1、滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学一选择题（共12小题）1.i是虚数单位，复数等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】直接利用复数的除法运算进行化简计算【详解】故选B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题2.“，”的否定是( ).A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】“xM，p（x）”的否定为“xM，p（x）”【详解】依题意，“x（2，+），x22x0”的否定是：，故选C【点睛】本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别本题属于基础题3.若，且，则下列结论一定成立的是
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质，即可选出答案.【详解】当时，错误.当时，错误.当时，错误.因为，所以，正确.故选D.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于基础题.若不等式不成立，只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目标分析法来做题.4.等差数列的前项和，若，则( )A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.【此处有视频，请去附件查看】5.已知等比数列中，且，那么=（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】先求出公比，再根据求
3、和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，且，即，.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前项和，属于基础题.6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第四天走的路程为（ ）A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里【答案】D【解析】【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列，由题意得：，解得(里)，(里).故选D.7.已知双曲线的实轴长为
4、10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.【详解】由题意，所以，所以双曲线的渐近线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.8.“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若是与的等差中项，则，若是与的等比中项，则，则“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的充分
5、不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出的值是解决本题的关键9.若正数满足，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由得到，推出，根据基本不等式即可求出结果.【详解】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选A【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.10.已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线，即得，再由离心率公式和，可得，即可得到双曲线方程.【详解】抛
6、物线的准线为，则有双曲线的一个焦点为，即，由，可得，则，即双曲线方程为.故选：C.【点睛】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，运用离心率公式和， 的关系是解题的关键，属于基础题.11.若，则的最小值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】A【解析】【分析】由题意可得，由基本不等式可得，注意等号成立的条件即可.【详解】由，则，当且仅当时取“”.故选：A.【点睛】本题考查“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.12.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的
7、性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，椭圆和双曲线的离心率分别为，因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：在椭圆中，由定义知，式化简为：在双曲线中，由定义知，式化简为：由两式消去得：，等式两边同除得，即，由柯西不等式得，.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键，属于难题二填空题（共8小题）13.已知复数为虚数单位），则_【答案】2【解析】【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解.【详解】由复数，则.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题
8、.14.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则等于_【答案】9【解析】【分析】由题意可得：，即，即可得出的值.【详解】由题意得：，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查线面位置关系、方程思想方法，推理能力与计算能力，属于基础题.15.不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可【详解】依题意，不等式等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查了不等式的解法，主要考查计算能力和转化求解能力，属于基础题16.已知数列满足，则_【答案】8【解析】【分析】由递推关系分别计算即可.【详解】故答案为8.【点睛】本题考查数列递推关系，求
9、数列的项，是基础题.17.正方体中，点是中点，求与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为，则，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18.直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若的中点的纵坐标2，则_，直线的方程为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据抛物线的焦点可得的值，设直线的方程为，联立
10、方程，利用的中点的纵坐标即可得到直线方程.【详解】由题意，抛物线的焦点，则，所以，所以抛物线方程为，设，则，直线的方程为，联立，消去整理得：，由韦达定理得：，即，所以直线的方程为.故答案为：2，.【点睛】本题主要考查抛物线基本概念的掌握，以及解析几何的计算能力，韦达定理的应用，属于基础题.19.已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合，再求出集合，利用必要条件建立不等关系讨论即可.【详解】由题意，使等式成立的实数的取值集合为，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即，若是的必要条件，则，
11、当，即时，则，即，当，即时，则，即，当，即时，此时，不满足题中条件，综上所述：的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.20.给出下列四个命题已知为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，则的周长是8；已知是双曲线上任意一点，是双曲线的右焦点，则；已知直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则；椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，若静放在点的小球（小球的半径忽略不计）从点沿直线出发则经
12、椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程恰好是其中正确命题的序号为_（请将所有正确命题的序号都填上）【答案】【解析】【分析】求得椭圆中的， ，的周长为：，即可判断；求得双曲线中的，讨论在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；可假设长轴在，短轴在轴，对球的运动方向沿轴向左直线运动，沿轴向右直线运动，以及球不沿轴运动，讨论即可.【详解】由椭圆方程，得，因为椭圆上任意一点，由椭圆定义知，的周长为，故错误；已知是双曲线上任意一点，且，是双曲线的右焦点，若在双曲线左支上，则，若在双曲线右支上，则，故正确；直线过抛物线的焦点，设其方程为，将直
13、线代入抛物线的方程可得，由韦达定理可得，又，则，故正确；假设长轴在，短轴在轴，设为左焦点，为左焦点，以下分为三种情况：i球从 沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；ii球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；iii球从不沿轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点，此时小球经过的路程是；综上所述：从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到时，小球经过的路程是或或.故错误.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力，属于中档题三解答题
14、（共4小题）21.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列求数列的通项公式；求数列的前n项和公式【答案】（1）；（2）【解析】【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；运用等差数列的求和公式，可得，再由裂项相消求和，可得所求和【详解】解：公差d不为0的等差数列的前n项和为，可得，且，成等比数列，可得，即，解得，则；，则数列的前n项和为【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题22.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=P
15、D，ABAD，O为AD中点，AB=1，AD=2，AC=CD=.（1）证明：直线AB平面PCO；（2）求二面角PCDA的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点N，使AN平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】分析】（1）根据条件AC=CD可得，又ABAD，所以ABCO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；（3）假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论【详解】（1）因为AC=C
16、D，O为AD中点，所以又ABAD，所以ABCO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB平面PCO（2）因为PA=PD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为AC=CD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系O.则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.设平面PCD的法向量为，则，得令z=2，则又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以.由图形得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN平面PCD，则存在0，1使得，因此.由
17、（2）得平面PCD的法向量为.因为AN平面PCD，所以，即.解得=0，1，所以存在点N是棱PB上一点，使AN平面PCD，此时=.【点睛】（1）用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论（2）解决立体几何中的探索性问题时，一般先假设存在满足条件的元素（点或线），然后以此作为条件进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立23.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：当时，当时，化简整理可得所求通项公式；（2）求得，利用数
18、列求和公式：分组求和法，错位相减法，即可得到答案.【详解】解：（1）由，得当时，适合上式，；（2），设数列的前项和为，则设则-得：所以；则【点睛】本题考查数列的与前项的和的关系与求和公式、分组求和方法，错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值；（）若PA2PB2的值与点P的位置无关，求k的值【答案】（1）y21（2）（）m时，SOAB取得最大值1（）.【解析】试题分析：（1）
19、由椭圆几何条件知上顶点到焦点距离为半长轴长，即a2，又e，所以c，故b1（2）（）求OAB面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线距离公式来求高，利用两点间距离公式来求底边边长：设点P（m，0）（2m2），直线l的方程为yxm则可求得AB|，高为，从而SOAB|m|，利用基本不等式求最值（）由题意先表示出PA2PB2，再按m整理，最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k的值试题解析：（1）由题设可知a2，e，所以c，故b1因此，a2，b1 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为y21设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）()若k1，则直线l
20、的方程为yxm联立直线l与椭圆C的方程，即将y消去，化简得2mxm210从而有x1x2，x1 x2，而y1x1m，y2x2m，因此，AB|点O到直线l的距离d，所以，SOAB|AB|d|m|，因此，S2OAB( 5m2)m216分又2m2，即m20，4所以，当5m2m2，即m2， m时，SOAB取得最大值18分()设直线l的方程为yk(xm).将直线l与椭圆C的方程联立，即将y消去，化简得(14k2)x28mk2x4(k2m21)0，解此方程，可得，x1x2，x1x210分所以，PA2PB2(x1m)2y12(x2m)2y22(x12x22)2m(x1x2)2m22（*）. 14分因为PA2PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有8k46k220，解得k所以，k的值为. 16分考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系
