1、第三章 函数 中考数学真题基础练考点15 平面直角坐标系 容易题 1.2021广西北部湾经济区平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是()A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)答案1.B 容易题 2.2021 海南如图,点A,B,C都在方格纸的格点上,若点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0),则点C的坐标是()A.(2,2)B.(1,2)C.(1,1)D.(2,1)答案2.D 图示速解 根据点A,B的坐标,可建立如图所示的平面直角坐标系,可知点C的坐标为(2,1),故选D.容易题 3.新情境座位选择2022 宜昌如图是一个教室平面示意图,我们把
2、小刚的座位“第1列第3排”记为(1,3).若小丽的座位为(3,2),以下四个座位中,与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是()A.(1,3)B.(3,4)C.(4,2)D.(2,4)答案3.C 容易题 4.2021 扬州在平面直角坐标系中,若点P(1-m,5-2m)在第二象限,则整数m的值为 .答案4.2 由题意得 1 0,解得1m”“=”“0,且y随x的增大而减小,故中y与x的函数关系可以用题图所示的图象表示;中,设绳子的长度为a,则y=x22=-x2+2x,故y与x之间的函数关系图象是抛物线的一部分.故选A.中档题 5.2020 武威通过课本上对函数的学习,我们积累了一定的经验.下
3、表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值,请你借鉴以往学习函数的经验,探究下列问题:(1)当x=时,y=1.5;(2)根据表中数值描点(x,y),并画出函数图象;(3)观察画出的图象,写出这个函数的一条性质:.答案5.【参考答案】(1)3(2)函数图象如图所示.(3)函数值y随x的增大而减小(答案不唯一)x012345y6321.51.21考点17 一次函数的图象与性质 容易题 1.2022株洲在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为()A.(0,-1)B.(-15,0)C.(15,0)D.(0,1)答案1.D 当x=0时,y=5x+1=1,故该一次函数图象与y轴
4、的交点坐标为(0,1).容易题 2.2021 长沙下列函数图象中,表示直线y=2x+1的是()答案2.B 由直线的解析式可知直线与y轴交于点(0,1),y随x的增大而增大,故选B.容易题 3.2022邵阳在直角坐标系中,已知点A(32,m),点B(72,n)是直线y=kx+b(k0)上的两点,则m,n的大小关系是()A.mnC.mnD.mn答案3.A 对于一次函数y=kx+b,k72,m0 B.b=2C.y随x的增大而增大 D.x=3时,y=0答案6.B 逐项分析如下.选项分析正误A观察一次函数图象发现,图象过第一、二、四象限,可知k0.中档题 7.2021 乐山如图,已知直线l1:y=-2x
5、+4与坐标轴分别交于A,B两点,那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的解析式为()A.y=12x B.y=xC.y=32xD.y=2x答案7.D 由y=-2x+4可得,点A(2,0),点B(0,4),AB的中点坐标为(1,2).直线l2过原点O且平分AOB的面积,直线l2过点(1,2).设直线l2的解析式为y=kx,把(1,2)代入,得k=2,直线l2的解析式为y=2x.【点拨】若点,的坐标分别为(,),(,),则的中点坐标为(+2,+2)中档题 8.2022安徽在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象可能是()答案8.D 由两个函数的解析式可知,当x=1时,
6、两个函数对应的y值都是a2+a,即直线y=ax+a2与y=a2x+a均过点(1,a2+a),故可排除选项A和选项C.若a0,则一次函数y=ax+a2与y=a2x+a均满足y随x的增大而增大;若akx+b的解集是()A.x2B.x2D.x3答案2.C 容易题 3.2022杭州已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数,k0)的图象的交点坐标是(1,2),则方程组 3=1,=0的解是 .答案3.=,=中档题 4.2021 福建如图,一次函数y=kx+b(k0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b0的解集是()A.x-2B.x-1C.x0D.x1答案4.C 将直线y=kx+b向右平移一
7、个单位长度,即可得到直线y=k(x-1)+b,该直线经过原点,故当k(x-1)+b0时,x0.中档题 5.2021 娄底如图,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(-4,0),点B(2,0),则 +0,+4 0解集为()A.-4x2B.x2D.x2答案5.A【关键】运用数形结合思想中档题 6.2022 北京在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k0)的图象过点(4,3),(-2,0),且与y轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A的坐标;(2)当x0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k0)的值,直接写出n的取值范围.答案6.【参考答案】(1)把(4
8、,3),(-2,0)分别代入y=kx+b,得 4+=3,2+=0,解得 =12,=1,思路导图(1)将点(4,3),(-2,0)代入y=kx+b中 得到函数解析式 当=0时 y 点A的坐标(2)当x0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k0)的值当x0时,函数y=x+n的图象在函数y=kx+b(k0)的图象的上方 n1中档题 答案该函数的解析式为y=12x+1.对于y=12x+1,当x=0时,y=1,A(0,1).(2)n1.解法提示:函数y=12x+1的图象如图所示,易知当直线y=x+n与y轴的交点与点A重合或在点A上方时符合题意,故n1.考点19 一次函数的实际应
9、用 容易题 1.2021 安徽某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为()A.23 cmB.24 cmC.25 cmD.26 cm答案1.B 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(22,16),(44,27)分别代入,得 22+=16,44+=27,解得 =12,=5,所以y=12x+5,所以当x=38时,y=1238+5=19+5=24,所以38码鞋子的长度为24 cm.故选B.容易题 2.2021 南通下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.若温度的变化是均匀的,则14 min时的温
10、度是 .答案2.52 时间/min0510152025温度/102540557085容易题 3.2021 宜昌甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动,苹果的标价为10元/kg,如果一次购买4 kg以上的苹果,超过4 kg的部分按标价的6折售卖.x(单位:kg)表示购买苹果的质量,y(单位:元)表示付款金额.(1)文文购买3 kg苹果需付款 元;购买5 kg苹果需付款 元.(2)求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式.(3)当天,隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果的标价也为10元/kg,且全部按标价的8折出售.文文如果要购买10 kg 苹果,请问她在哪个超市购买更划算.容易题
11、 答案3.【参考答案】(1)30 46(2)当0 x4时,y=10 x,当x4时,y=410+(x-4)6=6x+16.综上,y=10,(0 4)6+16.(4)(3)当x=10时,y甲=610+16=76,y乙=101080%=80.760.2时,s与t之间的函数表达式;(2)何时乙骑行在甲的前面?答案4.【参考答案】(1)s=15(0 0.2),201(0.2).解法提示:当0t0.2时,设s=kt,将(0.2,3)代入,得0.2k=3,k=15,s=15t(0t0.2);当t0.2时,设s=at+b,将(0.2,3),(0.5,9)分别代入,得 0.2+=3,0.5+=9,解得 =20,
12、=1,s=20t-1(t0.2).容易题 答案综上,s=15(0 0.2),201(0.2).(2)由(1)可知,当0t0.2时,乙骑行的速度为15 km/h,而甲骑行的速度为18 km/h,则甲骑行在乙的前面.当t0.2时,乙骑行的速度为20 km/h,甲骑行的速度仍为18 km/h.设m h后,乙骑行在甲的前面,则20m-118m,解得m0.5.答:0.5 h后乙骑行在甲的前面.中档题 5.2022苏州一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3分钟时,再打开出水管排水,8分钟时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关
13、系如图所示,则图中a的值为 .答案5.观察题图可知,3分钟时,注水30升,故每分钟注水10升,8分钟时,水量为20升,减少10升,故每分钟水减少10(8-3)=2(升),故每分钟排水12升,排完20升水所需时间为2012=53(分),故a=8+53=293.中档题 6.2022吉林李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快,在一段时间内,水温y()与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如图所示.(1)加热前水温是 .(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.(3)当甲壶中水温刚达到80 时,乙壶中水温是 .答案6.【参考
14、答案】(1)20(2)由甲壶比乙壶加热速度快,可知乙壶中水温y关于加热时间x的函数图象经过点(0,20),(160,80).设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b,将(0,20),(160,80)分别代入,得 =20,160+=80,解得 =38,=20,故乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=38x+20.中档题 答案(3)65解法提示:由甲壶中水温y关于加热时间x的函数图象经过点(0,20),(80,60),易求得甲壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=12x+20.令12x+20=80,解得x=120,将x=120代入y=38x+20中,得y=38120+20=
15、65.故当甲壶中水温刚达到80 时,乙壶中水温是65.中档题 7.2021 河南猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色,猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款猕猴玩偶,决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表:(1)第一次小李用1 100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶分别购进多少个.(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玩偶全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?(注:
16、利润率=利润成本100%)中档题 答案7.【参考答案】(1)设A款玩偶购进x个,B款玩偶购进y个.根据题意,得 +=30,40+30=1 100,解得 =20,=10.答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个.(2)设A款玩偶购进a个,则B款玩偶购进(30-a)个,根据题意,得a12(30-a),解得a10.设利润为w元,则w=(56-40)a+(45-30)(30-a)=a+450.10,w随a的增大而增大,当a=10时,w有最大值,w最大=10+450=460.中档题 答案30-a=30-10=20.答:应购进A款玩偶10个,B款玩偶20个才能获得最大利润,最大利润为460元.(3)第一
17、次销售利润为(56-40)20+(45-30)10=470(元),利润率为 4701 100100%43%.第二次销售利润率为4601040+2030100%=46%,43%0,其图象位于第一、三象限,不可能与坐标轴相交,在每个象限内,y随x的增大而减小,故选项A,C中的描述正确,选项D中的描述错误.当x=4时,y=32,该反比例函数的图象过点(4,32).故选D.容易题 2.2022福建已知反比例函数y=的图象分别位于第二、四象限,则实数k的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数)答案2.-1(答案不唯一,负数即可)容易题 3.2022北京在平面直角坐标系xOy中,若点A(2,y1),B(
18、5,y2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则y1 y2(填“”“=”或“k0,反比例函数y=的图象位于第一、三象限,且在同一象限内,y随x的增大而减小.又520,y1y2.容易题 4.2021 沈阳如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A是反比例函数y=(k0)图象上的一点,过点A分别作AMx轴于点M,ANy轴于点N.若四边形AMON的面积为12,则k的值是 .答案4.-12 四边形AMON的面积为12,|k|=12,k=12.反比例函数的图象在第二、四象限,k0).由题意可知,AB=1 2,AB边上的高为t,SABC=12(1 2)t=12(k1-k2).中档题 7.2021 丹东如图,
19、点A在双曲线y1=2(x0)上,点B在双曲线y2=(x0).(2)把y=3代入y=12,得x=4,小孔到蜡烛的距离为4 cm.中档题 3.2021 乐山通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化.上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示,当0 x10和10 x20时,图象是线段;当20 x45时,图象是反比例函数的一部分.(1)求点A对应的指标值.(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36?
20、请说明理由.中档题 答案3.【参考答案】(1)设当20 x45时,反比例函数的表达式为y=,将点C(20,45)代入,得45=20,解得k=900,反比例函数的表达式为y=900(20 x45).当x=45时,y=90045=20,点D(45,20),点A(0,20),即点A对应的指标值为20.(2)设当0 x10时,线段AB所在直线的表达式为y=mx+n,将点A(0,20),点B(10,45)代入,得 20=,45=10+,解得 =52,=20,线段AB所在直线的表达式为y=52x+20(0 x17,张老师能经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36.考点22 反比
21、例函数与一次函数综合 容易题 1.2021 济南反比例函数y=(k0)图象的两个分支分别位于第一、三象限,则一次函数y=kx-k的图象大致是()答案1.D 反比例函数y=(k0)图象的两个分支分别位于第一、三象限,k0,-k0)的图象经过点B,求k的值.答案3.【参考答案】把y=0代入y=-3x+k,得x=3.C(3,0).BCx轴,点B的横坐标为3.把x=3代入y=,得y=3.B(3,3).点D为AB的中点,AD=BD,D(6,3).点D(6,3)在直线y=-3x+k上,3=-36+k.k=6.中档题 4.2021 荆州已知:如图,直线y1=kx+1与双曲线y2=2在第一象限交于点P(1,t
22、),与x轴、y轴分别交于点A,B,则下列结论错 误 的是()A.t=2B.AOB是等腰直角三角形C.k=1D.当x1时,y2y1答案4.D 对于y2=2,令x=1,则y2=2,即t=2.将(1,2)代入y1=kx+1,得k=1.对于y1=x+1,令x=0,则y1=1,令y1=0,则x=-1,OA=OB=1.又AOB=90,AOB是等腰直角三角形.观察题图可知,当x1时,直线y1=kx+1在双曲线y2=2上方,即y1y2.中档题 5.2022 无锡一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y=的图象交于点A,B,其中点A,B的坐标为A(-1,-2m),B(m,1),则OAB的面积为()A.3 B.1
23、34C.72D.154答案5.D 点A(-1,-2m)在反比例函数y=的图象上,-1(-2m)=m,m=2,A(-12,-4),B(2,1).把(2,1)代入y=2x+n中,得n=-3,一次函数的表达式为y=2x-3.画出草图如图所示,设一次函数的图象与y轴交于点C,则C(0,-3),OC=3,SAOB=SBOC+SAOC=1232+12312=154.中档题 6.2022江西如图,点A(m,4)在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在y轴上,OB=2,将线段AB向右下方平移,得到线段CD,此时点C落在反比例函数的图象上,点D落在x轴正半轴上,且OD=1.(1)点B的坐标为 ,点D的坐标为 ,
24、点C的坐标为 (用含m的式子表示).(2)求k的值和直线AC的表达式.中档题 答案6.【参考答案】(1)(0,2)(1,0)(m+1,2)(2)点A(m,4)和点C(m+1,2)均在反比例函数y=(x0)的图象上,4m=2(m+1),解得m=1,A(1,4),C(2,2),k=4.设直线AC的表达式为y=ax+b,则 +=4,2+=2,解得 =2,=6,直线AC的表达式为y=-2x+6.考点23 二次函数的图象与性质 容易题 1.2021 徐州在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为()A.y=(x-2)2+1B.y
25、=(x+2)2+1C.y=(x+2)2-1D.y=(x-2)2-1答案1.B 容易题 2.课标新增2022成都如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是()A.a0B.当x-1时,y的值随x值的增大而增大C.点B的坐标为(4,0)D.4a+2b+c0答案2.D 抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,a0,当x0,则4a+2b+c0,故选项D中的说法正确.故选D.容易题 3.2022株洲已知二次函数y=ax2+bx-c(a0),其中b0,c0,则该函数的图象可能为()答案3.C 该二次函数图象的对称轴为直线x=-2.b0,c0,
26、当a0时,抛物线开口向上,-20,-c0,对称轴位于y轴的左侧,抛物线与y轴的交点位于原点下方;当a0,对称轴位于y轴的右侧,-c0,即1+4m0,m-14,m的取值范围为m-14.(2)二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线x=-12,抛物线与x轴的两个交点关于直线x=-12对称.由题图可知,抛物线与x轴的一个交点为(1,0),另一个交点为(-2,0),一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1,x2=-2.【关键】根据抛物线的对称性中档题 7.2021 山西抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标
27、系中的函数表达式为()A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-1答案7.C【注意】本题平移的是坐标轴中档题 8.2021 益阳已知y是x的二次函数,下表给出了y与x的几对对应值:由此判断,表中a=.答案8.6 由题表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3),对称轴为直线x=0+22=1,x=-1时的函数值等于x=3时的函数值,即a=6.x-2-101234y11a323611中档题 9.2021 淄博对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是 .答案9.b-由题意得,0,即(2a)2-4(a+
28、b)0,整理得ba2-a.a2-a=(a-12)2-14,a2-a的最小值为-14,b-14.中档题 10.2022武汉已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且1m0;若m=32,则3a+2c0;若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x11,则y1y2;当a-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.其中正确的是 (填写序号).答案10.对称轴为直线x=1+20,对称轴在y轴右侧,-20.抛物线开口向下,a0,故结论正确.当m=32时,对称轴为直线x=1+322=14,-2=14,b=-2.易知当
29、x=-1时,y=a-b+c=0,a+2+c=0,3a+2c=0,故结论错误.由题意得,0-20.5.点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x11,点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离.又抛物线开口向下,y1y2,故结论正确.由抛物线过A(-1,0),B(m,0)两点,可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-m),令a(x+1)(x-m)=1,整理,得ax2+a(1-m)x-am-1=0,=a(1-m)2-4a(-am-1)=a2(m+1)2+4,1m0,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根,故结论正确.综上所述,结论正确.中档题 11.新角度逆向平移2
30、022河北如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P,C.平移该胶片,使C所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P移动的最短路程.答案11.思路导图 中档题 答案【参考答案】(1)y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,C的对称轴为直线x=6,y的最大值是4.把x=a,y=3代入y=4-(6-x)2,得3=4-(6-a)2,解得a1=5,a2=7.又a6,a=7.(2)y=-x2+6x-9=-(x-3)2,抛物线y=-x2+6x
31、-9的顶点为N(3,0).如图,过C的顶点M(6,4)作MAx轴于点A.连接MN,PP.由平移可知,PP=MN,点P移动的最短路程是PP=32+42=5.中档题 12.2021 安徽已知抛物线y=ax2-2x+1(a0)的对称轴为直线x=1.(1)求a的值;(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线上,且-1x10,1x20)与抛物线y=ax2-2x+1交于点A,B,与抛物线y=3(x-1)2交于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.中档题 答案12.【参考答案】(1)由题意知-22=1,所以a=1.(2)y1y2.理由如下:因为-1x10,所以1y14.因为1x22,所以0
32、y2y2.(3)由x2-2x+1=m,得(x-1)2=m,解得x1=1-,x2=1+,所以线段AB的长度为x2-x1=(1+)-(1-)=2.由3(x-1)2=m,得(x-1)2=3,解得x3=1-33,x4=1+33,所以线段CD的长度为x4-x3=(1+33)-(1-33)=2 33,故线段AB与线段CD的长度之比为 2 m2 3m3=3.【技巧】平行于轴的线段长=两端点横坐标之差的绝对值考点24 二次函数的实际应用 容易题 1.2021 襄阳从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足
33、函数关系式y=-2x2+4x+1,则喷出水珠的最大高度是 m.答案1.3 y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3,当x=1时,y有最大值,为3,喷出水珠的最大高度是3 m.容易题 2.2020 贺州某学生在一平地上推铅球,铅球出手时离地面的高度为53米,出手后铅球在空中运动的高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为y=-112x2+bx+c,当铅球运行至与出手高度相等时,与出手点水平距离为8米,则该学生推铅球的成绩为 米.答案2.10 设铅球出手点为点A,铅球运行至与出手高度相等的位置为点B,根据题意建立平面直角坐标系,如图.由题意可知,点A(0,53),点B(8,53),代入y
34、=-112x2+bx+c,得 53=,53=112 82+8+,解得 =23,=53,y=-112x2+23x+53.当y=0时,-112x2+23x+53=0,解得x1=10,x2=-2(不符合题意,舍去),该学生推铅球的成绩为10米.容易题 3.2021 深圳某科技公司销售高新科技产品,该产品成本为8万元,销售单价x(万元)与销售量y(件)的关系如表所示:(1)求y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少时,有最大利润,最大利润为多少?答案3.【参考答案】(1)由表格中数据可知,y与x之间的函数关系为一次函数关系,设y=kx+b(k0),分别将(10,40),(12,30)代入,得 10+
35、=40,12+=30,解得 =5,=90,y与x的函数关系式为y=-5x+90.(2)设该产品的销售利润为w万元,由题意得w=y(x-8)=(-5x+90)(x-8)=-5x2+130 x-720=-5(x-13)2+125.-50,当x=13时,w最大,最大值为125.答:当销售单价为13万元时,有最大利润,最大利润为125万元.x/万元10121416y/件40302010中档题 4.2021 北京如图,用绳子围成周长为10 m的矩形.记矩形的一边长为x m,它的邻边长为y m,矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是()
36、A.一次函数关系,二次函数关系B.反比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,反比例函数关系D.反比例函数关系,一次函数关系答案4.A 由题意可知y=5-x,S=xy=x(5-x)=-x2+5x,故y与x满足一次函数关系,S与x满足二次函数关系.中档题 5.2022广西北部湾经济区打油茶是广西少数民族特有的一种民俗.某特产公司近期销售一种盒装油茶,每盒的成本价为50元,经市场调研发现,该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示.(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润.中档题 答案5.
37、【参考答案】(1)设y关于x的解析式为y=kx+b,把(60,200),(80,100)分别代入,得 60+=200,80+=100,解得 =5,=500,y=-5x+500.当y=0时,-5x+500=0,解得x=100,结合题图,可知自变量x的取值范围是50 x100.(2)设月销售利润为w元,根据题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5(x-75)2+3 125.-50,当x=75时,w取最大值,为3 125.答:当销售单价定为75元时,该种油茶的月销售利润最大,最大利润是3 125元.中档题 6.2022河南小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水
38、头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.(1)求抛物线的表达式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.中档题 答案6.【参考答案】(1)由题意知,点(5,3.2)是抛物线y=a(x-h)2+k的顶点,y=a(x-5)2+3.2.又抛物线经过点(0,0.7),0.7=a(0-5)2+3.2,解得a=-0.1,抛
39、物线的表达式为y=-0.1(x-5)2+3.2(或y=-0.1x2+x+0.7).(2)当y=1.6时,1.6=-0.1(x-5)2+3.2,解得x1=1,x2=9,3-1=2,9-3=6.答:小红与爸爸的水平距离为2 m或6 m.中档题 7.新角度热点素材建模题2022北京单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水
40、平距离x与竖直高度y的几组数据如下:根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a”“=”或“”).答案7.【参考答案】(1)该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.由表格中的数据可知该抛物线的顶点坐标为(8,23.20),故该抛物线的解析式为y=a(x-8)2+23.20,将(0,20.00)代入,得a(0-8)2+23.20=20.00,解得a=-0.05,y=-0.05(x-8)2+23.20.(2)解法提示:第一次训练时,y=-0.05(x-8)2+23.20;第二次训练时,y=-0.04(x-9)2+23.24.故第二次飞行路线对应的
41、抛物线开口更大,顶点更高,对称轴距y轴更远,由此可知d1y2时,请直接写出x的取值范围.容易题 答案5.【参考答案】(1)将点P(-4,-1)代入y2=中,得k=-4(-1)=4,双曲线y2的函数关系式为y2=4.将点C(2,m)代入y2=4中,得m=42=2.(2)四边形ABCD是菱形,点A(2,0),点C(2,2),点B(4,1).由(1)知双曲线的函数关系式为y2=4,41=4,点B在双曲线上.(3)(数形结合思想)由图象知,当y1y2时,x的取值范围为-4x2.中档题 6.2021 牡丹江如图,矩形OABC的面积为36,它的对角线OB与双曲线y=相交于点D,且ODOB=23,则k的值为
42、()A.12B.-12C.16D.-16答案6.D 如图,连接CD,过点D作DECO于点E.矩形OABC的面积为36,SBCO=18.ODOB=23,易得SCDO=1823=12.DECO,BCCO,DEBC,=23,SDEO=1223=8.双曲线y=过点D,|2=8,k=16.又双曲线y=在第二象限,k0,k=-16.中档题 一题多解 过点D作DECO于点E,矩形OABC的面积为36,SBCO=18.由题意易得,DEBC,=()2=49,SDEO=1849=8.双曲线y=过点D,|2=8,k=16.又双曲线y=在第二象限,k0)的图象与边MN,OM分别交于点A,B(点B不与点M重合).若AB
43、OM于点B,则k的值为 .答案10.9 如图,过点B作BCx轴于点C,过点A作ADx轴于点D.OMN是边长为10的等边三角形,OM=ON=MN=10,MON=M=MNO=60.设OC=b(0b0)的图象上,k=(15-2b)(2 3b-5 3)=b 3b,解得b1=3,b2=5(不合题意,舍去),b=3,k=b 3b=9 3.中档题 11.2021 连云港节选如图,抛物线y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知B(3,0).(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式;(2)P为抛物线上一点,若SPBC=SABC,请直接写出点P的坐标.答案11.【参考答案】
44、(1)将B(3,0)代入y=mx2+(m2+3)x-(6m+9),化简得m2+m=0,解得m=0(舍去)或m=-1,m=-1,y=-x2+4x-3,则C(0,-3).设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,-3)分别代入,可得 0=3+,3=,解得 =1,=3,直线BC对应的函数表达式为y=x-3.(2)点P的坐标为(2,1),(3+172,7+172)或(3 172,7 172).中档题 图示速解(2)解法提示:令-x2+4x-3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0).如图,过点A作l1BC交抛物线于点P1,交y轴于点M,则点P1即为符合题意的点P.设直线l1的
45、表达式为y=x+a,将A(1,0)代入,得1+a=0,解得a=-1,直线l1的表达式为y=x-1,M(0,-1).令-x2+4x-3=x-1,解得x1=1,x2=2,点P1的坐标为(2,1).作直线l1关于直线BC对称的直线l2,直线l2交抛物线于点P2,P3,交y轴于点N,则P2,P3均是符合题意的点P.易知l1l2,CN=CM=2,N(0,-5).易得直线l2的表达式为y=x-5.令-x2+4x-3=x-5,中档题 图示速解 解得x1=3+172,x2=3 172,P2(3+172,7+172),P3(3 172,7 172).综上可知,点P的坐标为(2,1),(3+172,7+172)或
46、(3 172,7 172).专项强化4 动点问题中的函数图象 考点一 函数图象的判断 1.2021 益阳如图,已知ABCD的面积为4,点P在AB边上从左向右运动(不含端点),设APD的面积为x,BPC的面积为y,则y关于x的函数图象大致是()答案1.B 考点一 函数图象的判断 2.2021 通辽如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P,Q同时从点A出发,点P沿ABC的路径运动,点Q沿ADC的路径运动,点P,Q的运动速度相同,当点P到达点C时,点Q也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是()答案2.C 当0 x3时,AQ=AP=x,y=PQ
47、2=2x2;当3x4时,DQ=x-3,AP=x,y=PQ2=32+32=18;当4x7时,CP=7-x,CQ=7-x,y=PQ2=CP2+CQ2=2(7-x)2.故选C.考点二 分析函数图象解决几何问题 3.2021 菏泽如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCD在第一象限,且BCx轴,直线y=2x+1沿x轴正方向平移,在平移过程中,直线被矩形ABCD截得的线段长为a,直线在x轴上平移的距离为b,a,b间的函数关系图象如图(2)所示,那么矩形ABCD的面积为()A.5B.2 5C.8D.10答案3.C(数形结合思想)如图,过点B,D分别作y=2x+1的平行线,交AD,BC于点E,F.由图象和
48、题意可得AE=4-3=1,CF=8-7=1,BE=DF=5,BF=DE=7-4=3,则AB=22=51=2,BC=BF+CF=3+1=4,矩形ABCD的面积为ABBC=24=8.考点二 分析函数图象解决几何问题 4.2021 河南如图(1),矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图(2)是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC的长为()A.4B.5C.6D.7答案4.C 由题图可知,当点P与点B重合,即x=0时,y=PA-PE=BA-BE=1.连接AE,当点P由点B向点C运动时,PA-PEAE.当点P与点E重合时,y的值最大,最
49、大值为5,即此时AP=5,AB2+BE2=25.由,可求得AB=4,BE=3,BC=6.故选C.考点二 分析函数图象解决几何问题 5.2022黄冈如图(1),在ABC中,B=36,动点P从点A出发,沿折线ABC匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1 cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图(2)所示.当AP恰好平分BAC时t的值为 .答案5.2+2 由题图(2)可得AB=BC=4 cm.B=36,AB=BC,BAC=C=72.当AP平分BAC时,BAP=PAC=36=B,AP=BP,APC=72=C,AP=AC=BP.PAC=B,C=C,APCBAC
50、,=,即=,BP2=ABPC=4(4-BP),BP=(2 5-2)cm,t=4+2 521=(2 5+2)(s).专项强化5 点的坐标规律探究 考点一 直角坐标系中点的坐标规律探究 1.2019 菏泽在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到的指令是:从原点O出发,按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其移动路线如图所示,第一次移动到点A1,第二次移动到点A2,第n次移动到点An,则点A2 019的坐标是()A.(1 010,0)B.(1 010,1)C.(1 009,0)D.(1 009,1)答案1.C 由题意知A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,
51、0),A5(2,1),A6(3,1),因为2 0194=5043,所以A2 019的坐标为(5042+1,0),则A2 019的坐标是(1 009,0).考点一 直角坐标系中点的坐标规律探究 2.2022河南如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,ABx轴,交y轴于点P.将OAP绕点O顺时针旋转,每次旋转90,则第2 022次旋转结束时,点A的坐标为()A.(3,-1)B.(-1,-3)C.(-3,-1)D.(1,3)答案2.B 易知OPAB,AOP=30,OA=2,AP=1,OP=3,A(1,3).每次旋转的角度为90,4次旋转为一个循环.2 0224=5
52、052,旋转2 022次后的位置与旋转180后的位置相同,故第2 022次旋转结束时,点A的坐标为(-1,-3),故选B.考点一 直角坐标系中点的坐标规律探究 高分锦囊 点的坐标的规律探索题的求解策略点的坐标的规律探索题中,点的坐标的变化形式一般分两种:点的坐标在同一象限内递推变化;点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类题的步骤如下:(1)根据点的坐标的变化特点判断属于哪种变化形式.(2)根据题意求出前几个点的坐标,归纳出后一个点的坐标与前一个点(或前几个点)的坐标之间存在的关系.(3)两种变化形式下求第M个点的坐标的方法:第种变化形式:根据(2)中得到的关系,得到第M个点的坐标;第
53、种变化形式:先确定多少次变换是一个循环,记次数为n,若Mn=pq(0q0)的图象上,点B1,B2,B3,Bn在y轴上,且B1OA1=B2B1A2=B3B2A3=,直线y=x与双曲线y=1交于点A1,B1A1OA1,B2A2B1A2,B3A3B2A3,则Bn(n为正整数)的坐标是()A.(2,0)B.(0,2+1)C.(0,2(+1)D.(0,2)答案6.D 由题意,OA1B1,B1A2B2,B2A3B3,都是等腰直角三角形.A1(1,1),OB1=2.设A2(m,2+m),则有m(2+m)=1,解得m=2-1(负值已舍去),OB2=OB1+2m=2 2.设A3(a,2 2+a),则有a(2 2
54、+a)=1,解得a=3 2(负值已舍去),OB3=OB2+2a=2 3.同理可得,OBn=2,Bn(0,2).考点二 函数中点的坐标规律探究 7.2021 梧州如图,直线l的函数表达式为y=x-1,在直线l上顺次取点A1(2,1),A2(3,2),A3(4,3),A4(5,4),An(n+1,n),构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1,S2,S3,Sn,则S2 021=.答案7.4 044 由题意得,S1=32-21=4=2(1+1),S2=43-32=6=2(2+1),S3=54-43=8=2(3+1),S4=65-54=10=2(4+1),Sn=2(n+1),S2 021=2(2
55、 021+1)=4 044.考点二 函数中点的坐标规律探究 8.2021 毕节如图,在平面直角坐标系中,点N1(1,1)在直线l:y=x上,过点N1作N1M1l,交x轴于点M1;过点M1作M1N2x轴,交直线l于N2;过点N2作N2M2l,交x轴于点M2;过点M2作M2N3x轴,交直线l于点N3;,按此作法进行下去,则点M2 021的坐标为 .答案8.(22 021,0)如图,过点N1作N1Ex轴于点E,过点N1作N1Fy轴于点F.N1(1,1),N1E=N1F=1,N1OM1=45,N1M1O=45,N1OM1是等腰直角三角形,OM1=2,即M1(2,0).同理,N2OM2是等腰直角三角形,
56、OM2=2OM1=4,M2(4,0).同理,OM3=2OM2=22OM1=23,M3(23,0),OM4=2OM3=24,M4(24,0),依此类推,M2 021(22 021,0).考点二 函数中点的坐标规律探究 9.2020 资阳如图,一次函数y=2x+2的图象为直线l,菱形AOBA1,A1O1B1A2,A2O2B2A3,按图中所示的方式放置,顶点A,A1,A2,A3,均在直线l上,顶点O,O1,O2,均在x轴上,则点Bn的坐标是 .答案9.(32n-1-1,2n)记直线l与x轴交于点M,一次函数y=2x+2,M(-1,0),A1(0,2).连接AB,四边形AOBA1是菱形,A1O1与A1
57、M关于y轴对称,OA1与AB互相垂直平分,O1(1,0),ABx轴,且AB是MA1O1的中位线,B(12,1).同理,连接A1B1,O1A2,O1A2与A1B1互相垂直平分,把x=1代入y=2x+2,得y=4,A2(1,4),B1(2,2).连接O2A3,A2B2,O2A3与A2B2互相垂直平分,O2A3=2O1A2=8,把y=8代入y=2x+2,得x=3,A3(3,8),B2(5,4)以此类推,Bn的横坐标是32n-1-1,纵坐标是2n,Bn的坐标是(32n-1-1,2n).考点二 函数中点的坐标规律探究 10.2021 齐齐哈尔如图,抛物线的解析式为y=x2,点A1的坐标为(1,1),连接
58、OA1;过A1作A1B1OA1,分别交y轴、抛物线于点P1,B1;过B1作B1A2A1B1,分别交y轴、抛物线于点P2,A2;过A2作A2B2B1A2,分别交y轴、抛物线于点P3,B2;按照如此规律进行下去,则点Pn(n为正整数)的坐标是 .答案10.(0,n2+n)点A1(1,1),OA1=2,A1OP1=45.A1B1OA1,A1OP1是等腰直角三角形,A1P1O=B1P1P2=45,OP1=2,P1(0,2).B1A2A1B1,B1P1P2是等腰直角三角形,设P1P2=2a(a0),则点B1(-a,2+a),把点B1(-a,2+a)代入y=x2,得a2=2+a,解得a=2或a=-1(舍去
59、),P1P2=4,P2(0,6).同理可推出P2P3=6,P3(0,12).由P1(0,2),P2(0,6),P3(0,12)可推出点Pn(0,n2+n).专项强化6 (新)函数图象与性质 1.2021 荆州小爱同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如下的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:(1)观察探究:写出该函数的一条性质:;方程-(|x|-1)2=-1的解为;若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是 .(2)延伸思考:将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图
60、象?写出平移过程,并直 接 写 出 当2y13时,自变量x的取值范围.答案1.【参考答案】(1)图象关于y轴对称;当x=-1或x=1时,y取最大值,最大值为0;当x-1或0 x1或-1x0时,y随x的增大而减小等.(写出一条即可)x1=-2,x2=0,x3=2-1a0(2)将函数y的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度(或先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度)得到函数y1的图象.当2y13时,自变量x的取值范围为0 x422+1的解集.(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)x-5-4-3-2-1012345y=422+1-2126-1217-1203240答案2.【参
61、考答案】(1)从左到右,依次填32,-12,-1217,-2126.补全的函数图象如图所示.(2)该函数图象是轴对称图形,对称轴是y轴;该函数在自变量的取值范围内,有最大值,当x=0时,函数取得最大值4;当x0时,y随x的增大而减小.(以上三条性质写出一条即可)(3)x-0.3或1x2.(注:当不等式解集的端点值为近似值时,误差在0.2范围内,均正确)3.2021 自贡函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.请结合已有的学习经验,画出函数y=-82+4的图象,并探究其性质.列表如下:(1)直接写出表中a,b
62、的值,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.x-4-3-2-101234y852413a850b-2-2413-85(2)观察函数y=-82+4的图象,判断下列关于该函数性质的命题:当-2x2时,函数图象关于直线y=x对称;x=2时,函数有最小值,最小值为-2;-1xx的解集:.答案3.【参考答案】(1)a=2,b=-85.画出函数图象如图所示.(2)(3)x-2或0 xx两边同时乘-1,得-82+4-x,故不等式的解集即为直线y=-x在函数y=-82+4的图象上方的部分对应的x的取值范围,所以不等式的解集为x-2或0 x2.4.2022荆州小华同学学习函数知识后,对函数y=42(1
63、 0)通过列表、描点、连线,画出了如图(1)所示的图象.请根据图象解答:(1)【观察发现】写出函数的两条性质:;若函数图象上的两点(x1,y1),(x2,y2)满足x1+x2=0,则y1+y2=0一定成立吗?.(填“一定”或“不一定”)x-4-3-2-1-34-12-1401234y14324941140-4-2-43-1(2)【延伸探究】如图(2),将过A(-1,4),B(4,-1)两点的直线向下平移n个单位长度后,得到的直线l与函数y=-4(x-1)的图象交于点P,连接PA,PB.求当n=3时,直线l的解析式和PAB的面积;直接用含n的代数式表示PAB的面积.答案4.【参考答案】答案不唯一
64、,正确即可,如:函数的最大值为4;当x0时,y随x的增大而增大.不一定(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,则 +=4,4+=1,解得 =1,=3,故直线AB的解析式为y=-x+3.当n=3时,直线l的解析式为y=-x+3-3=-x.设直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB,如图(1),则C(0,3).ABl,SPAB=SAOB=12OC(xB-xA)=123(4+1)=152.答案SPAB=52n.解法提示:设直线l与y轴交于点D,连接AD,BD,如图(2),则CD=n.lAB,SPAB=SABD=12CD(xB-xA)=12n(4+1)=52n.专项强化7 利用二次函数性质求最值 考点一
65、 面积最值问题 1.2022 广东如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQBC交AC于点Q.(1)求该抛物线的解析式;(2)求CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.答案1.【参考答案】(1)抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,B(-3,0),1+=0,93+=0,解得 =2,=3,抛物线的解析式为y=x2+2x-3.考点一 面积最值问题 答案(2)如图,过点Q作QEx轴于点E,过点C作CFx轴于点F,设P(m,0)(-3m1),则PA=1-m.y=
66、x2+2x-3=(x+1)2-4,C(-1,-4),CF=4.PQBC,PQABCA,=,即4=14,QE=1-m,SCPQ=SPCA-SPQA=12PACF-12PAQE=12(1-m)4-12(1-m)(1-m)=-12(m+1)2+2.-120,且-3m1,当m=-1时,SCPQ有最大值,为2,此时P点坐标为(-1,0).考点一 面积最值问题 2.2021 广安节选如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A,B,C三点,其中A点坐标为(3,0),B点坐标为(-1,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒 2个单位长度向点C做匀速运动;同
67、时,动点Q从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求b,c的值.(2)在P,Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?答案2.【参考答案】(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(-1,0),则 0=9+3+,0=1+,解得 =2,=3.(2)由(1)得,抛物线表达式为y=-x2+2x+3,C(0,3),A(3,0),OAC是等腰直角三角形,BAC=45.由点P的运动可知AP=2t,【提示】等腰直角三角形的性质考点一 面积最值问题 答案如图,过点P作
68、PHx轴,垂足为点H.AH=PH=2t2=t,即H(3-t,0).又Q(-1+t,0),S四边形BCPQ=SABC-SAPQ=1243-123-(-1+t)t=12t2-2t+6=12(t-2)2+4.当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,AC=32+32=3 2,AB=4,0t3,当t=2时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为4.考点二 线段最值问题 3.2021 包头已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D(4,y)在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点,当BE+DE的值最小时,ACE的面积为 .答案3.4 当y=0时,x2-2x-3=
69、0,解得x1=-1,x2=3,则A(-1,0),B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1.当x=0时,y=x2-2x-3=-3,则C(0,-3).当x=4时,y=x2-2x-3=5,则D(4,5).连接AD交直线x=1于点E,交y轴于点F,如图,则AE=BE.BE+DE=EA+DE=AD,此时BE+DE的值最小.设直线AD的解析式为y=kx+b,代入A,D两点的坐标得,直线AD的解析式为y=x+1.当x=1时,y=2,则E(1,2).当x=0时,y=1,则F(0,1).SACE=SACF+SECF=1241+1241=4.考点二 线段最值问题 4.2021 天津节选已知抛物线y=ax2-2ax
70、+c(a,c为常数,a0)经过点C(0,-1),顶点为D.()当a=1时,求该抛物线的顶点坐标.()当a-1时,点F(0,1-a),过点C作直线l平行于x轴,M(m,0)是x轴上的动点,N(m+3,-1)是直线l上的动点.当a为何值时,FM+DN的最小值为2 10,并求此时点M,N的坐标.答案4.【参考答案】()当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-2x+c.抛物线经过点C(0,-1),c=-1,抛物线的解析式为y=x2-2x-1.y=x2-2x-1=(x-1)2-2,抛物线的顶点坐标为(1,-2).()将点D(1,-a-1)向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得点D(-2,-a).作
71、点F关于x轴的对称点F,得点F的坐标为(0,a-1).考点二 线段最值问题 答案当点M落在线段FD上时,FM+DN最小,最小值为FD的长.当FM+DN=FD=2 10时,过点D作DHy轴于点H.在RtFDH中,DH=2,FH=-a-(a-1)=1-2a,FD2=FH2+DH2=(1-2a)2+4.又FD2=40,(1-2a)2+4=40,解得a1=-52,a2=72(不合题意,舍去),点F的坐标为(0,-72),点D的坐标为(-2,52),可得直线FD的解析式为y=-3x-72.对于y=-3x-72,当y=0时,x=-76,m=-76,m+3=116,点M的坐标为(-76,0),点N的坐标为(
72、116,-1).考点三 利润最值问题 5.2021 广东端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时,每天可售出100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒.(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;(2)设猪肉粽每盒售价为x元(50 x65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式,并求最大利润.考点三 利润最值问题 答案5.【参考答案】(1)设猪肉粽每盒进价为a元,则豆沙粽
73、每盒进价为(a-10)元.则8 000=6 00010.解得a=40.经检验,a=40是原分式方程的解.a-10=30.答:猪肉粽每盒进价为40元,豆沙粽每盒进价为30元.(2)由题意得,当x=50时,每天可售100盒.故当猪肉粽每盒售x元时,每天可售100-2(x-50)盒.y=(x-40)100-2(x-50)=(x-40)(200-2x)=-2x2+280 x-8 000=-2(x-70)2+1 800.-20,当x70时,y随x的增大而增大.故当50 x65时,y的最大值为-2(65-70)2+1 800=1 750.答:y关于x的函数解析式为y=-2(x-70)2+1 800,最大利
74、润为1 750元.【易错】解分式方程要检验考点三 利润最值问题 6.2022荆州某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24-x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式.(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.求该产品第一年的售价;若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?考点三 利润最值问题 答案
75、6.【参考答案】(1)根据题意,得w=(x-8)(24-x)-60=-x2+32x-252.(2)令-x2+32x-252=4,解得x1=x2=16.答:该产品第一年的售价是16元/件.第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,16,24 13,解得11x16.第二年除4万元外其他成本下降2元/件,为6元/件,设第二年的利润是w万元,则w=(x-6)(24-x)-4=-x2+30 x-148=-(x-15)2+77,-10,对称轴为直线x=15,且11x16,当x=11时,w取最小值,最小值为-(11-15)2+77=61(万元).答:第二年的利润最少为61万元.专项强化8 二次函数与几何
76、综合存在性问题 1.2021怀化节选如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.(1)求抛物线的解析式.(2)若点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在以点P,C,M为顶点的三角形与MNB相似的情形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.答案1.【参考答案】(1)OA=2,OB=4,OC=8,A(-2,0),B(4,0),C(0,8).方法一:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.点A,B均在抛物线上,42+8=0,16+4+8=0,解得 =1,=2,故抛物线的解析式为y=-x2+2x+8.方法二
77、:设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),将C(0,8)代入,得8=-8a,a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.(2)存在.易知抛物线的对称轴为直线x=-22=1,直线BC的解析式为y=-2x+8.答案对于y=-2x+8,当x=1时,y=6,M(1,6).由题意可知MNB=90,点P在点M上方,CMP=NMB.分两种情况讨论.当CPM=MNB=90,即CPMBNM时,点P的坐标为(1,8).当PCM=MNB=90,即PCMBNM时,=,即 12+226=32+62,PM=52,PN=PM+MN=172,P(1,172).综上所述,点P的坐标为(1,8
78、)或(1,172).2.2022 随州节选如图,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=-1,且OA=OC,P为抛物线上一动点.(1)直 接 写 出 抛物线的解析式.(2)设M为抛物线对称轴上一动点,当点P,M运动时,在坐标轴上是否存在点N,使四边形PMCN为矩形?若存在,直 接 写 出点P及其对应点N的坐标;若不存在,请说明理由.答案2.【参考答案】(1)y=-x2-2x+3.(2)存在.P1(-1,4),N1(0,4);P2(5 1456,145118),N2(1 1456,0);P3(5+1456,14
79、5118),N3(1+1456,0).解法提示:如图(1),点N1在y轴上,四边形P1M1CN1是矩形,易得P1(-1,4),N1(0,4).如图(2),点N2,N3在x轴上,四边形P2M2CN2和四边形P3M3CN3都是矩形.设M(-1,d),P(t,-t2-2t+3),则N(t+1,0).易得(22+3)=3,13=3+1,整理,得3t2+5t-10=0,解得t=5 1456,故P2(5 1456,145 118),N2(1 1456,0);P3(5+1456,145 118),N3(1+1456,0).3.2021 山西节选综合与探索如图,抛物线y=12x2+2x-6与x轴交于A,B两点
80、(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.(1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D.试探究:在直线l上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.答案3.【参考答案】(1)当y=0时,12x2+2x-6=0,解得x1=-6,x2=2.点A在点B的左侧,点A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(2,0).当x=0时,y=-6,点C的坐标为(0,-6).直线AC的函数表达式为y=-x-6.直线BC的函数表达式为y=3x
81、-6.(2)存在.设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6m1)与x轴交于A,B两点,交y轴于点C.(1)直接写出OCA的度数和线段AB的长(用含a的式子表示).(2)若点D为ABC的外心,且BCD与ACO的周长之比为 104,求此抛物线的解析式.(3)在(2)的前提下,试探究抛物线y=(x+1)(x-a)上是否存在一点P,使得CAP=DBA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.答案4.【参考答案】(1)OCA=45,AB=a+1.解法提示:由y=(x+1)(x-a),易得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),OC=OA=a,OB=1,OCA=45,AB=a+1.(2)点D为
82、ABC的外心,BDC=2BAC=90,BDC为等腰直角三角形,BCDACO,=104,BD=104 a.BC=1+2,且BC=2BD,BD=1+22,1+22=104 a,a2=4,又a1,a=2,答案故抛物线的解析式为y=x2-x-2.(3)存在.当点P在直线AC下方时,CAO=CBD=45,且CAP=DBA,PAO=CBO,tanPAO=tanCBO=2.过点P作PFx轴于点F,则=2.设AF=m,则PF=2m,P(2-m,-2m).将P(2-m,-2m)代入y=x2-x-2,可求得m=1或0,P(1,-2).当点P在直线AC上方时.由A(2,0),C(0,-2)可求得直线AC的解析式为y
83、=x-2.过点(1,-2)作直线AC的垂线,易求得这条垂线的解析式为y=-x-1.设点(1,-2)关于直线AC的对称点M的坐标为(b,-b-1),答案则点(1,-2)与点M的连线的中点(1+2,32)在直线y=x-2上.将(1+b2,b32)代入y=x-2,可求得b=0,M(0,-1).根据A(2,0),M(0,-1)可求得直线AM的解析式为y=12x-1.令12x-1=x2-x-2,解得x1=2,x2=-12.对于y=12x-1,当x=-12时,y=-54,P(-12,-54).综上所述,点P的坐标为(1,-2)或(-12,-54).【提示】利用中点坐标公式专项强化9 函数中考新趋势题 数学
84、文化 拓视野 1.2019 金华元朝朱世杰的算学启蒙一书记载:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象,则两图象交点P的坐标是 .答案1.(32,4 800)令150t=240(t-12),解得t=32,则150t=15032=4 800,点P的坐标为(32,4 800).开放性试题 提思维 2.2022河南请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式:.答案2.y=2x+3答案不唯一,形如y=kx+b(k0)即可开放性试题 提思维 3.2020 无锡请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:.答
85、案3.y=x2(答案不唯一)开放性试题 提思维 4.2021 泰州如图,点A(-2,y1),B(-6,y2)在反比例函数y=(ky2.点A(-2,y1),B(-6,y2)在反比例函数y=(k0)的图象上,y1=-2,y2=-6,k-60,即y1y2.开放性试题 提思维 答案(2)选择作为条件.由(1)可得,A(-2,-2),B(-6,-6),OC=2,BD=6,AC=-2,OD=-6.易知四边形OCED为矩形,DE=OC=2,EC=OD=-6.四边形OCED的面积为2,2(-6)=2,解得k=-6.开放性试题 提思维 一题多解(2)选择作为条件.由题意得,点E的坐标为(-2,y2),BE=-2
86、-(-6)=4,AE=y1-y2.BE=2AE,4=2(y1-y2),即y1=y2+2.点A(-2,y1),B(-6,y2)在反比例函数y=(k0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”,且点B在矩形OCDE的一边上,则OBC的面积为 .答案7.或 CDOE,C(3,0),点D的横坐标为3.EDOC,点A,D的纵坐标相同.设D(3,a),则A(2,a).又点B是点A的“倒数点”,B(2,1).又点B在矩形OCDE的一边上,且a0,10,分两种情况讨论.当点B在CD上时,2=3,解得a=6,B(3,16),此时SOBC=12316=14.当点B在ED上时,1=a,解得a=1(负值不合题意
87、,已舍去),此时SOBC=1231=32.综上可知,OBC的面积为14或32.用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.下面根据抛物线的顶点坐标(-2,424)和一元二次方程根的判别式=b2-4ac,分别从a0和a0时,抛物线开口向上.当=b2-4ac0时
88、,有4ac-b20,顶点纵坐标4240,顶点纵坐标424=0,顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点,如图(2),一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根.当=b2-4ac0时,(2)a0时的分析过程,写出中当a0,0时,抛物线开口向上.当=b2-4ac0.a0,顶点纵坐标4240.顶点在x轴的上方,抛物线与x轴无交点,如图,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根.(3)可用函数观点认识二元一次方程组的解(答案不唯一.又如:可用函数观点认识一元一次不等式的解集,等)章节综合训练3 函数 1.2022无锡函数y=4中自变量x的取值范围是()A.x4B.x4C.x4D.x
89、4答案1.D 2.2021 成都在平面直角坐标系xOy中,点M(-4,2)关于x轴对称的点的坐标是()A.(-4,2)B.(4,2)C.(-4,-2)D.(4,-2)答案2.C 点M(-4,2)关于x轴对称的点的坐标为(-4,-2),故选C.3.2021 达州在反比例函数y=2+1(k为常数)图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x10 x2x3,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y3y20,反比例函数y=2+1 的图象位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.x10 x2x3,点A在第三象限,点B,C
90、在第一象限,y1y30,y1y3y2.4.2021 青岛已知反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=cx+a和二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是()答案4.D 反比例函数的图象在二、四象限,b0,b0,c0,此时一次函数图象应该过第一、二、四象限,故A错误,D正确;B,C选项中,二次函数图象开口向下,对称轴在y轴右侧,a0,与b13C.0a13D.00,且-9a-3,a13.7.2021 广东把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为 .答案7.y=2x2+4x 将抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平
91、移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2(x+1)2+1-3=2x2+4x.一题多解 抛物线y=2x2+1的顶点为(0,1),将(0,1)向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得(-1,-2),故平移后的抛物线的解析式为y=2(x+1)2-2=2x2+4x.8.2022邵阳改编如图是反比例函数y=1的图象,点A(x,y)是反比例函数图象上任意一点,过点A作ABx轴于点B,连接OA,则AOB的面积是 .答案8.根据反比例函数中|k|的几何意义可知,SAOB=|2=12.9.2021 贺州如图,一次函数y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,点P,C分别是线段AB,OB上的点,且OPC=
92、45,PC=PO,则点P的坐标为 .答案9.(-2,)由题意得A(-4,0),B(0,4),AO=BO=4,AOB是等腰直角三角形,ABO=45.如图,过点P作PDOC于点D,则BDP是等腰直角三角形,PBC=CPO=OAP=45,PCB+BPC=135=OPA+BPC,PCB=OPA.在PCB和OPA中,=,=,=,PCBOPA,BP=AO=4,在RtBDP中,BD=PD=2 2,OD=OB-BD=4-2 2.PD=BD=2 2,P(-2 2,4-2 2).10.2021 武汉已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a+b+c=0.下列四个结论:若抛物线经过点(-3,0),则b=
93、2a;若b=c,则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2;抛物线与x轴一定有两个不同的公共点;点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,若0ac,则当x1x2y2.其中正确的是 (填写序号).答案10.根据a+b+c=0易知抛物线y=ax2+bx+c一定过点(1,0),当抛物线经过点(-3,0)时,抛物线的对称轴为直线x=1+(3)2=-1,-2=-1,b=2a,故结论正确.a+b+c=0,当b=c时,a+2b=0.当x=-2时,cx2+bx+a=4c-2b+a=2b+a=0,方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2,故结论正确.抛物线y=ax2+bx+c一定过点(1,0),该抛物线与
94、x轴有一个或两个公共点,即结论错误.a+b+c=0,c=-a-b.又ac,a-a-b,b0,-2a1,即抛物线的对称轴在直线x=1右侧.易知抛物线开口向上,当x1时,y随x的增大而减小,当x1x2y2,故结论正确.综上,正确的结论是.11.2022苏州如图,一次函数y=kx+2(k0)的图象与反比例函数y=(m0,x0)的图象交于点A(2,n),与y轴交于点B,与x轴交于点C(-4,0).(1)求k与m的值;(2)P(a,0)为x轴上一动点,当APB的面积为72时,求a的值.答案11.【参考答案】(1)把C(-4,0)代入y=kx+2,得k=12,y=12x+2.把A(2,n)代入y=12x+
95、2,得n=3,A(2,3).把A(2,3)代入y=,得m=6.答案故k的值为12,m的值为6.(2)对于y=12x+2,当x=0时,y=2,B(0,2).P(a,0)为x轴上一动点,PC=|a+4|,SCBP=12PCyB=12|a+4|2=|a+4|,SCAP=12PCyA=12|a+4|3=32|a+4|.SCAP=SABP+SCBP,32|a+4|=72+|a+4|.a=3或-11.12.新素材时代热点2022云南某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.(1)每桶甲消
96、毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元?(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍,怎样购买,才能使总费用W最少?并求出最少费用.答案12.【参考答案】(1)设每桶甲消毒液的价格为x元,每桶乙消毒液的价格为y元,根据题意,得 9+6=615,8+12=780,思路导图(1)设未知数 列二元一次方程组 求解即可(2)购买甲消毒液a桶 购买乙消毒液(30-a)桶 W关于a的表达式 的取值范围 即可求解答案解得 =45,=35.答:每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是45元、35元.(2)由题意,得W=
97、45a+35(30-a)=10a+1 050.根据题意,得 30+5,2(30),解得17.5a20,a的取值范围是17.5a20,且a是正整数.100,W随a的增大而增大,当a=18时,W的值最小,最小值为1 230,此时30-a=12.答:当购买甲消毒液18桶、乙消毒液12桶时,总费用最少,最少费用是1 230元.高分锦囊 方案设计型问题的求解策略方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题,解题时一般先根据题意求出函数解析式,然后由题干信息得自变量的取值范围,再利用函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值,从而设计出符合要求的方案.13.2021 杭州在直角坐标系中,设函数y=ax2
98、+bx+1(a,b是常数,a0).(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标.(2)写出一组a,b的值,使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点,并说明理由.(3)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,pq)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q6.答案13.【参考答案】(1)由题意,得 +1=0,4+2+1=1.解得 =1,=2.所以函数的表达式为y=x2-2x+1,所以该函数图象的顶点坐标是(1,0).答案(2)答案不唯一,正确即可,例如a=1,b=3,此时y=x2+3x+1.令x2+3x+1=0,因为=32-411=50,所以函数y=x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点.(3)证明:由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,所以P+Q=p2+p+1+q2+q+1=p2+q2+4=(2-q)2+q2+4=2(q-1)2+6,由题意,知q1,所以P+Q6.
