1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.方程x2+2y2=4所表示的曲线是()A.焦点在x轴的椭圆B.焦点在y轴的椭圆C.抛物线D.圆解析方程化为x24+y22=1,因此其表示焦点在x轴的椭圆.答案A2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为()A.3B.23C.5D.25解析由题意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=a2-b2=4-1=3,所以2c=23.故选B.答案B3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=233x,则此双曲线的离心
2、率为()A.72B.133C.53D.213解析因为双曲线焦点在x轴上,所以ba=233,于是e=ca=1+ba2=73=213.答案D4.已知抛物线C:y2=8x焦点为F,点P是C上一点,O为坐标原点,若POF的面积为2,则|PF|等于()A.52B.3C.72D.4解析由已知得F(2,0),设P(x0,y0),则122|y0|=2,所以|y0|=2,于是x0=12,于是|PF|=x0+p2=52.答案A5.已知一个动圆P与圆O:x2+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,则动圆圆心P的轨迹是()A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆解析设动圆半径为R,依题意有|PO|=R
3、+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点P的轨迹为双曲线的右支.答案A6.已知点A是抛物线y2=2px(p0)上一点,点F是抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,OFA=120,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.x=-3C.x=-1或x=-3D.y=-1解析由题意BFA=OFA-90=30,过点A作准线的垂线AC,过点F作AC的垂线,垂足分别为C,B.如图,A点到准线的距离为d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1.故选A.答案A7.双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线与抛物线M:y2=4x的一个交
4、点为P(异于坐标原点O),抛物线M的焦点为F,则OFP的面积为()A.233B.433C.23D.43解析双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线方程为y=3x,将y=3x代入抛物线方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=43,所以P43,433,又抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则OFP的面积为S=121433=233.故选A.答案A8.已知双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,若双曲线的一个焦点坐标为(0,5),且圆x2+(y-5)2=1与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程是()A.x24-y2=1B.y24-x2=1C.x26-y2=1D.y26-x2=1解析双曲线的一个焦点坐
5、标为(0,5),则c=5.由题意可知焦点在y轴上,设双曲线为y2a2-x2b2=1,渐近线为byax=0.焦点到渐近线的距离为1=bca2+b2=b,即b=1,a=c2-b2=2,则双曲线的方程是y24-x2=1,故选B.答案B9.已知点P(x0,y0)在椭圆x212+y23=1上,其左、右焦点分别是F1,F2,若F1PF2为钝角,则x0的取值范围是()A.(-3,3)B.(-,-22)(22,+)C.(-,-3)(3,+)D.(-22,22)解析由已知得F1(-3,0),F2(3,0),所以PF1=(-3-x0,-y0),PF2=(3-x0,-y0),则PF1PF2=x02+y02-9,而y
6、02=3-14x02,所以PF1PF2=34x02-6.又F1PF2为钝角,所以34x02-60,解得-22x0b0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若AF1F2的面积为3,且F1AF2=4AF1F2,则椭圆方程为()A.x23+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y2=1D.x24+y23=1解析在AF1F2中,AF1=AF2,F1AF2=4AF1F2,则AF1F2=30,所以bc=33.又AF1F2面积为3,即S=122cb=3,解得b=1,c=3,则a=b2+c2=2,所以椭圆方程为x24+y2=1.答案C11.直线y=k(x-1)与椭圆C:x24+y22=1交于不同的两
7、点M,N,椭圆x24+y22=1的一个顶点为A(2,0),当AMN的面积为103时,则k的值为()A.2B.3C.1D.5解析直线y=k(x-1)与椭圆C联立y=k(x-1),x24+y22=1消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=|k|1+k2,AMN的面积S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2.AMN的面积为103,|k|4+6k21
8、+2k2=103,k=1,故选C.答案C12.如图所示,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l,交抛物线于点A,B.交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=2+1,则此抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=2xC.y2=3xD.y2=3x解析如图,过点A作AD垂直于抛物线的准线,垂足为D,过点B作BE垂直于抛物线的准线,垂足为E,点P为准线与x轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=2+1,因为|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BE|,所以DCA=45,|AC|=2|AD|=2+2,|CF|=2+2-2-1=1,所以|PF|=|CF|2=2
9、2,即p=|PF|=22,所以抛物线的方程为y2=2x,故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1的焦距为4,点P(1,3)在双曲线C的渐近线上,则C的方程为.解析双曲线C:y2a2-x2b2=1的渐近线方程为y=abx,双曲线C:y2a2-x2b2=1的焦距为4,点P(1,3)在C的渐近线上,可得a=3b,2c=4,c2=a2+b2,a2=3,b2=1,双曲线C的方程为y23-x2=1.故答案为y23-x2=1.答案y23-x2=114.若直线x-my+m=0经过抛物线x2=2py(p0)的焦点,则p=.解析直线x-my+m=0
10、可化为x-m(y-1)=0,所以直线x-my+m=0过点(0,1),即抛物线x2=2py(p0)的焦点F为(0,1),p2=1,则p=2,故答案为2.答案215.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与抛物线C:y2=2px(p0)有共同的一个焦点,过双曲线E的左焦点且与抛物线C相切的直线恰与双曲线E的一条渐近线平行,则E的离心率为.解析因为抛物线与双曲线共焦点,所以c=p2,p=2c,抛物线方程为y2=4cx,设双曲线的左焦点为F1,F1(-c,0),过F1与一条渐近线y=bax平行的直线方程为y=ba(x+c),由y2=4cx,y=ba(x+c)得by2-4acy+4bc2=0
11、,所以=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,从而c=a2+b2=2a,离心率为e=ca=2.答案216.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m0,n0),若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为.解析椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m0,n0),若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标F2(c,0),F1(-c,0),正六边形的一个顶点Ac2,32c.|
12、AF1|+|AF2|=(c2+c)2+(3c2)2+(c2-c)2+(3c2)2=2a,因为3c+c=2a,所以椭圆离心率e1=ca=3-1,因为双曲线的渐近线的斜率为3,即nm=3,可得双曲线的离心率为e2=1+n2m2=2.所以e1+e2=3-1+2=3+1.故答案为3+1.答案3+1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C的一个焦点与抛物线C1:y2=-16x的焦点重合,且其离心率为2.(1)求双曲线C的方程;(2)求双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线所围成三角形的面积.解(1)抛物线C1:y2=-16x的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为x
13、2a2-y2b2=1(a0,b0),则依题意有c=4,ca=2,解得a2=4,b2=12,故双曲线C的方程为x24-y212=1.(2)抛物线C1的准线方程为x=4,双曲线C的渐近线方程为y=3x,于是双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线的两个交点为(4,43),(4,-43),所围成三角形的面积S=12834=163.18.(本小题满分12分)已知抛物线x2=-2py(p0)上纵坐标为-p的点到其焦点F的距离为3.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l与抛物线以及圆x2+(y-1)2=1都相切,求直线l的方程.解(1)由已知得抛物线的准线方程为y=p2,则由抛物线的定义知p+p2=3,则p=2,
14、所以抛物线的方程为x2=-4y.(2)由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+b,则有y=kx+b,x2=-4y,消去y得x2+4kx+4b=0,则有=16k2-16b=0,即k2=b.又直线l与圆x2+(y-1)2=1都相切,所以|-1+b|k2+1=1.解方程组|-1+b|k2+1=1,k2=b,得k=0,b=0或k=3,b=3或k=-3,b=3,故所求直线l的方程为y=0或y=3x+3或y=-3x+3.19.(本小题满分12分)已知F1,F2是椭圆M:y2a2+x2b2=1(ab0)的两个焦点,椭圆M的离心率为63,P(x0,y0)是M上异于上下顶点的任意一点,且PF1F2面积的最
15、大值为22.(1)求椭圆M的方程;(2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,AC=2CB,求直线l的方程.解(1)据题意,得ca=63,122cb=22,c2=a2-b2,a2=6,b2=2.椭圆M的方程为y26+x22=1.(2)据题设知,直线AB的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1.据y=kx+1,y26+x22=1,得(3+k2)x2+2kx-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2k3+k2,x1x2=-53+k2.AC=2CB,(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1).x1=-2x2.x1+x2=-x2=-2k3+k2,则x2=2k3+k2
16、.又x1x2=-2x22=-53+k2,2k3+k22=53+k212,k=5.故直线l的方程为y=-5x+1或y=5x+1.20.(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,点M是抛物线上的定点,且MF=(4,0).(1)求抛物线C的方程;(2)直线AB与抛物线C交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x2-1=x1+m2(m为常数),直线l与AB平行,且与抛物线C相切,切点为N,试问ABN的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解(1)设M(x0,y0),由题知F0,p2,所以MF=-x0,p2-y0=(4,0).所以-x0=4,p2-y
17、0=0,即x0=-4,y0=p2.代入x2=2py(p0)中,得16=p2,解得p=4.所以抛物线C的方程为x2=8y.(2)由题意知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b.由y=kx+b,x2=8y,消去y,整理得x2-8kx-8b=0,则x1+x2=8k,x1x2=-8b.y1+y2=k(x1+x2)+2b=8k2+2b,设AB的中点为Q,则点Q的坐标为(4k,4k2+b).由条件,设切线方程为y=kx+t,由y=kx+t,x2=8y,消去y整理得x2-8kx-8t=0.直线与抛物线相切,=64k2+32t=0.t=-2k2.x2-8kx+16k2=0,x=4k,y=2k2.切点N的
18、坐标为(4k,2k2).NQx轴,|NQ|=(4k2+b)-2k2=2k2+b.x2-x1=m2+1,又(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=64k2+32b.2k2+b=(m2+1)232.SABN=12|NQ|x2-x1|=12(2k2+b)|x2-x1|=(m2+1)364.m为常数,ABN的面积为定值,且定值为(m2+1)364.21.(本小题满分12分)已知F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P-1,22在椭圆E上,且抛物线y2=4x的焦点是椭圆E的一个焦点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点F2作不与x轴重合的直线l,设l与圆x2+y
19、2=a2+b2相交于A,B两点,且与椭圆E相交于C,D两点,当F1AF1B=1时,求F1CD的面积.解(1)y2=4x焦点为F(1,0),则椭圆E的焦点F1(-1,0),F2(1,0).2a=|PF1|+|PF2|=22.解得a=2,c=1,b=1,所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1.(2)由已知,可设直线l方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立x=ty+1,x2+y2=3,得(t2+1)y2+2ty-2=0,易知0.则y1+y2=-2tt2+1,y1y2=-2t2+1.F1AF1B=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(ty1+2)(ty2+2)+y1y2=(t2+
20、1)y1y2+2t(y1+y2)+4=2-2t2t2+1.因为F1AF1B=1,所以2-2t2t2+1=1,解得t2=13.联立x=ty+1,x22+y2=1,得(t2+2)y2+2ty-1=0,=8(t2+1)0.设C(x3,y3),B(x4,y4),则y3+y4=-2tt2+2,y3y4=-1t2+2.SF1CD=12|F1F2|y3-y4|=8(1+t2)t2+2=84373=467.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为22,离心率为22.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交椭圆C于点A,P(P在第一象限
21、),且点M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q,延长QM交椭圆C于点B.设直线PM、QM的斜率分别为k,k,证明kk为定值;求直线AB斜率取最小值时,直线PA的方程.解(1)由题意得2a=22,ca=22,所以a=2,c=1,b=a2-c2=2-1=1.故椭圆方程为x22+y2=1.(2)设P(x0,y0)(x00,y00),由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m),所以直线PM的斜率k=2m-mx0=mx0,直线QM的斜率k=-2m-mx0=-3mx0.此时kk=-13,所以kk为定值-13.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为y=kx+m
22、,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立y=kx+m,x22+y2=1,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,由=16k2m2-8(m2-1)(2k2+1)0,x0x1=2m2-22k2+1,可得x1=2m2-2(2k2+1)x0,y1=kx1+m=k2m2-2(2k2+1)x0+m,同理x2=2m2-2(18k2+1)x0,y2=-3kx2+m=-3k2m2-2(18k2+1)x0+m.所以x1-x2=32k2(m2-1)(2k2+1)(18k2+1)x0,y1-y2=3k2m2-2(18k2+1)x0+k2m2-2(2k2+1)x0,y1-y2=2k(m2-1)24k2+4(2k2+1)(18k2+1)x0=8k(m2-1)6k2+1(2k2+1)(18k2+1)x0,所以kAB=y1-y2x1-x2=6k2+14k=146k+1k,由m0,x00,可知k0,所以6k+1k26,当且仅当k=66时取等号.由P(x0,2m),m0,x00在椭圆C:x22+y2=1上,得x0=2-8m2,k=mx0=m2-8m2,此时m2-8m2=66,即m=77,由0得,m22k2+1,所以k=66时,m=77符合题意.所以直线AB的斜率最小时,直线PA的方程为y=66x+77.
