1、第二课时 利用向量求空间角和距离 【知识梳理】1.异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0,)求法cos=|a ba b(0,2cos|cos|a ba b2.直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面 的法向量为n,直线l与平面 所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin=|cos|=_|e ne n3.二面角的求法:a.如图,AB,CD是二面角-l-两个半平面内与棱l垂 直的直线,则二面角的大小=_.AB,CDb.如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面 ,的法向量,则二面角的大小 满足cos
2、=_ 或_.cos-cos【特别提醒】1.利用 可以求空间中有向线段的长度 2.点面距离的求法 2|AB|AB AB(1)向量法：已知AB为平面 的一条斜线段，n为平面 的法向量，则B到平面 的距离为 =(2)等体积法:把点到平面的距离转化为几何体的高,然 后利用等体积法求解.|BO|AB|cosAB|,n|AB|.|nn【小题快练】链接教材 练一练 1.(选修2-1P117T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面 边长为2,侧棱长为2 ,则AC1与侧面ABB1A1所成 的角为 .2【解析】以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2 ).
3、点C1在侧面ABB1A1内的射影为点 所以 =(-2,0,2 ),设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为,2233C(2 2).22，1AC213AC(,2 2),22，2又 ,所以=.答案:1212AC AC1 083cos.22 3 3AC AC 0,266则 2.(选修2-1P109例4改编)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD底面ABCD,PD=DC.则二面角C-PB-D的大小为 .【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设PD=DC=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).所以 =(0,0,1),=(0,1,-1),
4、=(1,1,0),=(-1,0,0),DPPCDBBC设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),1111111222222222DP0DB0z0,xy0,x1,(11 0).PBCx,y,z,PC0,BC0yz0,x0,由，得令得，设平面的一个法向量为由得nnnnnn答案:60 221212y1(0 1 1).CPBD|1cos,60.|2 令得，设二面角的大小为，则所以nn nn n感悟考题 试一试 3.(2016威海模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知 AB2，CC1 则异面直线AB1和BC1所成角的正弦 值为()2，713A 1 B C.D722【解析】选设线段A1B
5、1，AB的中点分别为O，D，则OC1平面ABB1A1，以 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.11OB OC OD，则 所以 因为 所以 即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.11A(1,02)B 1,0,0B(1,02)C(03 0)，11AB(2,02)BC(1 32),，,，11AB BC(2,02)(1 32)0,，11ABBC，4.(2016烟台模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()61023A.B C.D4422【解析】选A.如图,以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标
6、系,设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则 所以 设AB1与平面ACC1A1所成的角为，EB1为平面ACC1A1的法向量 则sin 113A(0,1)B(00)22，11133AB(,1)EB(00)222，11364cosAB EB.4322，|5.(2016邵阳模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为 .【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),由题意,AD平面ABP,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD,又因为
7、CD平面PAD,所以AECD,又PDCD=D,所以AE平面CDP.所以 =(0,1,0),=（0，）分别是平面ABP,平面CDP的法向量,且=45,所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45.答案:45 ADADAEAE1212考向一 向量法求异面直线所成的角【典例1】(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边 长为2的菱形,DAB=60,对角线AC与BD交于点O,PO 平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60,E是PB的中点,则异面直线DE与PA所成角的余弦值是()A.0 B.C.D.241236(2)(2016青岛模拟)如图,在 四棱锥P-ABCD中,PA平面 ABCD,底面
8、ABCD是菱形,AB=2,BAD=60.求证：BD平面PAC.若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.【解题导引】(1)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,表示出空间中各个点的坐标,进而给出相关向量的坐标,然后利用向量夹角余弦值求解.(2)利用线面垂直的判定定理证明；建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【规范解答】(1)选B.以O为坐标原点,射线OB,OC,OP分 别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A,B,D,P的坐标分别是 A(0,-,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),
9、33313EPBE(0)2233DE(0)AP(033).22DEAP,322cos,4933344 是的中点，则，于是，设与的夹角为有所以异面直线DE与PA所成角的余弦值是 2.4(2)因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.因为PAAC=A,所以BD平面PAC.设ACBD=O.因为BAD=60,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=3.如图，以O为坐标原点，建立空间 直角坐标系，则 所以 设PB与AC所成角为，则cos P(03 2),，A(03 0)B 1,0,0 C(03 0),，PB(132)AC(0,2 3 0),，PB AC66|.4|P
10、B|AC|2 22 3|【规律方法】向量法求异面直线所成角的思路及关注 点(1)思路:选好基底或建立空间直角坐标系;求出两 直线的方向向量v1,v2;代入公式|cos|=求解.1212|v vvv(2)关注点：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.【变式训练】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC所成的角为()A.B.C.D.6432【解析】选C.不妨以ABC为底面,则由题意当以 A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面ABC 的距离最
11、大时,平面ADC平面ABC,取AC的中点O,连接 BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别以 所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令BO=DO=CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),OD OB OC,B(1,0,0),C(0,1,0),=(0,1,1),=(-1,1,0),所以cos=,所以异面直 线AD与BC所成的角为 .ADBCBCADAD BCAD BC122123【加固训练】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1 的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .【解析】以D为原点,DA,DC,D
12、D1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0,0),11111N(0,1,)M(0,0)A 1,0,12211DN(0,1,)MA(1,12211DN MA0 1 11022 ，所以，），所以（），所以 所以A1M与DN所成的角的大小是90.答案:90 1DNMA，2.(2016成都模拟)如图1,四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,ABCD是直角梯形,M为侧棱PD上一点.该四棱锥的俯视图和侧视图如图2所示.(1)证明：BC平面PBD.(2)证明：AM平面PBC.(3)线段CD上是否存在点N,使AM与BN所成角的余弦值 为?若存在,找到所有符合要求的点N,并求CN的长；若
13、不存在,说明理由.34【解析】(1)由俯视图可得,BD2+BC2=CD2,所以BCBD.又因为PD平面ABCD,所以BCPD.因为BDPD=D,所以BC平面PBD.(2)取PC上一点Q,使PQPC=14,连接MQ,BQ.由侧视图知PMPD=14,所以MQCD,MQ=CD.在BCD中,易得CDB=60,所以ADB=30.又BD=2,所以AB=1,AD=.314又因为ABCD,AB=CD,所以ABMQ,AB=MQ,所以四边形ABQM为平行四边形,所以AMBQ.因为AM平面PBC,BQ平面PBC,所以直线AM平面PBC.14(3)线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值 为 理由如下：因为PD
14、平面ABCD，DADC，以 所在直线 为x,y,z轴.建立空间直角坐标系Dxyz 所以D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3)34DA,DC,DP33设N(0,t,0)，其中0t4.所以 要使AM与BN所成角的余弦值为 则有 所以 AM(3,0,3)BN(3,t1,0)，34，|AM BN|34|AM|BN|，23342 33(t 1)，解得t=0或2，均适合0t4 故点N位于D点处，此时CN=4；或点N位于CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为 3.4考向二 向量法求直线与平面所成的角【典例2】(2015全国卷)如图,长方体ABCD
15、-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由).(2)求直线AF与平面 所成角的正弦值.【解题导引】(1)连接EF,利用线面平行的性质和正方形的特点画出正方形.(2)建立空间直角坐标系,利用平面的法向量和向量的夹角求解.【规范解答】(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是 =6,所以AH=10.以D为坐
16、标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图 所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),22MHEHEMDA =(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则 FEHEFE0,10 x0,6y8z0.HE0,即nn所以可取n=(0,4,3),又 =(-10,4,8),AF所以AF与平面EHGF所成的角的正弦值为 .|AF|4 5|cos,AF|.15|AF|nnn故=4 515【易错警示】解答本题有两点容易出错：(1)把线段AH的长度求错,导致后面运算结果不正确.(2)将直线的方向向量与平面的
17、法向量的夹角误认为直线与平面所成的角.【规律方法】向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式训练】(2014陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角 的正弦值.【解析】(1)因为BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=E
18、H,所以BCFG,BCEH,所以FGEH.同理EFAD,HGAD,所以EFHG,所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD平面BDC,所以ADBC,所以EFFG,所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因为EFAD,FGBC,所以n =0，n =0.DABCBADABCz0,1,1,0,2x2y0,BA2sin|cosBA,|52BA10.5 得取所以nnnn【加固训练】1.如图,三
19、棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明ABA1C.(2)若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解析】(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)由(1)知,OCAB,OA1AB,又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,的方向为 x轴的正
20、方向,|为单位 长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,OAOA由题设知A(1,0,0),A1(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0).33111111111BC1,0,3BBAA1,3,0A C(0,3,3).BB C Cx,y,zBC0 x3z0BB0 x3y0(3,1,1).A C10cos,A C.5A C 则，设平面的法向量为，,，则有即,，可取故nnnnnnn所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为 .1052.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:ACB1D.(2)求直线B1C1与平
21、面ACD1所 成角的正弦值.【解析】(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直,如图,以A为坐 标原点,AB,AD,AA1所在直线分别 为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐 标系,设AB=t,则相关各点的坐标 为：A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).121111B Dt,3,3,ACt,1,0,BDt,3,0,ACBD,AC BDt300,t3t3().B D3,3,3,AC3,1,0.AC B D3300,ACB D,ACB D.从而因为所以解得或舍去于是因为所以即(2)由(1)知,=(0,3,3),=(
22、,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,1ADAC11B C1AC03xy0,3y3z0.AD0,x1,1,3,3.，则即令则nnn3设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 111111B C321sin|cos,B C|.77B C nnn21.7考向三 二面角【考情快递】命题方向命题视角计算二面角的大小 重点考查向量法求二面角大小的方法已知二面角 的大小求值考查二面角大小的计算方法及方程思想的应用【考题例析】命题方向1:计算二面角的大小【典例3】(2014湖南高考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的
23、所有棱长都 相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O底面ABCD.(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.【解题导引】(1)要证明线面垂直可转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直.(2)建立空间直角坐标系,求出相关坐标及二面角的两个平面的法向量,结合向量夹角公式求解.【规范解答】(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1AC,DD1BD,又CC1DD1OO1,所以OO1AC,OO1BD,因为ACBD=O,所以O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为
24、菱形,ACBD,又O1O底面ABCD；所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设棱长为2,因为CBA=60,所以OB=,OC=1,所以O(0,0,0),B1(,0,2)C1(0,1,2),平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0),设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),则由m ,m ,所以 x+2z=0,y+2z=0,3331OB1OC由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角,所以二面角C1-OB1-D的余弦值为 .z3,x2,y2 3(2,2 3,3)2 32 57cos,.1919 取则，所以，所
25、以mm nm n|m|n|2 5719【母题变式】1.将本例第(2)问中条件“CBA=60”改为“CBA=90”,其他条件不变,求二面角C1-OB1-D的余弦值.【解析】由本例(2)建系条件知当CBA=90时,四边 形ABCD为正方形,不妨设AB=2,则OB=,OC=,所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,2).易知n1=(0,1,0)是平面OB1D的一个法向量,设n2=(x,y,z)是平面OB1C1的一个法向量,222221212111211OB02x2z0,OC02y2z0,z2,x2,y2,2,2,2,210COBD,cos|cos,|,51010COBD.5 ，则即，取则所
26、以设二面角为则故二面角的余弦值为nnnn n2.在本例条件下试在线段C1C上求一点M,使二面角 M-OB1-D的大小为60.【解析】在本例(2)建系条件下,O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2).易知n1=(0,1,0)是平面OB1D的一个法向量,设M(0,1,m)且n2=(x,y,z)是平面OB1M的一个法向量,322121222yzm0,OM03x2z0,OB02 32 3z1,x,ym,(,m,1),331m1cos,227m3777mm0,m,M(0,1,).933,则即,取则则由知所以即所以nnnn n即在线段CC1上存在一点M且CM=,使二面角M-OB1-D的大小为
27、60.73命题方向2:已知二面角的大小求值【典例4】(2014全国卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥 E-ACD的体积 3【解题导引】(1)连接底面的对角线,利用三角形的中位线找到线线平行,从而证得线面平行.(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别找到二面角D-AE-C的两个半平面的法向量,利用两向量的夹角公式,求得底面矩形的另一条边长,进而求得三棱锥的体积.【规范解答】(1)连接BD,设AC与BD的交点为G,则G为AC,BD的中点,连接EG.在三角
28、形PBD中,中位线EGPB,且EG在平面AEC内,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)设CD=m,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空 间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,0),C(m,0).333 1E(0,),223 1AD0,3,0,AE(0,22ACm,3,0.所以）设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1 =0,n1 =0,解得一个n1=(1,0,0).同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2),ADAE2212122212AC0,AE0,(3,m,3m).|313cos 60|cos,m.223m3m 则解得一个因为|=解得2nn
29、nn nn nnn设F为AD的中点,连接EF,则PAEF,且EF=EF平面ACD,所以EF为三棱锥E-ACD的高.AP21,2E ACDACD111313VSEF3.3322283EACD.8所以所以三棱锥的体积为【技法感悟】1.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.2.已知二面角大小求值的技巧 建立恰当的空间直角坐标
30、系,将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示,利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数,进而求解.【题组通关】1.(2015四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线MN平面BDH.(3)求二面角A-EG-M的余弦值.【解析】(1)由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,H在D的上方,如图(2)取BD中点O,连接MO,HO,则MOCD,且MO=CD,所以MOHN,且MO=HN,所以四边形MNHO为平行四边形,所以MNHO,因为HO平
31、面BHD,MN平面BHD,所以MN平面BHD.12(3)如图,以D为坐标原点,分别以 的方向为x 轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz.设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所以 =(2,-2,0),=(-1,0,2).DA,DC,DHGEMG设平面EGM的一个法向量为n1=(x,y,z),11GE0,2x2y0,x2z0,MG0,由得nn取x=2,得n1=(2,2,1).在正方体ABCD-EFGH中,DO平面AEGC,则可取平面AEG的一个法向量为n2=(1,1,0),DO1212122202 2cos,344 11 1 0 所以
32、 n nn nnn故二面角A-EG-M的余弦值为 2 2.32.(2015湖南高考)如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明：AB1PQ.(2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为 ,求四面体ADPQ的体积.37【解析】由题设知,AA1,AB,AD两两 垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所 在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立 如图所示的空间直角坐标系,则相 关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,
33、3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.1111191PDDP(0,329PQ(6,m3)AB3,0,62AB PQ18 180ABPQABPQ.若 是的中点，则,)，,又,于是,所以,即(2)由题设知,=(6,m-6,0),=(0,-3,6)是平面 PQD内的两个不共线向量.设n1=(x,y,z)是平面PQD的一个法向量,DQ1DD111DQ0,6xm6 y0,3y6z0,DD0,即nn取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以 此时Q(6,4,0).设 =(01),而 =(0,-3,6),由此得点P(0,6-3,6),所以 =(6,
34、3-2,-6).121222221233cos,6m636m453PQDA7而二面角的余弦值为，n nn nnn233m4m8()76m45因此，解得，或舍去，DP1DD1DDPQ因为PQ平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一个法向量为 n=(0,1,0),所以n =0,即3-2=0,亦即=,从而P(0,4,4).于是,将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥 P-ADQ,则其高h=4,故四面体ADPQ的体积 PQ23ADQ111VSh6 6 424.332 考向四 向量法计算空间距离【典例5】(1)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,
35、点P到直线CC1的距离的最小值为 .(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1是 A1C1和B1D1的交点.若点C到平面AB1D1的距离为 ,求正 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.43【解题导引】(1)可以选择两种途径：一是建立空间直角坐标系,利用向量法确定点P到直线CC1的距离的最小值；二是将点到直线的距离转化为线面之间的距离求解.(2)以A1为原点建立空间直角坐标系,设AA1=h,求出相关点,相关向量的坐标,代入点到平面的距离公式构建关于h的方程求解.【规范解答】(1)方法一:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D1(0,0,2),E(1,2,0),=(-1,
36、-2,2).设P(x,y,z),=,0,1,则 =(x-1,y-2,z).所以(x-1,y-2,z)=(-1,-2,2).解得x=1-,y=2-2,z=2.P(1-,2-2,2).1ED1EDEPEP设点P在直线CC1上的垂足为Q,得Q(0,2,2),222min14PQ(1)45(.5512 5PQ55 ）当时，答案:2 55方法二:取B1C1的中点E1,连接D1E1,E1E,则CC1平面D1EE1.所以点P到直线CC1的距离的最小值即为CC1与平面D1EE1的距离.过点C1作C1FD1E1于F,线段C1F的长即为所求.在直角C1D1E1中,C1F=答案:2 552 55(2)建立如图空间直
37、角坐标系,设AA1=h,有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h).=(1,0,-h),=(0,1,-h),=(1,1,0).设平面AB1D1的一个法向量为 n=(x,y,z),1AB1ADAC11111122AB,AB0,AD,AD0,xhz0z1h,h,1,yhz0.CAB D|AC|hh04d,h2.3hh1 因为所以所以取，得所以点 到平面的距离为则nnnnnnn【规律方法】1.空间中两点间的距离的求法 两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.2.求点P到平面 的距离的三个步骤(1)在平
38、面 内取一点A,确定向量 的坐标.(2)确定平面 的法向量n.(3)代入公式d=求解.|PA|nnPA【变式训练】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA1.(1)求证：CD=C1D.(2)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1交BA1于点O,连接OD,因为B1P平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P平面BA1D=OD,所以B1POD.又因为O为 B1A的中点,所以D为AP的中点.因为C1DAA1,所以C1为A1P的中点.所以DC1=AA1=CC1,
39、所以C1D=CD.1212(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,则C(0,1,1),D(0,1,),B1(1,0,0),P(0,2,0),12111111CD(0,0,),DB(1,1,),DP(0,1,).222B DPx,y,z.1xyz0,DB0,21DP0,yz0.2 所以设平面的一个法向量为由得nnn令z=2,则x=2,y=1,所以n=(2,1,2).所以点C到平面B1DP的距离|CD|1d.3nn【加固训练】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱 AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(0 1),则点G到平面D1EF的距离为()225A.3 B.C.D.235【解析】选D.如图所示，以射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则G(1，1)，1E(1,0)2，11F(1,1)GE(0)22 ，11EF0,1,0 ED(1,0)2，1D0,0,1，过点G向平面D1EF作垂线，垂足为H，由于点H在平面D1EF内，故存在实数x，y，使 由于GHEF，GHED1，所以 111GHGExEFyED(yxy)22 ，11(y,x,y)0,1,00,22111(y,x,y)(1,0,)0,222 解得 所以 即点G到平面D1EF的距离是 x12GH(0)155y5 ，故，5GH5，5.5
