1、2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|（x+2）（x3）0，Bx|y，则A（RB）（）A2，1）B1，3C（，2）D（2，1）2已知（5，1），（3，2），对应的复数为z，则（）A5iB3+2iC2+3iD23i3（2xy）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A80B80C40D404在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）据此绘制了如图所示
2、的频率分布直方图则这200名学生中成绩在80，90）中的学生有（）A30名B40名C50名D60名5函数f（x）的零点之和为（）A1B1C2D26我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A21名B16名C13名D11名7设mlog0.30.6，n，则（）Am+nmn0Bmn0m+nCm+n0mnDmnm+n08元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶
3、中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x（）ABCD9已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量3，2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）ABC10D2010函数f（x）xln的部分图象可能是（）ABCD11已知函数f（x），令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（）AB（，0）CD12如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，Q5，记（i1，2，5），则n1+n2+n5的值为（）AB45CD二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13（5分）命题“xR，f（x）x
4、”的否定形式是 14（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0） ；函数f（x）在x1处导数f（1） 15（5分）如图，在单位圆中，7SPON2，MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sinPOM 16（5分）已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（12分）已知an是递增的等差数列，且满足a2+a420，a1a536（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的
5、前n项和Tn的最小值18（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，ABC的面积为，求边CD的最小值19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB，ABB1，且ABB1C（1）求证：CD平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值20（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低
6、于200分钟的学生称为“非阅读爱好”（1）根据已知条件完成下面22列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？非阅读爱好阅读爱好合计男50女14合计（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望E附：P（K2k0）0.010.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828，na+b+c+d21（12分）已知函数f（x）eax+b（a，bR）的图象与直线l：yx+1相切，f（x）是f（x）的导函数，且f（1）e（1）求f（x）
7、；（2）函数g（x）的图象与曲线ykf（x）（kR）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1），B（x2，g（x2），求证：x1+x24请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值选修4-5：不等式选讲2
8、3已知x，y，z均为正数（1）若xy1，证明：|x+z|y+z|4xyz；（2）若，求2xy2yz2xz的最小值2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|（x+2）（x3）0，Bx|y，则A（RB）（）A2，1）B1，3C（，2）D（2，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可【解答】解：Ax|2x3，Bx|x1，RBx|x1，A（RB）（2，1）故选：D【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，
9、考查了计算能力，属于基础题2（5分）已知（5，1），（3，2），对应的复数为z，则（）A5iB3+2iC2+3iD23i【分析】根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求【解答】解：（5，1），（3，2），（）（2，3），对应的复数为z2+3i，则23i，故选：D【点评】本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题3（5分）（2xy）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A80B80C40D40【分析】在二项展开式的通项公式中，令y的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x3y2的系数【解答】解：（2xy）5的展开式中，通项公式为 Tr+1（1）r（2x
10、）5ryr，令r2，可得含x3y2的系数为2380，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题4（5分）在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）据此绘制了如图所示的频率分布直方图则这200名学生中成绩在80，90）中的学生有（）A30名B40名C50名D60名【分析】由频率直方图可求出绩在80，90）内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生【解答】解：成绩在80，90）内
11、的学生所占的频率为1（0.0052+0.025+0.045）100.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有2000.240名，故选：B【点评】本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题5（5分）函数f（x）的零点之和为（）A1B1C2D2【分析】利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果【解答】解：函数f（x），可得x0时，3x20，解得xlog32，x0时，x+log360，解得xlog36所以函数f（x）的零点之和为：log32log361故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力6（5分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔
12、x名男生，y名女生组成个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A21名B16名C13名D11名【分析】由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数zx+y对应的最优解，计算可行域内使得z取得最大时的最优解【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即zx+y取得最大值，目标函数化为yx+z；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值1，截距最大时的直线为过得A（7，9），此时目标函数取得最大值为：z9+716故选：B【点评】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题7（5分）设m
13、log0.30.6，n，则（）Am+nmn0Bmn0m+nCm+n0mnDmnm+n0【分析】先求出mlog0.30.6（log0.30.2+1）2，n0，由此能推导出m+n0mn【解答】解：mlog0.30.6（log0.30.2+log0.30.3）（log0.30.2+1）2，n0，m+n0mn故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒
14、”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x（）ABCD【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：i1时x2x1，i2时，x2（2x1）14x3，i3时，x2（4x3）18x7，i4时，退出循环，此时8x7x解得x，故选：C【点评】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键9（5分）已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量3，2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）ABC10D20【分析】由已知可得0，可得，可得平面四边形ABCD的面积|【解答】解：（3）（2+6）660，又|，|2，平面四边形ABCD的面积|210，故选：
15、C【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）函数f（x）xln的部分图象可能是（）ABCD【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的奇偶性以及（0，）上的符号，利用排除法分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）xln，则f（x）（x）lnxlnf（x），则函数f（x）为偶函数，据此排除C、D；在（0，）上，sinx0，则有01，必有ln0，则f（x）xln0，据此排除B；故选：A【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题11（5分）已知函数f（x），令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值
16、范围是（）AB（，0）CD【分析】令F（x）f（x），利用分段函数通过函数的导数，求解函数的极值，利用函数的图象通过F（x）a（a为常数）有两个不相等的实根，则a0或，求解即可【解答】解：令F（x）f（x），当x0时，函数F（x）2（lnx+1）1lnx，由F（x）0得1lnx0得lnx1，得0xe，由F（x）0得1lnx0得lnx1，得xe，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当xe时，函数F（x）取得极大值，极大值为F（e）2eelne2eee，当x0时，是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数F（x）的图象如图：要使F（x）a（a为常数）有两个不相等的实根，则a0或，即若函数g
17、（x）有两个不同零点，实数a的取值范围是，故选：C【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系，函数的导数的应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题12（5分）如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，Q5，记（i1，2，5），则n1+n2+n5的值为（）AB45CD【分析】可求得A2，A3的坐标，进而得到，运用数量积公式可得，由此得解【解答】解：由题意得，函数f（x）的周期T1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，则，因为，故，故故选：D【点评】本题考查三角函数的图象，向量的坐标运算，向量垂直的判断，
18、向量的分解，向量的数量积运算，以及数形结合思想，逻辑推理能力能，呈现方式新颖，属于较难题目二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13（5分）命题“xR，f（x）x”的否定形式是x0R，f（x0）x0【分析】否定：否定量词，否定结论【解答】解：否定：否定量词，否定结论故命题“xR，f（x）x”的否定形式是为：x0R，f（x0）x0故答案为：x0R，f（x0）x0【点评】本题考查命题否定，属于基础题14（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）2；函数f（x）在x1处导数f（1）2【分析】（1）要求f（f（0）
19、的值，可先求f（0）4，再求f（4），此即为所求；（2）函数的图象可知，然后求出导数即可求出结果【解答】解：（1）由图象可知f（0）4，f（4）2，即f（f（0）2（2）f（0）4，f（4）2，f（2）4，由函数的图象可知，当0x2时，f（x）2f（1）2故答案为：2，2【点评】本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题15（5分）如图，在单位圆中，7SPON2，MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sinPOM【分析】由7SPON2，得到，故90+60120，得，再由sinsin（+60）60展开代入即可【解答】解：设POM，因为7SPO
20、N2，所以，又MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，所以，故90+60120，得，sinsin（+60）60，故答案为：【点评】考查三角形两角和与差的公式，单位圆，三角形的面积等，中档题16（5分）已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为2，【分析】利用三角形面积公式得到a2bcsinA，由余弦定理和两角和与差公式sinA+2cosA），结合基本不等式求出的范围【解答】解：已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，所以，所以a2bcsinA，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，所以sinA+
21、2cosA），其中tan2，所以，由根据基本不等式，当且仅当bc时，取等号，故，故答案为：【点评】本题考查均值不等式的应用，三角形面积，余弦定理，三角函数辅助角公式，三角函数求最值，考查逻辑推理能力，中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（12分）已知an是递增的等差数列，且满足a2+a420，a1a536（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和Tn的最小值【分析】（1）设公差为d，则d0，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn（4n2）302n31，运用等差数列的求和公式，配方可
22、得所求最小值【解答】解：（1）an是递增的等差数列，设公差为d，则d0，a2+a420，a1a536，可得a1+a520，解得a12，a518，d4，则an2+4（n1）4n2；（2）bn（4n2）302n31，可得前n项和Tnn（29+2n31）n230n（n15）2225，当n15时，前n项和Tn取得最小值225【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题18（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，ABC的面积为，求边CD的最小值【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行
23、化简，然后结合两角和的正弦公式及诱导公式可求cosC，进而可求C；（2）由，代入可求ab然后由，结合向量数量积的性质及余弦定理，基本不等式可求【解答】解：（1）由正弦定理：，又，由题，所以因为sinA0，所以cosC（2sinBsinA）cosAsinC，即cosCsinA+cosAsinC2sinBcosC，即sinBsin（A+C）2sinBcosC，因为sinB0，所以，则（2）由，即，所以ab12由，所以当且仅当ab时取等，所以边CD的最小值为3【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，属于中档试题19（12分）如图，在三棱柱ABC
24、A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB，ABB1，且ABB1C（1）求证：CD平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值【分析】（1）推导出CDAB，连结B1D，设AB2a，则，推导出CDB1D，由此能证明CD平面ABB1A1（2）设CD与平面BCC1B1所成角为，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB2a，由，求出d，由此能求出CD与平面BCC1B1所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：D为AB中点，ACBC，CDAB，连结B1D，如图，设AB2a，四边形ABB1A1是菱形，D为AB 中点，ABB1，ABC是等腰直角三角形，
25、CDa，CDB1D，ABB1DD，CD平面ABB1A1（2）解：设CD与平面BCC1B1所成角为，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB2a，由（1）知B1D平面BCD，则，BC，B1BB1C2a，解得d，sinCD与平面BCC1B1所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低
26、于200分钟的学生称为“非阅读爱好”（1）根据已知条件完成下面22列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？非阅读爱好阅读爱好合计男50女14合计（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望E附：P（K2k0）0.010.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828，na+b+c+d【分析】（1）完成22列联表，求出K265.024，从而有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关（2）由频率分布直方图知从该校学生中任
27、意抽取1名学生，恰 为“阅读爱好”的概率为，由题意知B（4，），由此能求出的分布列和E（）【解答】解：（1）完成22列联表如下：非阅读爱好阅读爱好合计男242650女361450合计6040100K265.024，有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关（2）由频率分布直方图知：从该校学生中任意抽取1名学生，恰 为“阅读爱好”的概率为，由题意知B（4，），P（0），P（1），P（2），P（3），P（4），的分布列为： 01 2 3 4 P E（）4【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二次分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已
28、知函数f（x）eax+b（a，bR）的图象与直线l：yx+1相切，f（x）是f（x）的导函数，且f（1）e（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线ykf（x）（kR）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1），B（x2，g（x2），求证：x1+x24【分析】（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），求得f（x）的导数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得m，n的方程和a，b的方程，解方程组可得a，b，进而得到所求f（x）的解析式；（2）求得yg（x）的解析式，g（x1）x1+1，g（x2）x2+1，两式相加和相减，相除可得x1+x
29、2+2（x1x2），令x1x2t（t0），可得要证x1+x24，即证t2，即证t（1+et）2（et1）0，可令h（t）t（1+et）2（et1），t0，求得二阶导数，判断单调性，即可得证【解答】解：（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），函数f（x）eax+b的导数为f（x）aeax+b，由题意可得aeam+b1，eam+bm+1，且aea+be，解得a1，b0，m0，可得f（x）ex；（2）函数g（x）的图象与曲线ykf（x）（kR）关于y轴对称，可得g（x）kf（x）kex，由g（x1）x1+1，g（x2）x2+1，可得kex1x1+1，kex2x2+1，两式相加可得k
30、（ex1+ex2）x1+x2+2，两式相加可得k（ex1ex2）x1x2，两式相除可得，则x1+x2+2（x1x2），令x1x2t（t0），则x1+x2+2t，要证x1+x24，即证t2，即证t（1+et）2（et1）0，可令h（t）t（1+et）2（et1），t0，h（t）1+tetet，h（t）tet0，h（t）在t0递增，h（t）h（0）0，可得h（t）在t0递增，即有h（t）h（0）0，可得x1+x24成立【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查构造函数法和方程思想、化简运算能力，属于中档题请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：
31、坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数，得曲线C1的普通方程把4cos两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线C2的普通方程联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；（2）由，展开两角和的正弦，得直线l的直角坐标方程，求得M（0，
32、4），写出直线l的参数方程，代入曲线C1（x5）2+y210，再由参数t的几何意义求解【解答】解：（1）由（为参数），消去参数，得曲线C1的普通方程为：（x5）2+y210由4cos，得24cos，得曲线C2的普通方程为：x2+y24x，即（x2）2+y24由两圆心的距离，得两圆相交，两方程相减可得交线为6x+215，即直线的极坐标方程为；（2）由，得，直线l的直角坐标方程：x+y4，则与y轴的交点为M（0，4）直线l的参数方程为，代入曲线C1（x5）2+y210，得设A，B两点的参数为t1，t2，t1t231，则t1，t2同号【点评】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的
33、互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知x，y，z均为正数（1）若xy1，证明：|x+z|y+z|4xyz；（2）若，求2xy2yz2xz的最小值【分析】（1）利用基本不等式可得|x+z|y+z|，再根据0xy1时，即可证明|x+z|y+z|4xyz；（2）由，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz3，从而求出2xy2yz2xz的最小值【解答】解：（1）证明：x，y，z均为正数，|x+z|y+z|（x+z）（y+z），当且仅当xyz时取等号又0xy1，|x+z|y+z|4xyz；（2），当且仅当xyz1时取等号，xy+yz+xz3，2xy2yz2xz2xy+yz+xz8，2xy2yz2xz的最小值为8【点评】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题
