d1，an11(n1)(1)12n.14.已知正项等比数列an满足a11，a2a6a7a1a9，则an_，数列log2an的前n项和为_2n1解析：由a11，a2a6a7a1a9得a5a1q4，q
9、，ann12n1.而log2ann1，所以log2an的前n项和为.15.函数f(x)x2ln x的单调递减区间是_(0,1解析：f(x)x2ln x，则f(x)x0，故00，函数yf(x)单调递增，函数无极值；当m0时，令f(x)0xm，当x(0，m)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以当xm时，函数yf(x)取极小值，且为f(m)ln m1.依题意有ln m10m，因此，实数m的取值范围是.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式an；(2)若a3，a5分别是等差数列bn的第4项和第16项，求数列bn的通项公
10、式及前n项和Sn.解：(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，所以an2n.(2)由(1)得a38，a532，则b48，b1632.设bn的公差为d，则有解得从而bn22(n1)2n.所以数列bn的前n项和Snn2n.18.(12分)已知函数f(x)x23ln x.(1)求f(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点若有，判断零点的个数解：(1)由已知得f(x)x，有f(1)2，f(1)，在(1，f(1)处的切线方程为y2(x1)，化简得4x2y50.(2)由(1)知f(x)，因为x0，令f(x)0，得x.所以当x(0，)时，有f(x)0
11、，则(，)是函数f(x)的单调递增区间；当x(1，e)时，函数f(x)在(1，)上单调递减，在(，e)上单调递增又因为f(1)，f(e)e230，f()(1ln 3)13.(1)解：设数列an的公差为d，S99a554，a56，d2，ana3(n3)d2n4.(2)证明：，(1)()()114113，13.20.(12分)设函数 f(x)exax1(aR)(1)若a2，求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值；(2)当x0时，f(x)0，求a的取值范围解：(1)f(x)ex2x1，取f(x)ex20，即xln 2，函数在0，ln 2上单调递减，在(ln 2,2上单调递增，且f(0)0，f(
12、2)e25，f(ln 2)12ln 2，故函数的最大值为f(2)e25，最小值为f(ln 2)12ln 2.(2)f(x)exax1，f(x)exa，f(0)0.当a0时，f(x)exa0，函数单调递增，故f(x)f(0)0，成立；当a0时，f(x)exa0，即xln a，故函数在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(ln a)0时，f(x)exa0，xln a，当x(，ln a)时，f(x)0，函数单调递增综上所述，a0时，f(x)在R上单调递增；a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)f(x)exaxb0在x0，)上恒成立，fab0，故ab2，现在证明存在a，b，ab2，使f(x)的最小值为0.取a，b(此时可使f0)，f(x)exa， f(x)ex，b1，故当x0，)时，(x21)1，ex1，故f(x)0，f(x)在0，)上单调递增，f0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)minf0.综上所述，ab的最大值为2.
