1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！五年高考真题分类汇编：不等式、推理与证明一.选择题1.（2015 四川高考，理 9）如果函数 21281002f xmxnxmn，在区间 1 22，上单调递减，则 mn 的最大值为（）（A）16 （B）18 （C）25 （D）812【解析】选 B.2m 时，抛物线的对称轴为82nxm.据题意，当2m 时，822nm即212mn.226,182mnm nmn.由2mn且212mn得3,6mn.当2m 时，抛物线开口向下，据题意得，8122nm即218mn.28129,22nmn mmn.由2nm且218mn得92m，故应舍去.要使得mn
2、 取得最大值，应有218mn(2,8)mn.所以(182)(182 8)816mnn n ，所以最大值为 18.2.（2015 北京高考，理 2）若 x，y 满足010 xyxyx ，则2zxy的最大值为（）A0B1C 32D2【解析】选 D.如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！作直线12yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值 2.3（2015 广东高考，理 6）若变量 x，y 满足约束条件2031854yxyx则yxz23 的最小值为（）A531B.6 C.523D.4
3、【答案】C 4.（2015 陕西高考，理 9）设()ln,0f xxab，若()pfab，()2abqf，1()()2rf af b，则下列关系式中正确的是（）A qrpB qrpC prqD prq【解析】选 C.()lnpfabab，()ln22ababqf，11()()lnln22rf af babab，函数()lnf xx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qpr高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！5(2015 湖北高考，理 10)设 xR，x 表示不超过 x 的最大整数.若存在实数t，使得 1t ，2 2t，ntn同时成立，则正整
4、数 n 的最大值是（）A3 B4 C5 D6【解析】选 B.因为 x 表示不超过 x 的最大整数.由1t得21 t，由2 2 t得322 t，由3 4 t得544 t，所以522 t，所以522 t，由3 3 t得433 t，所以5465 t，由5 5 t得655 t，与5465 t矛盾，故正整数 n的最大值是 4.6.（2015 天津高考，理 2）设变量,x y 满足约束条件2030230 xxyxy，则目标函数6zxy的最大值为()（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C7.（2015 陕西高考，理 10）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料已知生产 1吨每种产品需
5、原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A12 万元B16 万元C17 万元D18 万元高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！甲乙原料限额（吨）3212（吨）128【解析】选 D.设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x、y 吨，则利润34zxy由题意可列32122800 xyxyxy ，其表示如图阴影部分区域：当直线340 xyz过点(2,3)A时，z 取得最大值，所以max3 24 318z ，故选D8.（2015 山东高考，理 5）不等式152xx 的解集是（）（A）（-，4）（
6、B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【解析】选 A.原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152xxxIIIIIIxxxxxx 解（I）得：1x,解（II）得：14x,解（III）得：x,所以，原不等式的解集为4x x.故选 A.9.（2015 福建高考，理 5）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,xyxyxy 则2zxy的最高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！小值等于()A52B 2C32D2值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题10.（2015 山东高考，理
7、 6）已知,x y 满足约束条件020 xyxyy，若 zaxy的最大值为 4，则 a （）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【解析】选 B.不等式组020 xyxyy 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！若 zaxy的最大值为 4，则最优解可能为1,1xy或2,0 xy，经检验，2,0 xy是最优解，此时2a；1,1xy不是最优解.故选 B.11.（2015 湖南高考，理 4）若变量 x，y 满足约束条件1211xyxyy，则3zxy的最小值为（）A.-7 B.-1 C.1 D.2【解析】选 A.如下图所示
8、，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线 l：30 xy，平移l，从而可知当2x，1y时，min3(2)17z 的最小值是7，故选 A.12.（2015 上海高考，理 17）记方程：2110 xa x，方程：2220 xa x，方程：2340 xa x，其中1a，2a，3a 是正实数当1a，2a，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根 C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根【答案】B高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！13.（2015 天津高考，文 2）设变量,yx满足约束条件2020280
9、 xxyxy-?-?+-?,则目标函数3yzx=+的最大值为（）(A)7 (B)8 (C)9 (D)14【解析】选 C.()()513y2289922zxxxy=+=-+-+?,当2,3xy时取得最大值 9,故选 C.14.（2015 浙江高考，文 6）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为 x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且abc在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz【解析】选 B.由 xyz，abc
10、，所以()()()axbyczazbycxa xzc zx()()0 xz ac，故axbyczazbycx；同理，()aybzcxaybxcz()()()()0b zxc xzxz cb，故aybzcxaybxcz.因为()azbycxaybzcx()()()()0a zyb yzab zy，故azbycxaybzcx.故最低费用为azbycx.故选 B.15.（2015 重庆高考，文 10）若不等式组2022020 xyxyxym,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 43，则 m 的值为（）(A)-3 (B)1 (C)43(D)3【解析】选 B.如图，高考资源网（）您身边的高考专家高考资
11、源网版权所有，侵权必究！，由于不等式组2022020 xyxyxym,表示的平面区域为 ABC，且其面积等于 43，再注意到直线:20AB xy与直线:20BC xym互相垂直，所以 ABC是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)ABmm,2422(,)33mmC;从而112222122223ABCmSmmm=43，化简得：2(1)4m，解得3m ,或1m ，检验知当3m 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m ;故选 B.16.（2015 湖南高考，文 7）若实数,a b 满足 12abab，则ab 的最小值为()A、2B、2 C、22D、4【解析】选C.12121220
12、022,2 2abababababababab，（当且仅当2ba时取等号），所以ab 的最小值为2 2，故选 C.17.（2015 四川高考，文 9）设实数 x，y 满足2102146xyxyxy ，则 xy 的最大值为()(A)252(B)492(C)12 (D)14高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！18.(2015 广东高考，文 4)若变量 x，y 满足约束条件2204xyxyx ，则23zxy的最大值为（）A10B8C5D2【解析】选 C.作出可行域如图所示：作直线 0:l230 xy，再作一组平行于 0l 的直线:l 23xyz，当直线l 经过点 时，23zx
13、y取得最大值，由224xyx 得：41xy，所以点 的坐标为4,1，所以max2 4315z ，故选 C 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！19.（2015 湖南高考，文 4）若变量 xy，满足约束条件111xyyxx，则2zxy的最小值为()A、1B、0 C、1 D、2【解析】选 A.由 约 束 条111xyyxx 作 出 可 行 域 如 图，由 图 可 知，最 优 解 为A，联 立100,111xyxAyxy,2zxy在点 A 处取得最小值为 1 故选：A20.（2015 福建高考，文 10）变量,x y 满足约束条件02200 xyxymxy，若2zxy的最大值
14、为 2，则实数m 等于（）A 2B 1C1D2【解析】选 C.将目标函数变形为2yxz，当 z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m 时，不满足题意；当0m 时，画出可行域，如图所示，其中22(,)21 21mBmm显然(0,0)O不是最优解，故只能22(,)21 21mBmm是最优解，代入目标函数得4222121mmm，解得1m ，故选 C高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！x123412341234123BOC21.（2015 福建高考，文 5）若直线1(0,0)xyabab过点(1,1)，则ab的最小值等于（）A2 B3 C4 D5【解 析】选 C.由 已 知 得
15、 111ab，则11=()()abab ab2+baab，因 为0,0ab，所以+2=2bab aaba b，故4ab，当=baab，即2ab时取等号22.(2015 安徽高考，文 5)已知 x，y 满足约束条件0401xyxyy，则yxz2的最大值是（）（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1【解析】选 A.根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！令yxz 2zxy 2，可知在图中)1,1(A处，yxz 2取到最大值-1,故选 A.23.(2015 上海高考，文 16)下列不等式中，与不等式23282xxx解集相同的是（）.A
16、.2)32)(8(2xxx B.)32(282xxx C.823212xxx D.218322xxx【解析】选 B.因为022)1(3222xxx，8x可能是正数、负数或零，所以由)32(282xxx可得23282xxx，所以不等式23282xxx解集相同的是)32(282xxx，选 B.24.（2015 陕西高考，文 11）（与陕西理同）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A12 万元B16 万元C17 万元D18 万元甲乙原料
17、限额（吨）3212（吨）128【解析】选 D.设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x、y 吨，则利润34zxy由题意可列32122800 xyxyxy ，其表示如图阴影部分区域：高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！当直线340 xyz过点(2,3)A时，z 取得最大值，所以max3 24 318z ，故选D25.（2015湖 北 高 考，理9）已 知 集 合22(,)1,Ax y xyx yZ，(,)|2,|2,Bx yxyx yZ，定义集合12121122(,)(,),(,)ABxxyyx yAxyB，则 AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30【解析】
18、选 C.因为集合22(,)1,Ax y xyx yZ，所以集合 A 中有 9 个元素（即 9 个点），即图中圆中的整点，集合(,)|2,|2,Bx yxyx yZ 中有 25 个元素（即 25 个点）：即图中正方形 ABCD 中的整点，集合12121122(,)(,),(,)ABxxyyx yAxyB的元素可看作正方形1111DCBA中的整点（除去四个顶点），即45477个.26.(2015广东高考，理8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A大于 5 B.等于 5 C.至多等于 4 D.至多等于 3【解析】选 C.显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n
19、或4n 时命题成立，由此可排除 A、B、D，故选C 27.（2015 浙江高考，理 6）设 A，B 是有限集，定义(,)()()d A Bcard ABcard AB，其中()card A 表示有限集 A 中的元素个数，命题：对任意有限集 A，B，“AB”是“(,)0d A B”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A，B，C，(,)(,)(,)d A Cd A Bd B C，（）A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不成立，命题成立高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【答案】A.28.（2015 北京高考，理 8）汽车的“燃油效率”是
20、指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】选 D.“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小
21、时的速度行驶 1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！机动车最高限速 80 千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选 D.29.（2015 广东高考，文 10）若集合,04,04,04,p q r spsqsrsp q r s 且，F,04,04,t u v wtuvwt u v w 且，用 card 表示集合 中的元素个数，则 cardcard F （）A50B100C150D200【答案】D 30.（2015 浙江高考，文
22、8）设实数a，b，t 满足1sinabt（）A若t 确定，则2b 唯一确定B若t 确定，则22aa唯一确定C若t 确定，则sin 2b 唯一确定D若t 确定，则2aa唯一确定【解析】选 B.因为1sinabt，所以222(1)sinabt，所以2221aat，故当t 确定时，21t 确定，所以22aa唯一确定.故选 B.31.（2015湖 北 高 考，文10）已 知 集 合22(,)1,Ax y xyx yZ，(,)|2,|2,Bx yxyx yZ，定义集合12121122(,)(,),(,)ABxxyyx yAxyB，则 AB中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30【解析】选 C.由
23、题意知，22(,)1,(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)Ax y xyx yZ，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(,)|2,|2,Bx yxyx yZ，所以由新定义集合 AB可知，111,0 xy 或110,1xy .当111,0 xy 时，123,2,1,0,1,2,3xx，122,1,0,1,2yy，所以此时 AB中元素的个数有：7535个；当110,1xy 时，122,1,0,1,2xx，123,2,1,0,1,2,3yy，这种情形下和第一种情况下除12yy的值取 3 或3外均相同，即此时有5210，由分类计数原理知，AB中元素的个数为351045
24、个，故应选C.32.（2014山东高考理科5）已知实数,x y 满足xyaa（01a），则下列关系式恒成立的是（）A、221111xy.B、22ln(1)ln(1)xy.C、sinsinxy.D、33yx.【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断 x,y的大小，然后判断每个选项.【解析】选 D.由10aaayx知，yx，所以选项具体分析结论A112 xy在0,递增，,0递减.无法判断B1ln2 xy在0,递减，,0递增.无法判断Cxysin为周期函数.无法判断D3xy 在 R 上位增函数.33yx 33.（2014山东高考文科5）与（2014山东高考理科5）
25、相同已知实数,x y 满足xyaa（01a），则下列关系式恒成立的是（）A、221111xy.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！B、22ln(1)ln(1)xy.C、sinsinxy.D、33yx.【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断 x,y的大小，然后判断每个选项.【解析】选 D.由10aaayx知，yx，所以选项具体分析结论A112 xy在0,递增，,0递减.无法判断B1ln2 xy在0,递减，,0递增.无法判断Cxysin为周期函数.无法判断D3xy 在 R 上位增函数.33yx 34.（2014四川高考理科4）若0 ba
26、，0 dc，则一定有（）A.dbca B.dbca C.cbda D.cbda【解题提示】本题考查不等式的基本性质.【解析】选 D.因为0 dc，所以0cd ，即得 110dc，又0 ba，得abdc，从而有cbda.35.（2014四川高考文科5）与（2014四川高考理科4）相同若0 ba，0 dc，则一定有（）A.cbda B.cbda C.dbca D.dbca【解题提示】本题考查不等式的基本性质.【解析】选 B.因为0 dc，所以0cd ，即得 110dc，又0 ba，得abdc，从而有cbda.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！36.（2014浙江高考理科1
27、5）设函数 0,0,22xxxxxxf若 2aff，则实数a 的取值范围是_.【解析】由题意2()0()()2f afaf a，或2()0()2f afa，解得()2f a，所以202aaa或202aa，解得2a答案：2a37.(2014湖北高考文科T4)若变量 x,y 满足约束条件4,2,0,0,xyxyxy 则 2x+y 的最大值是()A.2 B.4 C.7 D.8【解题提示】根据已知的约束条件画出满足约束条件4,2,0,0,xyxyxy 的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.【解析】选 C.满足约束条件4,2,0,0,xyxyxy 的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数 z=2x+
28、y,即 y=-2x+z,显然,当直线经过点 B 时 z 的值最大,最大值为 7.38.(2014广东高考文科T4)若变量 x,y 满足约束条件28,04,03,xyxy 则 z=2x+y 的最大值等于 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！()A.7 B.8C.10D.11【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选C.作出可行域OABCD是34的矩形去掉一个12的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以当动直线 z=2x+y 经过点 C(4,2)时取得最大值 10.39.(2014广东高考理科)若变量 x,y 满足约束条件,1,
29、1,yxxyy 且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=()A.5B.6C.7D.8【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选 B.如图,可行域是以 A 1 1(,)2 2,B(-1,-1),C(2,-1)为顶点的等腰直角三角形,所以当动直线 z=2x+y 经过点 C(2,-1)时取得最大值 3,经过点 B(-1,-1)时取得最小值-3,所以m-n=6.40.（2014福建高考文科11）11已知圆22:1Cxayb，设平面区域70,70,0 xyxyy，若圆心C ,且圆 C 与 x 轴相切，则22ab的最大值为（）.5.29.37.
30、49ABCD高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解题指南】画出可行域，发现最优解【解析】由圆 C 与 x 轴相切可知，b=1又圆心 C（a,b）在平面区域（如图 2）内，由301xyy，解得21xy；由701xyy，解得61xy故2,6a 所以当6,1ab 时，22ab取最大值为 3741.（2014山东高考理科9）已知,x y 满足约束条件10,230,xyxy 当目标函数(0,0)zaxby ab在该约束条件下取到最小值2 5 时，22ab的最小值为（）A、5 B、4 C、5D、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析
31、】选 B.解方程组03201yxyx求得交点为1,2，则522ba，22ba 的最小值即为在直线522ba上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点0,0到直线522ba的距离的平方为4255222.42.（2014山东高考文科10）与(2014山东高考理科9）相同已知,x y 满足约束条件10,230,xyxy 当目标函数(0,0)zaxby ab在该约束条件下取到最小值2 5 时，22ab的最小值为（）高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！A、5 B、4 C、5D、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选 B.解方程组
32、03201yxyx求得交点为1,2，则522ba，22ba 的最小值即为在直线522ba上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点0,0到直线522ba的距离的平方为4255222.43.（2014天津高考文科2 同 2014天津高考理科2）设变量yx,满足约束条件.1,02,02yyxyx则目标函数yxz2的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选 B.由2zxy得1122yxz。作出可行域如图，平移直线1122yxz，由图象可知当直线1122yxz 经过点 A 时，直线1122yxz 的截距最小，此时 z 最小，由201xyy，得11xy，即(1,1)A代入1122yxz，得3
33、z.8.（2014安徽高考理科5）yx,满足约束条件02202202yxyxyx，若axyz取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A,121或B.212或C.2 或 1 D.12或【解题提示】画出线性约束条件的图像，数形结合判断。【解析】选 D.由线性约束条件可得其图象如图所示，由图象可知直线axyz经过 AB 或AC 时取得最大值的最优解不唯一，此时 a=2 或-1A高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！44.(2014新课标全国卷高考文科数学T9)设 x,y 满足约束条件1010330 xyxyxy 则 z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.1【解题
34、提示】结合约束条件,画出可行域,然后将目标函数化为斜截式,平移得最大值.【解析】选 B.画可行区域知为三角形,可以代值.两两求解,得三点坐标(1,0),(3,2),(0,1).代入 z=x+2y,则最大值为 7.故选 B.45.(2014新课标全国卷高考理科数学T9)设 x,y 满足约束条件70310350 xyxyxy 则 z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.2【解题提示】结合约束条件,画出可行域,然后将目标函数化为斜截式,平移得最大值.【解析】选 B.画出区域,可知区域为三角形,经比较斜率,可知目标函数 z=2x-y 在两条直线x-3y+1=0 与 x+y-7=0 的交点(5
35、,2)处,取得最大值 z=8.故选 B.46.（2014福建高考文科9）9要制作一个容积为34m，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是是每平方米 10 元，则该溶器的最低总造价是（）.80.120.160.240ABCD元元元元【解题指南】利用基本不等式建立关系式求解，可以考虑设两变量，也可以考虑设一变量。【解析】由容器体积为 4，高为 1 可知，容器的底面积为 4设底面长为 x，则宽为 4x，总造价为 W由题意，442121 104 20208020 2 480160Wxxxx ，当4xx，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必
36、究！即2x 时取“=”47.（2014重庆高考文科9）若42log(34)log,abab则ab的最小值是（）A.62 3B.72 3C.64 3D.74 3【解题提示】直接根据题设条件得到关于,a b 的等式，进而利用不等式求解ab的最小值.【解析】选.42log(34)log,abab可得34,abab且0,0ab341,abab即 341,ba所以ab343434()77274 3.abababbababa故选 D48.(2014广东高考文科T10)对任意复数1,2,定义1 2=12,其中2 是2的共轭复数.对任意复数 z1,z2,z3,有如下四个命题:(z1+z2)z3=(z1 z3)
37、+(z2 z3);z1 (z2+z3)=(z1 z2)+(z1 z3);(z1 z2)z3=z1 (z2 z3);z1 z2=z2 z1.则真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解题提示】因为新定义1 2=12,所以对运算“”是否满足分配率、结合律、交换律需要逐一验证判断.【解析】选 B.因为(z1+z2)z3=(z1+z2)3z=z13z+z23z=(z1 z3)+(z2 z3),所以正确;因为 z1(z2+z3)=z1(23zz)=z12z+z13z=(z1 z2)+(z1 z3),所以正确;(z1 z2)z3=(z12z)3z=z123z z,z1(z2 z3)=z1(23z
38、z)=z1(23z z)=z12z z3,所以(z1 z2)z3z1(z2 z3)(实质上 z3 不是实数时(z1 z2)z3=z1(z2 z3)不成立),不正确;因为 z1 z2=z12z,z2 z1=z21z,除非z12z=z21z,也就是z12z 是实数才能成立,否则 z1 z2z2 z1,高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！所以不一定成立,故正确.49.（2014山东高考理科4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20 xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是（）A、方程20 xaxb没有实根.B、方程20 xaxb至多有一个实根.C、方程20 xa
39、xb至多有两个实根.D、方程20 xaxb恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为 0,1,2.因此至少有一个实根包含 1 根或两根，它的反面为 0 根.【解析】选 A.“已知,a b 为实数，则方程20 xaxb至少有一个实根”的反面是“方程02baxx没有实根.”故选 A.50.（2014山东高考文科4）与（2014山东高考理科4）相同用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20 xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是（）A、方程20 xaxb没有实根.B、方程20 xaxb至多有一个实根.C、方程20 xaxb至多有两个实根
40、.D、方程20 xaxb恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为 0,1,2.因此至少有一个实根包含 1 根或两根，它的反面为 0 根.【解析】选 A.“已知,a b 为实数，则方程20 xaxb至少有一个实根”的反面是“方程02baxx没有实根.”故选 A.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！51（2013湖南高考理）若变量 x，y 满足约束条件y2x，xy1，y1，则 x2y 的最大值是()A52B0C.53D.52【解析】选 C 本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题求解本小题时一定要先比较直线
41、 x2y0 与边界直线 xy1 的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值作出题设约束条件的平面区域(图略)，由y2x，xy1，x13，y23，可得(x2y)max1322353.52（2013安徽高考理）已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x12，则 f(10 x)0的解集为()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|xlg 2【解析】选 D 本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算考查转化化归思想及考生的合情推理能力因为一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x12，所以可设 f(x)a(x1)x12(a0 可得(10 x1)10 x12 0，即 10 x12，xlg 2，故
42、选 D53（2013安徽高考理）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点 A，B 满足|OA|OB|OAOB2，则点集P|OPOAOB，|1，R所表示的区域的面积是()A2 2B2 3 C4 2D4 3【解析】选 D 本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想由|OA|OB|OAOB2，可得AOB3，又 A，B是两定点，可设 A(3，1)，B(0,2)，P(x，y)，由 OPOAOB，可得x 3，y2，33 x，y2 36 x.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！因为|1，所以33 x y2 36 x 1，当x0，3y 3x03
43、y 3x6，时，由可行域可得 S0122 3 3，所以由对称性可知点 P 所表示的区域面积 S4S04 3，故选 D.54.（2013新课标高考理）已知 a0，x，y 满足约束条件x1，xy3，xax3.若 z2xy 的最小值为 1，则 a()A.14B.12 C1 D2【解析】选 B 本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条件，作出可行域如图中ABC 内部及边界部分，由目标函数 z2xy 的几何意义为直线 l：y2xz 在 y 轴上的截距，知当直线 l 过可行域内的点 B(1，2a)时，目标函数 z2xy 的最小值为 1，则 22a1，a12，故选 B.55（2013北京高考理）设关于
44、x，y 的不等式组2xy10，xm0，ym0表示的平面区域内存在 点P(x0，y0)，满 足x0 2y0 2.求 得m的 取 值 范 围 是()A.，43B.，13C.，23D.，53【解析】选 C 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力问题等价于直线 x2y2 与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线 x2y2 经过高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得 m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直
45、线 x2y2 与阴影部分有公共点，则点(m，m)在直线 x2y20 的下方，由于坐标原点使得 x2y20，故m2m20，即 m23.56（2013广东高考理）设整数 n4，集合 X1,2,3，n令集合 S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件 xyz，yzx，zxy 恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在 S 中，则下列选项正确的是()A.(y，z，w)S，(x，y，w)SB.(y，z，w)S，(x，y，w)SC.(y，z，w)S，(x，y，w)SD.(y，z，w)S，(x，y，w)S【解析】选 B 本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与
46、创新意识题目中 xyz，yzx，zxy 恰有一个成立说明 x，y，z 是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取 x1，y2，z3，w4 满足题意，且(2,3,4)S，(1,2,4)S，从而(y，z，w)S，(x，y，w)S 成立57（2013山东高考理）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为()A2 B1C13D12【解析】选 C 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点 M
47、 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小，由直线方程 x2y10 和高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！3xy80，解得 A(3，1)，故 OM 斜率的最小值为13.58（2013山东高考理）设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0.则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A0 B1C.94D3【解析】选 B 本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.xyz xyx23xy4y21xy4yx 3 1431，当且仅当 x2y 时等号成立，此时 z2y2，2x1y2z1y22
48、y1y1 211，当且仅当 y1 时等号成立，故所求的最大值为 1.59（2013天津高考理）设变量 x,y 满足约束条件3xy60，xy20，y30，则目标函数 zy2x的最小值为()A7 B4C1 D2【解析】选 A 本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数 y2xz 经过可行域中的点(5,3)时，z 取得最小值为7.60（2013天津高考理）已知函数 f(x)x(1a|x|).设关于 x 的不等式 f(xa)f(x)的解集为 A.若12，12 A,则实数 a 的取值范围是()A.1 52，0B.1 32，0C.1 52，0 0，1
49、 32D.，1 52【解析】选 A 本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力由题意可得 0A，即 f(a)f(0)0，所以 a(1a|a|)0 时无解，所以 a0，所以1ab，则()AacbcB.1ab2D.a3b3【解析】选 D 当 c0 时，选项 A 不成立；当 a0，b0，故选 D.62（2013重庆高考文）关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a()A.52B.72 C.154D.152【解析】选 A 本题主要考查二次不等式与二次方程的关系由条件知 x1，x2 为方程 x22ax8a20 的两根，则 x1x22a，x1x
50、28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得 a52，故选 A.63（2013山东高考文）设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0.则当 zxy取得最小值时，x2yz 的最大值为()A0 B.98 C2 D.94【解析】选 C 本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想zxyx23xy4y2xyxy4yx 32 xy4yx 31，当且仅当 x2y 时等号成立，因此 z4y26y24y22y2，所以 x2yz4y2y22(y1)222.64（2013大纲卷高考文）不等式|x22|2 的解集是()A(
51、1,1)B(2,2)C(1,0)(0,1)D(2,0)(0,2)【解析】选 D 本题主要考查绝对值不等式、二次不等式的解法由|x22|2 得2x222，即 0 x24，所以2x0 或 0 x0，y0，z300 x400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300 x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点 A(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时z300 x400y 取得最大值，最大值是 z300440042 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元78（2012辽宁高考理）设变量 x，y 满足xy10，0 xy20，0y15，则 2x3y
52、的最大值为()A20 B35C45D55【解析】选 D作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线 y23x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x3y 取得最大值 55.79（2012辽宁高考理）若 x0，)，则下列不等式恒成立的是()Aex1xx2B.11x112x14x2Ccos x112x2Dln(1x)x18x2【解析】选 C 对 A，因为 e31332，故 A 不恒成立；同理，当 x13时，11x112x14x2，故 B 不恒成立；因为(cos x12x21)sin xx0(00，)，且 x0 时，ycos x12x210，所以 ycos x12x210 恒成立，所以
53、C 对；当 x4 时，ln(1x)b1，ccb；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()AB CD【解析】选 D 由 ab1，c0 得，1acb；幂函数 yxc(c0)是减函数，所以 acbc，所以 logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正确91.（2012新课标高考文）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值范围是()A(1 3，2)B(0,2)C(31,2)D(0,1 3)【解析】选 A 由题意知，正三角形的顶点 C 的坐标为(1 3，2)，当 zxy 经过点 B高考资源网（）您
54、身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！时，zmax2，经过点 C 时，zmin1 3.92.（2012重庆高考文）不等式x1x20的解集为()A(1，)B(，2)C(2,1)D(，2)(1，)【解析】选 C 不等式等价于(x1)(x2)0，解得2x1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数 zxmy 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为()A(1,1 2)B(1 2，)C(1,3)D(3，)【解析】选 A 变换目标函数为 y1mx zm，由于 m1，所以11m0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线 y1mxzm在 y轴上的截距最大时，目标函
55、数取得最大值显然在点 A 处取得最大值，由 ymx，xy1，得 A(11m，m1m)，所以目标函数的最大值是11m m21m2，即 m22m10，解得 1 2m+=,则1+3ab+的最大值为_.【解析】由222abab两边同时加上22ab得222()2()abab两边同时开方即得：222()abab（0,0ab且当且仅当ab时取“=”），从而有1+3ab+2(13)2 93 2ab（当且仅当13ab,即73,22ab时，“=”成立），故填：23.【答案】23111.（2015 新课标全国卷 I，文 15）若 x,y 满足约束条件20210220 xyxyxy ,则 z=3x+y 的最大值为【解
56、析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 0l：30 xy，平移直线 0l，当直线高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！l:z=3x+y 过点 A 时，z 取最大值，由2=021=0 xyxy 解得 A（1,1），z=3x+y 的最大值为 4.【答案】4112.（2015 天津高考，文 12）已知0,0,8,abab则当 a 的值为时22loglog2ab取得最大值.【解 析】22222222loglog211loglog2log 2log 164,244ababab当2ab时取等号,结合0,0,8,abab可得4,2.ab【答案】4113.（2015 山东高考，文 1
57、2）若,x y 满足约束条件13,1yxxyy 则3zxy的最大值为.【解析】画出可行域及直线30 xy，平移直线30 xy，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3zxy最大为1 3 27z .【答案】7114.（2015 湖北高考，文 12）若变量,x y 满足约束条件4,2,30,xyxyxy 则 3xy的最大值是高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！_【答案】10.115.（2015 广东高考，文 11）不等式2340 xx的解集为（用区间表示）【解析】由2340 xx得：41x，所以不等式2340 xx的解集为4,1，所以答案应填：4,1【答案】4,1
58、 116.（2015 北京高考，文 13）如图，C及其内部的点组成的集合记为D，,x y为D 中任意一点，则23zxy的最大值为 【解析】由题图可知，目标函数233zyx，因此当2,1xy，即在点 处时 z 取得最大值为7.【答案】7 117.（2015 浙江高考，文 14）已知实数 x，y 满足221xy，则 2463xyxy的最大值是高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】22,2224631034,22xy yxzxyxyxy yx 由图可知当22yx时，满足的是如图的 AB 劣弧，则22zxy在点(1,0)A处取得最大值5；当22yx时，满足的是如图的 AB
59、 优弧，则1034zxy与该优弧相切时取得最大值，故1015zd，所以15z，故该目标函数的最大值为15.【答案】15118.（2015 上海高考，文 9）若yx,满足020yyxyx，则目标函数yxz2的最大值为 .【解析】不等式组表示的平面区域如图 OAB（包括边界），联立方程组2yxxy，解得11yx，即)1,1(A，平移直线02 yx当经过点 A 时，目标函数yxz2的取得最大值，即321maxz.【答案】3 119.（2015 福建高考，理 15）一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串*12nx xxnN，其中1,2,kxkn称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中
60、有时高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！会发生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0），已知某种二元码127x xx的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,xxxxxxxxxxxx其中运算 定义为：000,011,101,110 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于【答案】5120.（2015 山东高考，理 11）观察下列各式：0014C 011334CC01225554;CCC0123377774CCCC照此规律，当 nN 时，01212121212
61、1nnnnnCCCC.【答案】14n121.（2015 陕西高考，文 16）观察下列等式：高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！1 11221 11111234341 1111111123456456据此规律，第 n 个等式可为_.【解析】观察等式知：第 n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1，分母是 1 到2n 的连续正整数，等式的右边是111122nnn.故答案为111111111234212122nnnnn【答案】111111111234212122nnnnn 122.（2015 山东高考，文 14）定义运算“”：22xyxyxy（
62、,0 xyR xy，）.当00 xy，时，(2)xyyx的最小值是.【答案】2123.（2014湖南高考理科14）若变量,x y 满足约束条件4yxxyyk，且2zxy的最小值为6，则 k【解题提示】画出可行域，02:0 yxl，把最值点带入解方程。高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】如图，画出可行域，02:0 yxl，当02:0 yxl运动到过点 kkA,时，目标函数取得最小值-6，所以2,62kkk.答案：2124.（2014 湖南高考文科13）若变量yx，满足约束条件14yyxxy，则yxz 2的最大值为_.【解题提示】画出可行域，02:0 yxl，把最值
63、点带入求解。【解析】如图，画出可行域，02:0 yxl，当02:0 yxl运动到过点 1,3A时，目标函数取得最小值 7。答案：7125.（2014福建高考理科11）若变量yx,满足约束条件008201xyxyx则yxz 3的最小值为_【解题指南】先画好可行域，对于线性规划问题，可以考虑直接将可行域的几个端点坐标直接代入计算。【解析】画出可行域，三个端点分别为(0,1),(0,8),(2,3)ABC,将坐标代入,可得min1z【答案】1126.（2014浙江高考文科12）若实数,x y 满足240101xyxyx ，则 xy的取值范围是_；高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权
64、必究！【解析】作出不等式组240,10,1,xyxyx 所表示的区域，如图所示：令 zxy，解方程组24010 xyxy 得(2,1)C，解方程组101xyx 得(1,0)B平移直线 zxy，经过点C 使得 z 取最大值，即max2 13z，当直线 zxy经过点 B 时，z 取最小值，即min1 01z ，所以 xy的取值范围是1,3.答案：1,3127.（2014浙江高考理科13）当实数 x，y 满足240,10,1,xyxyx 时，14axy恒成立，则实数a 的取值范围是_.【解析】作出不等式组240,10,1,xyxyx 所表示的区域，由14axy得，由图可知，0a 且在1,0 点取得最
65、小值，在2,1 点取得最大值，所以1,21 4aa ，故a 的取值范围为31,2答案：31,2 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！128.（2014辽宁高考文科1）已知,x y 满足约束条件220,240,330 xyxyxy 则目标函数34zxy的最大值为_.【解析】画出约束条件对应的平面区域，如图，将目标函数34zxy化为344zyx，显然直线过点(2,3)C时，目标函数34zxy取得最大值，max3 24 3 18z .答案：18【误区警示】避免将二元一次不等式表示的区域搞错,弄清楚直线的斜率的大小与倾斜程度的关系129.（2014浙江高考文科12）若实数,x
66、y 满足240101xyxyx ，则 xy的取值范围是_；【解析】作出不等式组240,10,1,xyxyx 所表示的区域，如图所示：令 zxy，解方程组24010 xyxy 得(2,1)C，解方程组101xyx 得(1,0)B高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！平移直线 zxy，经过点C 使得 z 取最大值，即max2 13z，当直线 zxy经过点 B 时，z 取最小值，即min1 01z ，所以 xy的取值范围是1,3.答案：1,3130.（2014安徽高考文科13）不等式组20240320 xyxyxy 表示的平面区域的面积为_【解题提示】正确画出平面区域的可行域是
67、一个三角形，再数形结合计算面积。【解 析】如 图 所 示 可 得 点 A(0，2)，B(2，0),C(8，-2)，根 据 图 像 计 算 可 得112 2+2 2=422 ABCS。答案：4131.(2014湖北高考文科T16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F=2760001820vvvl.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时.(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小
68、时.【解析】(1)当 l=6.05 时,则 F=2760001820vvvl=76000121 18vv1900,当且仅当 v=121v,即 v=11(米/秒)时取等号.(2)当l=5 时,则F=27600018100vvv=7600010018vv2000,当且仅当v=100v即v=10(米/秒)时取等高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时.答案:(1)1900(2)100【误区警示】利用基本不等式取函数的最值是解答本题的易错点.132.（2014上海高考理科5）22,1,+2_.x yxyy若实数满足则x的
69、最小值为【解题提示】根据222,abab即得.【解析】22222(2)2(2)2 2xyxyxy,所以22+22 2.yx的最小值为2 2.答案：133.（2014上海高考文科6）22,1,+2_.x yxyy若实数满足则x的最小值为【解题提示】根据222,abab即得.【解析】22222(2)2(2)2 2xyxyxy,所以22+22 2.yx的最小值为2 2.答案：134.（2014上海高考文科9）,0,()(0)()_.1,0.xa xf xff xaxxx 设若是的最小值，则 的取值范围为【解题提示】根据基本不等式可得 x0 时的最小值，而 a 要小于等于这个最小值.【解析】10()2
70、,(0)()(0)2.-2.xf xxff xfax当时，若是的最小值，则答案：，135.（2014福建高考理科13）13、要制作一个容器为 43m，高为 m1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）【解题指南】利用基本不等式建立关系式求解，可以考虑设两变量，也可以考虑设一变量。【解析】由容器体积为 4，高为 1 可知，容器的底面积为 4设底面长为 x，则宽为 4x，总高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！造价为 W由题意，442121 104 20208020 2 480160Wxxx
71、x ，当4xx，即2x 时取“=”【答案】160136.(2014陕西高考理科T14)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中,F,V,E 所满足的等式是 .【解题指南】本题是对欧拉公式的考查,观察图形,准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.【解析】因为 5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,所以 V+F-E=2;答案:V+F-E=2137.（2013福建高考理）当 xR，|x|1 时，有如下表达式：1xx2xn 11x.两边同时积分得：1201dx120 xdx120 x2dx120 xnd
72、x12011xdx，从而得到如下等式：11212 12213 123 1n1 12n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C0n1212C1n 12213C2n 123 1n1Cnn 12n1_.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和归能力、类比推理能力和运算求解能力法一：设 f(x)C0nx12C1nx213C2nx3 1n1Cnnxn1，所以 f(x)C0nC1nxC2nx2Cnnxn(1x)n，所以 f 12 120f(x)dx120(1x)ndx 1n1(1x)n1120
73、1n1112n1 1n1(10)n11n1 32n11.法二：C0n1212C1n 12213C2n 123 1n1Cnn 12n111212n 12213nn12 123 1n1nn121nn121 12n11n1(n1)12n1n2 122n1nn132 123n1nn121n1nn121 12n1 1n1C1n112C2n1 122Cn1n1 12n1 1n1112n1C0n1 1n1 32n11.【答案】1n1 32n11138.（2013浙江高考理）设 zkxy，其中实数 x，y 满足xy20，x2y40，2xy40，若 z 的最大值为 12，则实数 k_.【解析】本题考查用平面区域
74、表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义以及分析问题、解决问题的能力画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值 12 时，最优解一定为(4,4)，这时 124k4，k2.【答案】2139（2013陕西高考理）若点(x，y)位于曲线 y|x1|与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力由题意知yx1x1，1xx1，作出曲线 y|x1|与 y2 所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点 A(1,2)时，2xy 取最小值4.【答案】4140.（2
75、013陕西高考理）观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第 n 个等式可为_【解析】本题考查考生的观察、归纳、推理能力观察规律可知，第 n 个式子为 12223242(1)n1n2(1)n1nn12.【答案】12223242(1)n1n2(1)n1nn12141（2013广东高考理）不等式 x2x20 的解集为_【解析】本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力令 f(x)x2x2(x2)(x1)，画出函数图象可知，当2x1 时，f(x)0，从而不等式 x2x20 的解集为x|2x1【答案】x|2x0，则当 a_时，12|a|a|
76、b 取得最小值.【解析】本题考查基本不等式的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力因为 12|a|a|b ab4|a|a|b a4|a|b4|a|a|b a4|a|2b4|a|a|b a4|a|114134，当且仅当 b4|a|a|b，a高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！0，即 a2，b4 时取等号，故 12|a|a|b 取最小值时，a2.【答案】2148（2013北京高考文）设 D 为不等式组x0，2xy0，xy30所表示的平面区域，区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数
77、形结合思想和转化思想作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点 B(1,0)到直线 2xy0 的距离最小，d|210|221 2 55，故最小距离为2 55.【答案】2 55149（2013北京高考文）已知点 A(1，1)，B(3,0)，C(2,1)若平面区域 D 由所有满足APABAC(12,01)的点 P 组成，则 D 的面积为_【解析】本题主要考查平面向量、线性规划以及考生利用函数方程的思想解答问题的能力，是一道综合性较强的题目，意在考查考生分析问题、解决问题的能力设点 P(x，y)，由 APABAC，得(x1，y1)(2,1)(1,2)，故x12，y12，得2xy33，x2y3
78、3，由 12,01 得，12xy332，0 x2y331，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！即32xy36，3x2y30.画出可行域如图中阴影部分所示，点 B(3,0)到直线 x2y0 的距离d|3|143 55，点 B，N 之间的距离|BN|5，故阴影部分的面积为 3.【答案】3150（2013江苏高考文）抛物线 yx2 在 x1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x2y 的取值范围是_【解析】本题考查导数的几何意义，线性规划等知识，意在考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力因为 y2x，所
79、以当 x1 时，y1，y2，则过点(1,1)的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1，所以切线与两坐标轴围成的三角形区域端点为(0,0)，(0，1)，12，0，所以x2y 在点12，0 处取得最大值12，在点(0，1)处取得最小值2，即 x2y 的取值范围为2，12.【答案】2，12151（2013江苏高考文）已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_【解析】本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x0 时，f(0)0；当 x0，所以 f(x)x
80、24xf(x)，即 f(x)x24x，所以 f(x)x24x，x0，0，x0，x24x，xx，可得x24xx，x0或x24xx，x5 或5x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)【答案】(5,0)(5，)152（2013安徽高考文）若非负变量 x，y 满足约束条件 xy1，x2y4，则 xy 的最大值为_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】本题主要考查线性规划的有关知识和数形结合思想法一：画出可行域是如图所示的四边形 OABC 的边界及内部，令 zxy，易知当直线 yxz 经过点 C(4,0)时，直线在 y 轴上截距最大，目标函数 z 取得最大值，即 zma
81、x4.法二：令 zxy.界点定值，则先画出可行域，这时把边界点 O(0,0)，A(0,1)，B23，53，C(4,0)代入目标函数 zxy 可得 zA1，zB73，zC4，比较可得 zmax4.【答案】4153（2013山东高考文）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2x3y60，xy20，y0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_【解析】本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点 O 到直线xy20 的距离，所以|OM|min|2|2 2.【答案】2154（2013大纲卷高考文）
82、若 x，y 满足约束条件x0，x3y4，3xy4，则 zxy 的最小值为_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】本题主要考查线性规划的最值问题首先作出约束条件下的平面区域，由图可知当目标函数 zxy 经过点 C(1,1)时取得最小值，即为110.【答案】0155（2013浙江高考文）设 zkxy，其中实数 x，y 满足x2，x2y40，2xy40.若 z 的最大值为 12，则实数 k_.【解析】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力已知不等式组可表示成如图的可行域，当 0k12时，直线 ykxz 经过点 A(4,
83、4)时 z 最大，所以 4k412，解得 k2(舍去)；当k12时，直线 ykxz 经过点 B(2,3)时，z 最大，所以 2k312，解得 k92(舍去)；当k0,则 12|a|a|b 的最小值为_【解析】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力因为 12|a|a|b ab4|a|a|b a4|a|2b4|a|a|b a4|a|114134，当且仅当 b4|a|a|b，a0，即 a2，b4 时取等号，故 12|a|a|b 的最小值是34.【答案】34158（2013天津高考文）在平面直角坐标系中，若点 P(x，y)的坐标 x，y 均为整数，则称点 P 为格点若一个多
84、边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L.例如图中ABC 是格点三角形，对应的 S1，N0，L4.(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为 SaNbLc，其中 a，b，c 为常数若某格点多边形对应的 N71，L18，则 S_(用数值作答)【解析】本题属自定义型信息题，考查考生的创新意识(1)由定义知，四边形 DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有 1 个，边界上格点有 6 个，S 四边形DEFG3.(2)由待定系数法可得，12a0b3c，
85、1a0b4c，3a1b6c，a1，b12，c1，当 N71，L18 时，S1711218179.【答案】3,1,6 79159（2013陕西高考文）观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！照此规律，第 n 个等式可为_【解析】本题主要考查归纳推理，考查考生的观察、归纳、猜测能力观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n个等式为：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)【答案】(n1)(n2)(n3)(nn)2n1
86、35(2n1)160（2013四川高考文）已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_.【解析】本题主要考查基本不等式，意在考查考生对基础知识的掌握f(x)4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 a4x2 时取等号，则由题意知 a43236.【答案】36161（2013广东高考文）已知变量 x，y 满足约束条件xy30，1x1，y1，则 zxy 的最大值是_【解析】本题主要考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的运算求解能力画出可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在直线 xy30 与 x1 的交点(1,4)处取得最大值，所以 zmax1
87、45.【答案】5162（2012广东高考理）不等式|x2|x|1 的解集为_【解析】若 x0，则 x2x1，无解；若2x0，则 x2x1，得2x12；若 x2，则(x2)x1，得 x2.综合上述，得不等式|x2|x|1 的解集为x|x12【答案】x|x12163（2012山东高考理）若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k_.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】由|kx4|2 可得 2kx6，所以 1k2x3，所以k21，故 k2.【答案】2164（2012陕西高考理）观察下列不等式1122321122 132531122 13214274照此规律，
88、第五个不等式为_【解析】观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的 2 倍减 1的差除以项数，即 1 122 132 1421521n22n1n(nN*，n2)，所以第五个不等式为 1 122 132142 152162116.【答案】1122 132142 15216214166（2012江苏高考理）已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_【解析】因为 f(x)的值域为0，)，所以 0，即 a24b，所以 x2axa24 c0 的解集为(m，m6)，易得 m，m6 是方程 x2axa
89、24 c0 的两根，由一元二次方程根与系数的关系得2m6a，mm6a24 c，解得 c9.【答案】9167（2012江苏高考理）已知正数 a，b，c 满足：5c3ab4ca，cln bacln c，则ba的取值范围是_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】由条件可得3acbc5，acbc4，bceac，令acx，bcy，则问题转化为约束条件为3xy5，xy4，yex，求目标函数zbayx的取值范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作 yex 的切线，切线方程为 yex，切点 P(1，e)在区域内故当直线 yzx 过点 P(1，e)时，zmine
90、；当直线 yzx 过点 C(12，72)时，zmax7，故bae,7【答案】e,7168（2012北京高考理）已知 f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若同时满足条件：xR，f(x)0 或 g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0，则 m 的取值范围是_【解析】当 x1 时，g(x)0，当 x1 时，g(x)0，当 x1 时，g(x)0.m0 不符合要求；当 m0 时，根据函数 f(x)和函数 g(x)的单调性，一定存在区间a，)使 f(x)0 且 g(x)0，故 m0 时不符合第条的要求；当 m0 时，如图所示，如果符合的要求，则函数 f(x)的两个零点都得小于 1，如果符合第
91、条要求，则函数 f(x)至少有一个零点小于4，问题等价于函数 f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于 1，较小的零点小于4.函数 f(x)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！的两个零点是 2m，(m3)，故 m 满足m0，2mm3，2m4，m31，或者m0，m32m，2m1，m34，解第一个不等式组得4m2，第二个不等式组无解，故所求 m 的取值范围是(4，2)【答案】(4，2)169（2012浙江高考理）设 aR，若 x0 时均有(a1)x1(x2ax1)0，则 a_.【解析】显然 a1 不能使原不等式对 x0 恒成立，故 a1 且当 x1 1a1，a1 时原
92、不等式成立对于 x2ax10，设其两根为 x2，x3，且 x2x3，易知 x20，x30.当 x0 时，原不等式恒成立，故 x1 1a1满足方程 x2ax10，代入解得 a32或 a0(舍去)【答案】32170（2012安徽高考理）若x，y 满足约束条件x0，x2y3，2xy3，则 xy的取值范围是_【解析】记 zxy，则 yxz，所以 z 为直线 yxz 在 y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中ABC 区域所示结合图形可知，当直线经过点 B(1,1)时，xy取得最大值 0，当直线经过点 C(0,3)时，xy 取得最小值3.【答案】3,0171（2012新课标高考理）设 x，
93、y 满足约束条件xy1，xy3，x0，y0，则 zx2y 的取值范围为_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】依题意，画出可行域，如图所示，可行域为 ABOC，显然，当直线 y12xz2过点A(1,2)时，z 取得最小值为3；当直线过点 B(3,0)时，z 取得最大值为 3，综上可知 z 的取值范围为3,3【答案】3,3172（2012浙江高考文）设 zx2y，其中实数 x，y 满足xy10，xy20，x0，y0，则 z 的取值范围是_【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线 l0：x2y0，平移 l0，当所得直线过点 C(12，32)时，z 取最大值123
94、72，当所得直线过点 O(0,0)时，z 取最小值 0.【答案】0，7217313（2012大纲卷高考理）若 x，y 满足约束条件xy10，xy30，x3y30，则 z3xy 的最小值为_【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由 z3xy，得 y3xz，由题可知，求 z 的最小值即为求 y3xz 在可行域内纵截距的最大值，当过点 A 时，所求的z最大，即过点 A(0,1)，即最大值为 130z，所以 zmin1.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【答案】1174.（2012湖北高考文）若变量 x，y 满足约束条件xy1，xy1，3xy3，则目标函数 z2x3
95、y的最小值是_【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)，再平移目标函数得最小值当目标函数经过点(1,0)时，z 取得最小值 2.【答案】2175（2012四川高考文）设 a，b 为正实数现有下列命题：若 a2b21，则 ab1；若1b1a1，则 ab1；若|a b|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|0，b0，于是有 abab1，此时(ab)(ab)1 这与“a2b2(ab)(ab)1”相矛盾，因此ab1，因此不正确；对于，取 a9，b4，有|a b|1，但此时|ab|51，因此不正确；对于，由|a3b3|1 得|ab|(a2abb2)1，|ab|(a2abb2)|ab|(a22a
96、bb2)|ab|3，于是有|ab|31，|ab|1，因此正确综上所述，其中的真命题有.【答案】176（2012江苏高考文）已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_【解析】因为 f(x)的值域为0，)，所以 0，即 a24b，所以 x2axa24 c0，2x3，xlog23.故答案为 log23.【答案】log23179（2012上海高考文）满足约束条件|x|2|y|2 的目标函数 zyx 的最小值是_【解析】高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！由题意知约束条件表示的可行域为如图所示
97、的菱形区域，所以当 x2，y0 时，目标函数zyx 取得最小值2.【答案】2180（2012福建高考文）已知关于 x 的不等式 x2ax2a0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_【解析】由题意得 a28a0，解得 a(0,8)【答案】(0,8)181（2012北京高考文）已知 f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)0或 g(x)0，则 m 的取值范围是_【解析】由题易知当 x1 时，g(x)0，故要使对xR，f(x)0 或 g(x)0，只需在 x1 时，f(x)0 恒成立即可当 m0 时，f(x)0 等价于 00 时，f(x)0 等价于(x2m)(xm3)0
98、 得m3x2m，对 x1 不可能恒成立，故舍去；当 m0 时，f(x)0，因为 x1，2m0，所以 x2m0，于是不等式转化为 mx3，又 x1 时，x34，所以要使 mx3 在 x1 时恒成立，只需 m4，故4m0.综上，4m0)，观察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)f(f1(x)x3x4，f3(x)f(f2(x)x7x8，f4(x)f(f3(x)x15x16，根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，可知 fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n1，
99、故 fn(x)x2n1x2n.【答案】x2n1x2n高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！185（2011广东高考）不等式|x1|x3|0 的解集是_【解析】原不等式等价于x3x1x30，解得 1x3 或 x3，故原不等式的解集为x|x1【答案】x|x1186（2011浙江高考）设 x，y 为实数，若 4x2y2xy1，则 2xy 的最大值是_【解析】4x2y2xy1，(2xy)23xy1322xy132(2xy2)21，(2xy)285，(2xy)max2 105.【答案】2 105187（2011陕西高考）观察下列等式11234934567254567891049照此
100、规律，第 n 个等式为_【解析】每行最左侧数分别为 1、2、3、，所以第 n 行最左侧的数为 n；每行数的个数分别为 1、3、5、，则第 n 行的个数为 2n1.所以第 n 行数依次是 n、n1、n2、3n2.其和为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.【答案】n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2三.解答题188.（2015 江苏高考，23）（本小题满分 10 分）已知集合3,2,1X，)(,3,2,1*NnnYn，,),(abbabaSn整除或整除nYbXa,，令()f n 表示集合nS 所含元素的个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n 时，写出()f n 的表达式，并用数学归
101、纳法证明.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】（1）613f2,1k，3,1k 中产生，分以下情形讨论：1）若16kt，则615kt，此时有 12132323kkf kf kk111223kkk，结论成立；2）若161kt ，则6kt，此时有 112123kkf kf kk 11111223kkk，结论成立；3）若162kt，则61kt，此时有 11122223kkf kf kk1211223kkk，结论成立；4）若163kt，则62kt，此时有 2122223kkf kf kk1111223kkk，结论成立；高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵
102、权必究！5）若164kt，则63kt，此时有 1122223kkf kf kk1111223kkk，结论成立；6）若165kt，则64kt，此时有 1112123kkf kf kk 11121223kkk，结论成立学优高考网综上所述，结论对满足6n 的自然数n 均成立189.（2015高 考 北 京，理20）已 知 数 列 na满 足：*1a N，136a，且121823618nnnnnaaaaa，12n ，记集合*|nManN（）若16a，写出集合 M 的所有元素；（）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数；（）求集合 M 的元素个数的最大值【解析】（）
103、由已知121823618nnnnnaaaaa，可知：12346,12,24,12,aaaa6,12,24M（）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设ka 是 3 的倍数，由已知121823618nnnnnaaaaa，可用用数学归纳法证明对任意nk，na 是 3 的倍数，当1k 时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果1k 时，因为12kkaa 或1236ka ，所以12 ka 是 3 的倍数，于是1ka 是 3 的倍数，类似可得，21,.kaa都是 3 的倍数，从而对任意1n，na 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源
104、网版权所有，侵权必究！190.（2015 上海高考，理 23）对于定义域为R 的函数 g x，若存在正常数，使得 cos g x是以 为周期的函数，则称 g x 为余弦周期函数，且称 为其余弦周期.已知 f x 是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设 f x 单调递增，00f，4f.（1）验证 sin 3xh xx是以 6为周期的余弦周期函数；（2）设ba 证明对任意 ,cf af b，存在0,xa b，使得0f xc；（3）证明：“0u 为方程 cos1f x 在0,上得解”的充要条件是“0u 为方程 cos1f x 在,2 上有解”，并证明对任意0,x 都有 f xf xf .高考资
105、源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（2）由于 f x 的值域为R，所以对任意 ,cf af b，c 都是一个函数值，即有0Rx，使得0f xc.若0 xa，则由 f x 单调递增得到 0cf xf a，与 ,cf af b 矛盾，所以0 xa.同理可证0 xb.故存在0,xa b使得0f xc.（3）若0u 为 cos1f x 在0,上的解，则0cos1f u，且0,2u ，00coscos1f uf u ，即0u 为方程 cos1f x 在,2 上的解.同理，若0u 为方程 cos1f x 在,2 上的解，则0u 为该方程在0,上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证
106、知存在012340 xxxxx ，使得 if xi，0i，1，2，3，4.而1,iix x 是函数 cos f x 的单调区间，0i，1，2，3.与之前类似地可以证明：0u 是 cos1f x 在0,上的解当且仅当0u 是 cos1f x 在,2 上的解.从而 cos1f x 在0,与,2 上的解的个数相同.故 4iif xf x ，0i，1，2，3，4.对于10,xx，0,f x，4,5f x ，而 coscosf xf x ，故 4f xf xf xf .类似地，当1,iixx x，1i，2，3时，有 f xf xf .结论成立.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！
107、191.(2014陕西高考文科T18)(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上,且=m+n.(m,nR).(1)若 m=n=,求.(2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.【解题指南】(1)先利用点的坐标求得向量坐标,代入已知关系式,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知转化求得 m-n 与 x,y 的关系,再利用平面直角坐标系中简单的线性规划问题求其最值.【解析】(1)因为 m=n=,=(1,2),=(2,1),所以=+=(1,2)+(2,1)=(2,2),所以|=
108、2.(2)因为=m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得,m-n=y-x,令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,2)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.192.(2014陕西高考理科T18)(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(1)若+=0,求.(2)设=m+n(m,nR),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.【解题指南】(1)先利用点的坐标求得向量
109、坐标,代入已知关系式得点 P 坐标,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知转化求得 m-n 与 x,y 的关系,再利用平面直角坐标系中简单的线性规划问题求其最值.【解析】(1)因为+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得 x=2,y=2,即=(2,2),故|=2.(2)因为=m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得,m-n=y-x,令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,2)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.193.(2014广东高考理科)(14 分)设数列an的前
110、n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！S3=15.(1)求 a1,a2,a3 的值.(2)求数列an的通项公式.【解题提示】(1)取 n=1,n=2,n=3,结合 S3=15 列方程组求 a1,a2,a3.(2)利用 an=Sn-Sn-1(n2),先猜出 an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得11221233123234,4128,15,SaaSaaaSaaa 解得 a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测 an=2n+1.由 Sn=2nan+1-3n2-4n 得Sn-1=2(n-1)an-
111、3(n-1)2-4(n-1)(n2),当 n2 时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减,整理得 an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=212nn an+612nn,建立 an 与 an+1 的递推关系(nN*);因为当 n=1 时,a1=3,假设 ak=2k+1 成立,那么 n=k+1 时,ak+1=212kk ak+612kk=212kk(2k+1)+612kk=2k+3=2(k+1)+1,对于 nN*,有 an=2n+1,数列an的通项公式为 an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(
112、比)数列求解,则比较困难,可变形为(2n+1)an+1-2(n+1)+1=(2n+2)an+2-2(n+2)+1,又 a1-(21+1)=0an-(2n+1)=0,即 an=2n+1.194.（2014安徽高考理科21）设实数0c，整数1p，*Nn.（1）证明：当1x且0 x时，pxx p1)1(；高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（2）数列 na满足pca11，pnnnapcappa111，证明：11pnnaac+【解题提示】用数学归纳法证明不等式。【解析】（1）用数学归纳法证明当 p=2 时，22(1+)1 2+1 2xx xx=+，原不等式成立。假设*(2,)p
113、k kkN时，不等式2(1+)1xkx+成立，当 p=k+1 时，1(1+)(1)(1)(1)(1)kkxxxxkx+=+=21(1)1(1)k x kxk x+，所以 p=k+1 时，原不等式成立。综上可得，当1x且0 x时，对一切整数 p1,不等式pxx p1)1(均成立。（2）设111(),ppppcf xxxxcxcpp则，并且1/11()(1)(1)0,ppppcpcfxp xxcpppx-=+-=-，由此可得1(),)pf xc在上单调递增，因而，当1pxc时，11()()ppf xf cc=。当 n=1 时，由110pac，即11pac可知12111ppcaaapp-=+=111
114、11(1)pcaap a+-，从而112paac。故当 n=1 时，不等式11pnnaac+成立。假设*(1,)nk kkN时，不等式11pkkaac+成立，则当 n=k+1 时，11()()()pkkf af af c+成立，即112pkkaac+，所以 n=k+1 时，原不等式也成立。综合可得，对一切正整数 n，不等式11pnnaac+均成立。195.（2013北京高考理科20）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n 项之后各项1na ，2na 的最小值记为 Bn，dn=AnBn高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(1)若an
115、为 2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列(即对任意 nN*，4nnaa)，写出 d1，d2，d3，d4 的值；(2)设 d 为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为 d 的等差数列；(3)证明：若 a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1【解题指南】(1)根据dn的定义求.(2)充分性:先证明an是不减数列,再利用定义求 dn;必要性:先证明an是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1）1112 11dAB，2222 11dAB，3334 13dAB，44
116、44 13dAB。（2）充分性：若na为公差为d 的等差数列，则1(1)naand.因为d 是非负整数，所以na是常数列或递增数列.1(1)nnAaand所以，11nnBaand，nnndABd 所以(n=1,2,3,).必要性：若(1,2,3,)ndd n，假设ka 是第一个使得10nnaa 的项，则1221kkkaaaaa，1,kkkkAaBa所以，110kkkkkkkdABaBaa所以，这与0ndd 矛盾.所以na是不减数列.1nnnnndABaad 所以，即1nnaad，na所以是公差为d 的等差数列.（3）首先na中的项不能是 0，否则1102da，与已知矛盾.na中的项不能超过 2
117、，用反证法证明如下：高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！若na中有超过 2 的项，设ka 是第一个大于 2 的项，na中一定存在项为 1，否则与1nd 矛盾.当 nk时，2na，否则与1kd 矛盾.因此存在最大的 i 在 2 到 k-1 之间，使得1ia，此时2220iiiidABB，矛盾.综上na中没有超过 2 的项.综合，na中的项只能是 1 或 2.下面证明 1 有无数个，用反证法证明如下：若ka 为最后一个 1，则220kkkdAB，矛盾.因此 1 有无数个.196.（2013北京高考文科20）给定数列 a1，a2，an。对 i=1，2，n-l，该数列前i 项的
118、最大值记为 Ai，后 n-i 项 ai+1，ai+2，an 的最小值记为 Bi，di=Ai-Bi.（1）设数列an为 3，4，7，1，写出 d1，d2，d3 的值.（2）设 a1，a2，an（n4）是公比大于 1 的等比数列，且 a10.证明：d1，d2，dn-1是等比数列。（3）设 d1，d2，dn-1 是公差大于 0 的等差数列，且 d10，证明：a1，a2，an-1 是等差数列。【解题指南】(1)利用 di 的公式,求 d1,d2,d3 的值.(2)先求出dn的通项,再利用等比数列的定义证明dn是等比数列.(3)先证明an是单调递增数列,再证明 an 是数列an的最小项,最后证明an是等
119、差数列.【解析】（1）1113 12dAB，2224 13dAB，333=7-1=6dAB。（2）由12,(4)na aa n 是公比大于 1 的等比数列，且 a10，可得na的通项为11nnaa q 且为单调递增数列。于是当2,3,1kn 时，1111211111kkkkkkkkkkdaaa qa qqdaaa qa q为定值。因此 d1，d2，dn-1 构成首项112daa，公比q 的等比数列。高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（3）若 d1,d2,dn-1 是公差大于 0 的等差数列,则 0d1d2dn-1,先证明 a1,a2,an-1 是单调递增数列,否则,设
120、 ak 是第一个使得 akak-1 成立的项,则Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此 dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此 a1,a2,an-1 是单调递增数列.再证明 an 为数列an中的最小项,否则设 ak0 矛盾.因而 k2,此时考虑 dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak0，因此 h(x)在0,1上是增函数，故 h(x)h(0)0.所以 f(x)1x，x0,1要证 x0,1时，(1x)e2x 11x，只需证明 exx1.记 K(x)exx1，则 K(x)ex1，当 x(0,1)时，K(x)0，因此 K(x)在0,1上是增函数，故 K(x)K(0)0.所以 f(x
121、)11x，x0,1综上，1xf(x)11x，x0,1(2)法一：f(x)g(x)(1x)e2xaxx3212xcos x 1xax1x322xcos xxa1x222cos x.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！设 G(x)x222cos x，则 G(x)x2sin x.记 H(x)x2sin x，则 H(x)12cos x，当 x(0,1)时，H(x)0，于是 G(x)在0,1上是减函数，从而当 x(0,1)时，G(x)3 时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)11x1axx322xcos x x1xaxx322xcos xx11xax222cos
122、x，记 I(x)11xax222cos x 11xaG(x)，则I(x)11x2G(x)，当 x(0,1)时，I(x)3 时，a30，所以存在 x0(0,1)，使得 I(x0)0，此时 f(x0)0，于是 G(x)在0,1上是增函数，因此当 x(0,1)时，G(x)G(0)0，从而 F(x)在0,1上是增函数，因此 F(x)F(0)0，所以当 x0,1时，112x2cos x.同理可证，当 x0,1时，cos x114x2.故 x0,1时，112x2cos x114x2.因为当 x0,1时，f(x)g(x)(1x)e2xaxx3212xcos x(1x)axx3212x114x2(a3)x，所
123、以当 a3 时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明，当 a3 时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！f(x)g(x)(1x)e2xaxx3212xcos x 11x1axx322x112x2 x21xx32(a3)x32xx23a3，所以存在 x0(0,1)(例如 x0 取a33 和12中的较小值)满足 f(x0)0，区间 Ix|f(x)0(1)求 I 的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数 k(0,1)，当 1ka1k 时，求 I 长度的最小值解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考
124、生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力(1)因为方程 ax(1a2)x20(a0)有两个实根 x10，x2a1a2，故 f(x)0 的解集为x|x1xx2因此区间 I0，a1a2，I 的长度为a1a2.(2)设 d(a)a1a2，则 d(a)1a21a22.令 d(a)0，得 a1.由于 0k1，故当 1ka0，d(a)单调递增；当 1a1k 时，d(a)0，d(a)单调递减所以当 1ka1k 时，d(a)的最小值必定在 a1k 或 a1k 处取得而d1kd1k1k11k21k11k22k2k32k2k31，故 d(1k)ln 2.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权
125、所有，侵权必究！解：本题考查函数与导数、不等式的综合应用，考查分类讨论的数学思想，考查考生分析问题、解决问题的能力(1)由已知 f(0)0，f(x)12xx21x2，f(0)0.若 12，则当 0 x0，所以 f(x)0.若 12，则当 x0 时，f(x)0 时，f(x)0 时，f(x)ln(1x)取 x1k，则 2k12kk1ln k1k.于是 a2nan 14n kn2n112k12k1 kn2n1 2k12kk1 kn2n1ln k1kln 2nln nln 2.所以 a2nan 14nln 2.201（2013湖北高考理）假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,
126、502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0.(1)求 p0 的值；(参考数据：若 XN(，2)，有 P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600元/辆和 2 400 元/辆公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A型车 7 辆若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小
127、，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力(1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502)，故有 800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)1212P(7000，区间 Ix|f(x)0(1)求 I 的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数 k(0,1)，当 1ka1k 时，求 I
128、 长度的最小值解：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力(1)因为方程 ax(1a2)x20(a0)有两个实根 x10，x2a1a2.故 f(x)0 的解集为x|x1xx2，因此区间 I0，a1a2，区间长度为a1a2.(2)设 d(a)a1a2，则 d(a)1a21a22.令 d(a)0，得 a1.由于 0k1，故当 1ka0，d(a)单调递增；当 1a1k 时，d(a)0，d(a)单调递减因此当 1ka1k 时，d(a)的最小值必定在 a1k 或 a1k 处取得而d1kd1k1k11k21k11k22k2k3
129、2k2k31，故 d(1k)2 时，不等式 axx2x322(x2)cos x4 对 x0,1不恒成立因为当 x0,1时，axx2x322(x2)cos x4(a2)xx2x324(x2)sin2x2(a2)xx2x324(x2)x22(a2)xx2x32(a2)x32x232xx23a2.所以存在 x0(0,1)(例如 x0 取a23 和12中的较小值)满足 ax0 x20 x3022(x02)cos x040，即当 a2 时，不等式 axx2x322(x2)cos x40 对 x0,1不恒成立综上，实数 a 的取值范围是(，2法二：记 f(x)axx2x322(x2)cos x4，则高考资
130、源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！f(x)a2x3x22 2cos x2(x2)sin x.记 G(x)f(x)，则G(x)23x4sin x2(x2)cos x.当 x(0,1)时，cos x12，因此 G(x)23x4 22 x(x2)(22 2)x0.于是 f(x)在0,1上是减函数，因此，当 x(0,1)时，f(x)f(0)a2，故当 a2 时，f(x)2 时，不等式 axx2x322(x2)cos x4 对 x0,1不恒成立由于 f(x)在0,1上是减函数，且f(0)a20，f(1)a722cos 16sin 1.当 a6sin 12cos 172时，f(1)0，
131、所以当 x(0,1)时，f(x)0，因此 f(x)在0,1上是增函数，故 f(1)f(0)0；当2a6sin 12cos 172时，f(1)0，故存在 x0(0,1)使 f(x0)0，则当0 xf(x0)0，所以 f(x)在0，x0上是增函数，所以当 x(0，x0)时，f(x)f(0)0.所以，当 a2 时，不等式 axx2x322(x2)cos x4 对 x0,1不恒成立综上，实数 a 的取值范围是(，2205（2012广东高考理）设 a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合 D(用区间表示)；(2)求函数 f(x)2x33(1a)x26ax 在 D 内的极值点解：(1)
132、2x23(1a)x6a0 的判别式 9(1a)248a9(a3)(a13)，而 a0，当 0 时，得 a3，即 a13，由 2x23(1a)x6a0，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解得 x131a3 a3a134，x231a3 a3a134，若 x10，即 1a a3a13，得 a0，若 x20，即(1a)a3a130，无解，所以当 a0 时，x10 x2，B(，x1)(x2，)，DAB(x2，)，当 a0 时，0 x1x2，B(，x1)(x2，)，DAB(x2，)，当 0a13时，0 x1x2，B(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)；当 0 时，得
133、 a13，由 x22x10，得 x1，此时 B(，1)(1，)，DAB(0,1)(1，)；当 0 时，得13a1，BR，DAB(0，)综上所述：当 a0 时，D(31a3 a3a134，)；当 0a13时，D(0，31a3 a3a134)(31a3 a3a134，)；当 a13时，D(0,1)(1，)；当13a1 时，D(0，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，a1，令 f(x)0 得 xa 或 x1，当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 ax1 时，f(x)1，所以此时 f(x)在 D(x2)上无极值点；当 0a0，f(1)23(1a)6a3a10，再由f(x
134、)的单调性可得 0ax11x2，此时 f(x)在 D 上只存在一个极大值点 xa；当 a13时，f(x)在 D(0,1)(1，)上只存在一个极大值点 x13；当13a1 时，f(x)在 D(0，)上存在一个极大值点 xa 和极小值点 x1.综上所述，当 a0 时，f(x)在 D 上无极值点；当 0a13时，f(x)在 D 上存在一个极大值点 xa；当13a1 时，f(x)在 D 上存在一个极大值点 xa 和极小值点 x1.206（2012四川高考理）已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 yx2an2 与 x 轴正半轴相交于点 A.设 f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距(
135、1)用 a 和 n 表示 f(n)；(2)求对所有 n 都有fn1fn1 n3n31成立的 a 的最小值；(3)当 0a4n(13)n1C1n3C2n32C3n331C1n3C2n32C3n3312n312n5(n2)2(2n5)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2n31.当 n0,1,2 时，显然(17)n2n31.故 a 17时，fn1fn1 n3n31对所有自然数 n 都成立所以满足条件的 a 的最小值为 17.(3)由(1)知 f(k)ak，则k1n1fkf2kk1n1aka2k，f1fnf0f1aan1a.下面证明：k1n1fkf2k274 f1fnf0f1
136、.首先证明：当 0 x1 时，1xx2274 x.设函数 g(x)274 x(x2x)1,0 x1.则 g(x)814 x(x23)当 0 x23时，g(x)0；当23x0.故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)ming(23)0.所以，当 0 x1 时，g(x)0，即得1xx2274 x.由 0a1 知 0ak274 aan1a 274 f1fnf0f1.207（2012辽宁高考理）设 f(x)ln(x1)x1axb(a，bR，a，b 为常数)，曲线yf(x)与直线 y32x 在(0,0)点相切(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 0 x2 时，f(x)0 时，高考资源网（）您身
137、边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2 x11x11x2，故 x1x21.记 h(x)f(x)9xx6，则h(x)1x112 x154x622 x12x1 54x62 x64x154x62x63216x14x1x62.令 g(x)(x6)3216(x1)，则当 0 x2 时，g(x)3(x6)22160.因此 g(x)在(0,2)内是递减函数，又由 g(0)0，得g(x)0，所以 h(x)0.因此 h(x)在(0,2)内是递减函数，又 h(0)0，得 h(x)0.于是当 0 x2 时，f(x)0 时，2 x11x11x2，故 x1x21.令 k(x)ln(x1)x，则 k(0)0，k(x
138、)1x11 xx10，故 k(x)0，即 ln(x1)0 时，f(x)32x.记 h(x)(x6)f(x)9x，则当 0 x2 时，h(x)f(x)(x6)f(x)932x(x6)(1x112 x1)912x13x(x1)(x6)(2 x1)18(x1)12x13x(x1)(x6)(3x2)18(x1)x4x1(7x18)0.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！因此 h(x)在(0,2)内单调递减，又 h(0)0，所以 h(x)0，即 f(x)9xx6.208（2012北京高考理）设 A 是由 mn 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且
139、所有数的和为零记 S(m，n)为所有这样的数表构成的集合对于 AS(m，n)，记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1im)，cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(1jn)；记 k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|cn(A)|中的最小值(1)对如下数表 A，求 k(A)的值；110.80.10.31(2)设数表 AS(2,3)形如11cab1求 k(A)的最大值；(3)给定正整数 t，对于所有的 AS(2,2t1)，求 k(A)的最大值解：(1)因为 r1(A)1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A
140、)1.8，所以 k(A)0.7.(2)不妨设 ab.由题意得 c1ab.又因 c1，所以 ab0，于是 a0.r1(A)2c1，r2(A)r1(A)1，c1(A)1a，c2(A)1b，c3(A)(1a)(1b)(1a)所以 k(A)1a1.当 ab0 且 c1 时，k(A)取得最大值 1.(3)对于给定的正整数 t，任给数表 AS(2,2t1)如下：a1a2a2t1b1b2b2t1任意改变 A 的行次序或列次序，或把 A 中的每个数换成它的相反数，所得数表 A*S(2,2t1)，并且 k(A)k(A*)因此，不妨设 r1(A)0，且 cj(A)0(j1,2，t1)由 k(A)的定义知，k(A)
141、r1(A)，k(A)cj(A)(j1,2，t1)又因为 c1(A)c2(A)c2t1(A)0，所以(t2)k(A)r1(A)c1(A)c2(A)ct1(A)r1(A)ct2(A)c2t1(A)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！j1t1aj jt22t1bj(t1)t(1)2t1.所以 k(A)2t1t2.对数表 A0：第 1 列 第 2 列 第 t1 列 第 t2 列 第 2t1 列1111 t1tt21 t1tt2t1t2t1t2t1t211则 A0S(2,2t1)，且 k(A0)2t1t2.综上，对于所有的 AS(2,2t1)，k(A)的最大值为2t1t2.209
142、（2012湖北高考理）(1)已知函数 f(x)rxxr(1r)(x0)，其中 r 为有理数，且 0r1.求 f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设 a10，a20，b1，b2 为正有理数若 b1b21，则 a1b1a2b2a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当 为正有理数时，有求导公式(x)1x1.解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令 f(x)0，解得 x1.当 0 x1 时，f(x)0，所以 f(x)在(0,1)内是减函数；当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)在(1，)内是增函数故函数 f(x)在 x1
143、 处取得最小值 f(1)0.(2)由(1)知，当 x(0，)时，有 f(x)f(1)0，即 xrrx(1r)，若 a1，a2 中至少有一个为 0，则 ab11ab22a1b1a2b2 成立；若 a1，a2 均不为 0，又 b1b21，可得 b21b1，于是在中令 xa1a2，rb1，可得(a1a2)b1b1a1a2(1b1)，即 ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即 ab11ab22a1b1a2b2.综上，对 a10，a20，b1，b2 为正有理数且 b1b21，总有 ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为设 a1，a2，an 为非负实数，b1，b2，bn
144、为正有理数若 b1b2bn1，则 ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！用数学归纳法证明如下：(1)当 n1 时，b11，有 a1a1，成立(2)假设当 nk 时，成立，即若 a1，a2，ak 为非负实数，b1，b2，bk 为正有理数，且 b1b2bk1，则 ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当 nk1 时，已知 a1，a2，ak，ak1 为非负实数，b1，b2，bk，bk1 为正有理数，且 b1b2bkbk11，此时 0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22a
145、bkk)abk1k1(ab11bk11ab21bk12abk1bk1k)1bk1abk1k1.因b11bk1b21bk1bk1bk11，由归纳假设可得ab11bk11 ab21bk12 abk1bk1k a1b11bk1 a2b21bk1 akbk1bk1 a1b1a2b2akbk1bk1，从而 ab11ab22abkkabk1k1(a1b1a2b2akbk1bk1)1bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得(a1b1a2b2akbk1bk1)1bk1abk1k1a1b1a2b2akbk1bk1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而 ab11ab22abk
146、kabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1，故当 nk1 时，成立由(1)(2)可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立说明：(3)中如果推广形式中指出式对 n2 成立，则后续证明中不需讨论 n1 的情况210（2012浙江高考理）已知 a0，bR，函数 f(x)4ax32bxab.(1)证明：当 0 x1 时，函数 f(x)的最大值为|2ab|a；f(x)|2ab|a0；(2)若1f(x)1 对 x0,1恒成立，求 ab 的取值范围解：(1)f(x)12ax22b12a(x2 b6a)当 b0 时，有 f(x)0，此时 f(x)在0，)上单调递增当 b0 时，f(x)12a(xb6a
147、)(xb6a)，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！此时 f(x)在0，b6a上单调递减，在b6a，)上单调递增所以当 0 x1 时，f(x)maxmaxf(0)，f(1)maxab,3ab3ab，b2a，ab，b2a|2ab|a.由于 0 x1，故当 b2a 时，f(x)|2ab|af(x)3ab4ax32bx2a4ax34ax2a2a(2x32x1)当 b2a 时，f(x)|2ab|af(x)ab4ax32b(1x)2a4ax34a(1x)2a2a(2x32x1)设 g(x)2x32x1,0 x1，则g(x)6x226(x 33)(x 33)，于是x0(0，33)3
148、3(33，1)1g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming(33)14 39 0.所以当 0 x1 时，2x32x10.故 f(x)|2ab|a2a(2x32x1)0.(2)由知，当 0 x1 时，f(x)max|2ab|a，所以|2ab|a1.若|2ab|a1，则由知 f(x)(|2ab|a)1.所以1f(x)1，对任意 0 x1 恒成立的充要条件是|2ab|a1，a0，即2ab0，3ab1，a0，或2ab0，ba1，a0.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！在直角坐标系 aOb 中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段 BC.作一组平行直
149、线 abt(tR)，得1ab3.所以 ab 的取值范围是(1,3211（2012福建高考理）已知函数 f(x)exax2ex，aR.(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间；(2)试确定 a 的取值范围，使得曲线 yf(x)上存在唯一的点 P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P.解：(1)由于 f(x)ex2axe，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率 k2a0，所以 a0，即 f(x)exex.此时 f(x)exe，由 f(x)0 得 x1.当 x(，1)时，有 f(x)0；当 x(1，)时，有 f(x)0.所以 f(x)
150、的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)(2)设点 P(x0，f(x0)，曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程为 yf(x0)(xx0)f(x0)，令 g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，故曲线 yf(x)在点 P 处的切线与曲线 yf(x)只有一个公共点 P 等价于函数 g(x)有唯一零点因为 g(x0)0，且 g(x)f(x)f(x0)exex02a(xx0)(1)若 a0，当 xx0 时，g(x)0，则 xx0 时，g(x)g(x0)0；当 xx0 时，g(x)0，则 xx0 时，g(x)g(x0)0.故 g(x)只有唯一零点 xx0.由 P 的任意性，a0 不合题
151、意(2)若 a0，令 h(x)exex02a(xx0)，则 h(x0)0，h(x)ex2a.令 h(x)0，得 xln(2a)，记 x*ln(2a)，则当 x(，x*)时h(x)0，从而 h(x)在(，x*)内单调递减；当 x(x*，)时，h(x)0，从而 h(x)在(x*，)内单调递增若 x0 x*，由 x(，x*)时，g(x)h(x)h(x*)0；由 x(x*，)时，g(x)h(x)h(x*)0.知 g(x)在 R 上单调递增所以函数 g(x)在 R 上有且只有一个零点 xx*.若 x0 x*，由于 h(x)在(x*，)内单调递增，且 h(x0)0，则当 x(x*，x0)时，有 g(x)高
152、考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！h(x)h(x0)0，g(x)g(x0)0；任取 x1(x*，x0)有 g(x1)0.又当 x(，x1)时，易知 g(x)exax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ex1ax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ax2bxc，其中 b(ef(x0)，cex1f(x0)x0f(x0)由于 a0，则必存在 x2x1，使得 ax22bx2c0.所以 g(x2)0，故 g(x)在(x2，x1)内存在零点即 g(x)在 R 上至少有两个零点若 x0 x36，可证函数 g(x)在 R 上至少有两个零点综上所述，当 a0 时，曲线 yf(
153、x)上存在唯一点 P(ln(2a)，f(ln(2a)，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P.212（2012四川高考文）已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 yx2an2 与 x 轴正半轴相交于点 A.设 f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距(1)用 a 和 n 表示 f(n)；(2)求对所有 n 都有fn1fn1 nn1成立的 a 的最小值；(3)当 0a6f1fn1f0f1.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！首先证明：当 0 x6x.设函数 g(x)6x(x2x)1,0 x1，则 g(x)18x(x23)当 0 x23时，g(x)0；当
154、23x0.故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)ming(23)190.所以，当 0 x0，即得1xx26x.由 0a1 知 0ak6ak，从而1f1f21f2f41fnf2n1aa21a2a41ana2n6(aa2an)6aan11a 6f1fn1f0f1.213（2012辽宁高考文）设 f(x)ln x x1，证明：(1)当 x1 时，f(x)32(x1)；(2)当 1x3 时，f(x)1 时，g(x)1x 12 x320.又 g(1)0，故 g(x)0，即 f(x)1 时，2 xx1，故 xx212.令 k(x)ln xx1，则 k(1)0，k(x)1x10，故 k(x)0，即
155、 ln x1 时，f(x)32(x1)(2)法一：记 h(x)f(x)9x1x5，当 1x3 时，由(1)得h(x)1x 12 x54x522 x2x54x52x54x 54x52x53216x4xx52.令 l(x)(x5)3216x,1x3，l(x)3(x5)22160，因此 l(x)在(1,3)内是递减函数，又由 l(1)0，得 l(x)0，所以 h(x)0.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！因此 h(x)在(1,3)内是递减函数，又由 h(1)0，得 h(x)0.于是当 1x3 时，f(x)9x1x5.法二：记 h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当 1x3
156、 时，由(1)得 h(x)f(x)(x5)f(x)932(x1)(x5)(1x 12 x)9 12x3x(x1)(x5)(2 x)18x 12x3x(x1)(x5)(2x212)18x 14x(7x232x25)0，因此 h(x)在(1,3)内单调递减，又 h(1)0，所以 h(x)0，即f(x)9x1x5.214（2012上海高考文）已知 f(x)lg(x1)(1)若 0f(12x)f(x)0，x10，得1x1.由 0lg(22x)lg(x1)lg22xx1 1 得122xx1 0，所以 x122x10 x10，23x13.由1x1，23x13，得23x13.(2)当 x1,2时，2x0,1
157、，因此yg(x)g(x2)g(2x)f(2x)lg(3x)由单调性可得 y0，lg 2因为 x310y，所以所求反函数是 y310 x，x0，lg 2215（2012北京高考文）设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表，abcdef满足性质 P：a，b，c，d，e，f1,1，且 abcdef0.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(i1,2)，cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(j1,2,3)；记 k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值(1)对如下数表 A，求 k
158、(A)的值；110.80.10.31(2)设数表 A 形如1112ddd1其中1d0.求 k(A)的最大值；(3)对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A，求 k(A)的最大值解：(1)因为 r1(A)1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A)1.8，所以 k(A)0.7.(2)r1(A)12d，r2(A)12d，c1(A)c2(A)1d，c3(A)22d.因为1d0，所以|r1(A)|r2(A)|1d0，|c3(A)|1d0.所以 k(A)1d1.当 d0 时，k(A)取得最大值 1.(3)任给满足性质 P 的数表 A(如下所示)，abcdef任意改变
159、A 的行次序或列次序，或把 A 中的每个数换成它的相反数，所得数表 A*仍满足性质 P，并且 k(A)k(A*)因此，不妨设 r1(A)0，c1(A)0，c2(A)0.由 k(A)的定义知，k(A)r1(A)，k(A)c1(A)，k(A)c2(A)，从而 3k(A)r1(A)c1(A)c2(A)(abc)(ad)(be)(abcdef)(abf)abf3，所以 k(A)1.由(2)知，存在满足性质 P 的数表 A 使 k(A)1，故 k(A)的最大值为 1.216（2012广东高考文）设 0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！DA
160、B.(1)求集合 D(用区间表示)；(2)求函数 f(x)2x33(1a)x26ax 在 D 内的极值点解：(1)方程 2x23(1a)x6a0 的判别式 9(1a)248a9(a3)(a13)，而 0a0，当 0 时，得 a3，即 0a13，由 2x23(1a)x6a0，解得 x131a3 a3a134，x231a3 a3a134，有 0 x1x2，此时 B(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)；当 0 时，得 a13，由 x22x10，得 x1，此时 B(，1)(1，)，DAB(0,1)(1，)；当 0 时，得13a1，BR，DAB(0，)综上所述：当 0a13时，D(0,31
161、a3 a3a134)(31a3 a3a134，)；当 a13时，D(0,1)(1，)；当13a1 时，D(0，)(2)由题知 f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，0a1，令 f(x)0 得 xa 或 x1，当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 ax1 时，f(x)0，f(x)单调递减当 0a0，f(1)23(1a)6a3a10，再由 f(x)的单调性可得 0ax11x2，所以函数 f(x)在 D 内的极值点为 xa.当 a13时，D(0,1)(1，)，函数 f(x)在 D 内的极值点为 xa13.当13a1 时，D(0，)，函数 f(x)在 D 内的极值点为 xa 和
162、x1.综上，当13a1 时，函数 f(x)在 D 内的极值点为 xa 和 x1；当 a13时，函数 f(x)在 D 内的极值点为 x13；当 0a13时，函数 f(x)在 D 内的极值点为 xa.217（2011湖南高考）已知函数 f(x)x3，g(x)x x.()求函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；()设数列an(nN*)满足 a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数 M，使得对于任意的 nN*，都有 anM.解：()由 h(x)x3x x知，x0，)，而 h(0)0，且 h(1)10，h(2)6 20，则 x0 为 h(x)的一个零点，且 h(x)在(1,
163、2)内有零点因此，h(x)至少有两个零点法一：h(x)3x2112x12，记(x)3x2112x12，则(x)6x14x32.当 x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，(33)0，则(x)在(33，1)内有零点所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为 x1，则当 x(0，x1)时，(x)(x1)0；当 x(x1，)时，(x)(x1)0.所以，当 x(0，x1)时，h(x)单调递减而 h(0)0，则 h(x)在(0，x1内无零点；当 x(x1，)时，h(x)单调递增，则 h(x)在(x1，)内至多只有一个零点从而 h(
164、x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点法二：由 h(x)x(x21x12)，记(x)x21x12，则(x)2x12x32.当 x(0，)时，(x)0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！多只有一个零点因此 h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点()证明：记 h(x)的正零点为 x0，即 x30 x0 x0.(1)当 ax0 时，由 a1a，即 a1x0.而 a32a1 a1x0 x0 x30，因此 a2x0.由此猜测：anx0.下面用数学归纳法证明当 n1
165、 时，a1x0 显然成立假设当 nk(k1)时，akx0 成立，则当 nk1 时，由 a3k1ak akx0 x0 x30知，ak1x0.因此，当 nk1 时，ak1x0 成立故对任意的 nN*，anx0 成立(2)当 ax0 时，由()知，h(x)在(x0，)上单调递增则 h(a)h(x0)0，即 a3a a.从而 a32a1 a1a aa3，即 a2a.由此猜测：ana.下面用数学归纳法证明当 n1 时，a1a 显然成立假设当 nk(k1)时，aka 成立，则当 nk1 时，由 a3k1ak aka aa3 知，ak1a.因此，当 nk1 时，ak1a 成立故对任意的 nN*，ana 成立综上所述，存在常数 Mmaxx0，a，使得对于任意的 nN*，都有 anM.
