1、塘沽一中20192020学年度第二学期高一年级第二次月考数学学科试题温馨提示：疫情期间，受时间和地域限制，此次考试采用线上测试方式，答卷时，考生务必将答案填涂在答题卡上，拍照上传部分的试题按要求，拍照清楚，在规定时间内完成上传特殊时期，请各位考生珍惜实战演练机会，独立作答！祝各位考生考试顺利！一、选择题（共9小题，每题5分）1.已知i是虚数单位，则=（ ）A. 1-2iB. 2-iC. 2+iD. 1+2i【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于，故可知选D.考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题2.在中，若则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
2、由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若向量，满足，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】分析】对条件，两边平方可得，从而可得结果.【详解】 ，故选C【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的性质，考查运算能力，属于基础题.4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用互
3、斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.【详解】由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.故选：B.【点睛】本题主要考查了互斥事件概率的加法公式的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.已知向量，.若为实数，则（ ）A. -2B. 2C. 5D. 8【答案】D【解析】【分析】利用，列方程求解即可【详解】，根据向量的四则运算列出方程得，得，解得答案选D【点睛】本题考查向量的四则运算，根据题目列出方程求解即可.6.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设，.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来7.一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）A. 6海里B. 12海里
5、C. 6海里或12海里D. 海里【答案】A【解析】【分析】根据方位角可知，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为，灯塔位置为，分钟后轮船位置为，如下图所示：由题意得：，则，即：，解得：即灯塔与轮船原来的距离为海里本题正确选项：【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.8.已知中，为的重心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的数量积公式进行计算即可求得结果.【详解】因为中，为的重心，所以 ，由余弦定理可得： 且 所以=【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积
6、，利用向量的运算法则和基本定理表示出所求向量是解题的关键，易错点是弄清楚向量的夹角，属于较难题目.9.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A. B. 12C. 8D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理求出，根据面积得到，再根据基本不等式得到，根据，从而可得的周长的最小值.【详解】由以及正弦定理得，得，所以，因为，所以，所以，所以，所以（当且仅当时，等号成立），又（当且仅当时，等号成立），所以，所以（当且仅当时，等号成立），即的周长的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于
7、基础题.二、填空题（共6小题，每题5分）10.某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_.【答案】16【解析】【分析】按比例计算出中年职工、老年职工中抽取的人数，三者的和为样本容量【详解】设中年职工抽取了人，老年职工抽取了人，则，解得，故答案为：6【点睛】本题考查分层抽样，分层抽样中各层所抽取样本的个数是按比例抽取的11.在中，有，则三角形的形状为_【答案】直角三角形【解析】【分析】将和分别化为和，利用两角和的正弦公式变形可得结果.【详解】由，得，得，得，因
8、为，所以，所以，所以，又，所以，所以三角形为直角三角形.故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式，属于基础题.12.已知一组数据，的方差为，则这组数据，的方差为_【答案】【解析】【分析】利用方差的性质直接求解【详解】一组数据，的方差为5，这组数据，的方差为：【点睛】本题考查方差的性质应用若的方差为，则的方差为13.在中，角，所对的边分别为，向量，满足，则的值为：_【答案】【解析】【分析】根据平面向量平行的性质求及两角和的公式对其进行化简，即可求得的值.【详解】解：，即，即，所以，因，所以，所以故答案为：.【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查两角
9、和的正弦公式的应用，是基础题.14.如图，用K、三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为_【答案】【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式计算可得结果.【详解】记“K正常工作”为事件，“正常工作”为事件，“正常工作”为事件，且事件、相互独立，则“系统正常工作”为事件，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了相互独事件的乘法公式、对立事件的概率公式，属于基础题.15.在梯形中，是线段上的动点，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设,用表示,化简条件得，最后根据函数性质求范
10、围.【详解】设,则.所以【点睛】本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题（共4小题，共45分）16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为6（1）求b及的值；（2）求的值【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据面积公式可得，根据余弦定理可得，根据正弦定理可得；（2）根据二倍角的正余弦公式以及两角差的正弦公式计算可得答案.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，由正弦定理得，所以；（2）由（1）知，以及知为锐角，所以，所有，所以，.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了二倍角的正余弦公式、两角差的正弦公式，属于中档题.
11、17.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a的值（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的分位数（保留两位小数）（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在内的概率【答案】（1）；（2）42.14；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，由求解.（2）根据频率分布直方图得到的频率为，
12、的频率为，再由分位数定义求解.（3）根据频率分布直方图，先得到20人中，年龄在和中的人数，然后按照古典概型，先求得从年龄在的5人中随机抽取两位的基本事件的总数，再得到两人恰有一人的年龄在在内的基本事件数，代入公式求解.【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得.（2）由频率分布直方图得的频率为，的频率为，所以估计参与调查人群的样本数据的分位数为.（3）20人中，年龄在中的有人，记为A，B，年龄在中的有人记为a，b，c，从年龄在的5人中随机抽取两位，基本事件有：，共10种，两人恰有一人的年龄在在内的基本事件有：，共6种，所以两人恰有一人的年龄在内的概率为.【点睛】本题主要考查频率，分位数，古典概型
13、的概率求法以及频率直方图的性质，还考查了读图、运算求解的能力，属于中档题.18.在三角形ABC中，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点（1）若，求的值；（2）求的取值范围；（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，求出，即可得出结果；（2）根据题意，先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求出结果；（3）根据题意，先得到，设，分别得到，列出方程组求解，求出，进而可计算出结果.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以，因此；（2）因为在三角形ABC中，所以，因此，设，由题意，所以，因为，所以；（
14、3）因为为线段的中点，所以，因为直线与相交于点，不妨设，所以，因此，又 ，所以，因此，所以，解得：，所以.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及平面向量数量积的运算，属于常考题型.19.已知两个不共线的向量，夹角为，且，为正实数（1）若与垂直，求的值；（2）若，求的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与的位置关系（3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程两个不同的正实数解，且，求m的取值范围【答案】（1）；（2）当时，的最小值为，垂直；（3）时，时，时，.【解析】【分析】（1）根据垂直关系计算得到，再根据向量夹角公式得到答案.（2）计算，根据二次函数性质得到最值，计算得到位置关系.（3）根据题意平方得到二次方程，根据根与系数关系得到范围，讨论和，三种情况，计算得到答案.【详解】（1），故，故，故.（2），当时，最小为，故的最小值为，此时，故向量与垂直.（3），即，展开整理得到，故，且，解得.取得到，即，当，即，即时，；当，即且，即时，；当，即，即时，.综上所述：时，时，时，.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模的最值，根据方程解的个数求参数，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
