1、北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为 A. B. C. D. 2、（大兴区2016届高三上学期期末）抛物线的准线方程是 （A） （B） （C） （D）3、（丰台区2016届高三上学期期末）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A） （B） （C） （D）4、（海淀区2016届高三上学期期末）已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，
2、则的长度为 A. B. C. D.5、（延庆区2016届高三3月一模）已知双曲线的离心率，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线实轴长为（ ）A. B. C. D. 参考答案1、C2、A3、D4、D5、A二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）若双曲线的左支上一点到右焦点的距离是6，则点到左焦点的距离为 .2、（朝阳区2016届高三上学期期末）双曲线的渐近线方程为 . 3、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线的焦点到渐近线的距离等于 4、（东城区2016届高三上学期期末）双曲线的离心率是_.5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线的一条渐近线通过点, 则 其离心率为6、（顺义区
3、2016届高三上学期期末）过椭圆的焦点垂直于轴的弦长为. 则双曲线的离心率为7、（西城区2016届高三上学期期末）若抛物线的焦点在直线上，则实数_；抛物线C的准线方程为_.参考答案1、22、3、4、5、,6、7、 ; 三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知椭圆C的离心率为,点在椭圆C上.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线与椭圆C交于A,B两点，线段AB中点为M,点O为坐标原点. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆的切线与椭圆相交于，两点.（）求椭圆的离心率；（）求证:；（）求面积的最大值.3、（大兴区2016届高三上学期
4、期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于两点（）求椭圆的方程；（）若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称，求实数的取值范围；（）在（）的条件下，用表示的面积，并判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，说明理由4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆过点，且满足.() 求椭圆的方程；() 斜率为的直线交椭圆于两个不同点，点的坐标为，设直线与 的斜率分别为， 若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值； 试探究是否为定值？并说明理由.5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图.当直线与轴垂直时，.（）求抛物线C的
5、方程；（）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为.请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由. 6、（海淀区2016届高三上学期期末）如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （）求椭圆的方程；（）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个 交点为.（i）当时，求直线的斜率；（ii）是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由. 7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆：，其中（为椭圆离心率），焦距为2，过点的直线与椭圆交于点，点在之间又点的中点横坐标为（）求椭圆的标准方程； （）求直线的方程8、（顺义区2016届高三上学期期末）已知椭圆
6、的一个顶点，离心率.（）求椭圆的方程； （）设动直线与椭圆相切于点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆过定点.9、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点. （）求椭圆的方程； （）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，记直线， 的斜率分别为，求证：为定值. 参考答案1、解：（I）由题意得 解得.所以椭圆的方程为 5分（）法一：设，将代入得，故，于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 13分法二：设，则由 得 ,则,即 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 13分2、解：（）由题意可知，所以所以所以椭圆的离心
7、率为 3分（）若切线的斜率不存在，则 在中令得不妨设，则所以 同理，当时，也有 若切线的斜率存在，设，依题意，即由，得显然设，,则，所以.所以 所以综上所述，总有成立 9分（）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高. 当的斜率不存在时，由（）可知则. 当的斜率存在时，由（）可知， 所以 （当且仅当时，等号成立）所以此时, .综上所述，当且仅当时，面积的最大值为14分3、（I）因为椭圆的一个顶点为 所以 1分因为离心率为 所以 2分所以因为 所以 3分所以椭圆 4分（II）设，由得所以 1分， 2分.因为关于过点的直线对称,所以所以所以所以 3分所以 所以， 4分所以 5分所以 6分（III） 1分
8、到的距离 2分所以设则所以在上是减函数 3分所以面积无最大值. 4分4、解：()由椭圆过点，则.又，故.所以椭圆的方程为. 4分() 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，. 8分 为定值，且.设直线的方程为.由消，得.当，即时，直线与椭圆交于两点.设.,则，.又，故.又，所以.故. 14分5、解（）为抛物线的焦点，1分又与轴垂直，且，2分又点在抛物线上， ， 求抛物线C的方程为5分（）结论：，为定值 设直线与抛物线交于不同两点，当直线斜率不存在时，知直线与关于轴对称， 当直线斜率存在时，直线的方程设为，联立，得， ， 又， 且， ， 综上所述 14分6、解：（）因为椭圆的左顶点在
9、圆上，所以. .1分又离心率为，所以，所以, .2分所以, .3分所以的方程为. .4分（）（i）法一：设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为， .5分与椭圆方程联立得,化简得到， .6分 因为为上面方程的一个根，所以，所以 .7分由， .8分代入得到，解得, .9分所以直线的斜率为. （ii）因为圆心到直线的距离为， .10分所以. .11分因为， .12分代入得到. .13分显然，所以不存在直线，使得. .14分法二：（i）设点，显然直线存在斜率且不为 ，设直线的方程为， .5分与椭圆方程联立得,化简得到, .6分显然上面方程的一个根，所以另一个根，即, .7分由， .8分代入得到，解得.
10、 .9分所以直线的斜率为（ii）因为圆心到直线的距离为， .10分所以. .11分因为， .12分代入得到. .13分若，则，与直线存在斜率矛盾，所以不存在直线，使得. .14分7、解：（）由条件可知，故， 3分椭圆的标准方程是 4分 （）由已知三点共线，设点，点若直线轴，则，不合题意 5分当所在直线的斜率存在时，设直线的方程为 6分由消去得， 8分由的判别式=， 9分解得， 10分,. 11分 由，可得，即有. 12分 即所求直线方程为. 13分8、解：（）由（）由已知， 【2分】解得，所求椭圆方程为 【4分】 （）消去得 曲线与直线只有一个公共点，可得（*） 故 设，. 【8分】 又由， 【10分】 ， 以为直径的圆过定点 【14分】9、（）解：由题意，得， 2分 又因为点在椭圆上， 所以， 3分 解得， 所以椭圆C的方程为. 5分（）证明：当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 易得直线， 的斜率之积. 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为. 7分 由方程组 得， 8分 因为直线与椭圆C有且只有一个公共点， 所以，即. 9分 由方程组 得， 10分 设，则， 11分 所以 ， 13分 将代入上式， 得. 综上，为定值. 14分
