1、山东省济南市历城区第一中学2020届高三数学12月检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， ，则 A B C D 2若 为虚数单位，复数 在复平面中对应的点为 ，则 的值是A1B C1D 3已知 ，则 A B C D 4已知抛物线 ： 的准线 与圆 ： 相切，则 A B C D 5已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为A B C D 6某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少
2、有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为A B C D 7已知 是双曲线 的右焦点，点 在 的右支上，坐标原点为 ，若 ，且 ，则 的离心率为A B C2D 8已如三棱锥DABC的四个顶点在球O的球面上，若 ，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，球O的表面积为A B2C5D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9如图所示的图象不可能是下列哪个函数的A B C D 10把函数 的图象向左平移 个单位长度可以得到函数 的图象，若 的图象关于 轴对称
3、，则 的值可能为A B C D 11给出下面四个推断，其中正确的为A若 ，则 B若 ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，则 12定义在 上的函数 的图象是连续不断的曲线，且 ，当 时， 恒成立，则下列判断不正确的是A B C D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13命题：“ ，使得 ”的否定是_.14为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人若从36岁至50岁的居民中
4、随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是_.15偶函数 满足 ，且当 时， ，则 _，若在区间 内，函数 有4个零点，则实数 的取值范围是_.（本题第一空2分，第二空3分.）16设数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 _.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .（1）求角 ；（2）若 的面积为 ，且 ， ，求 .18（12分）在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 （1）求数列 、 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和 19（12分）进入12月以来
5、，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；（2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的
6、概率参考公式：K2 ，其中n=a+b+c+d.P（K2k）0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82820（12分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ，且 交于点 ， 是 上任意一点. （1）求证： ；（2）已知二面角 的余弦值为 ，若 为 的中点，求 与平面 所成角的正弦值.21（12分）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过 作垂直于 轴的直线交该椭圆于 ， 两点，直线 的斜率为 .（1）求椭圆的离心率；（2）若 的外接圆在 处的切线与椭圆交另一点于 ，且 的面积为 ，求椭圆的方程.22（12分）已知函数 . （1）
7、讨论 的单调性; （2）用 表示 中的最大值，若函数 只有一个零点,求 的取值范围.高三数学综合测试卷答案（12.25）123456789101112BCDCDBDAABDADADACD1【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，故选B.2【答案】C【解析】由题意得 ，则 ，所以 ，故选C3【答案】D【解析】由 = ，可得 ，由 ，可得 ，故选D.4【答案】C【解析】因为抛物线 的准线 的方程为 ，又准线 与圆 ： 相切，所以 ，则 .故选C.5【答案】D【解析】设 与 的夹角为 ， ， ， ，即 ，求得 ， ，故选D6【答案】B【解析】若甲、乙一起（无其他人），有 种分配方案；若甲、乙与另一人一
8、起（三人一起），有 种分配方案，所以共18+18=36种分配方案.故选B.7【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为 连接 .由题意可得 ， ，即有 ，即有 ，由双曲线的定义可得 ，即为 ，即有 ，可得 故选D8【答案】A【解析】如图所示，当三棱锥 的体积取到最大值时，则平面 与平面 垂直，取 的中点 ，连接 ，则 ，分别取 与 的外心 ，分别过 作平面 与平面 的垂线，相交于 ，则 为四面体 的球心，由 ，可得正方形 的边长为 ，则 ，所以四面体 的外接球的半径 ，所以球 的表面积为 .故选A. 9【答案】ABD【解析】易知函数 在 上单调递增，故不可能是D的图象；对于选项A、B，定义域为 ，且
9、当 时， 故不可能是A、B的图象；对于选项C， ，当 时，函数 显然是增函数，当 时， 当 时， 故可能是选项C的图象.综上可得，选ABD.10【答案】AD【解析】由题意，把函数 的图象向左平移 个单位长度可以得到函数 的图象，因为函数 的图象关于 轴对称，所以 ，所以 ，当 时， ；当 时， ，故选AD.11【答案】AD【解析】对于选项A，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，即选项A正确； 对于选项B，当 时， ， 显然不成立，即选项B错误；对于选项C，当 时， 显然不成立，即选项C错误；对于选项D， ，则 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，即选项D正确.综上可知，四个推段中正确的为A
10、D，故答案为AD.12【答案】ACD【解析】构造函数 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 为偶数.当 时， ，所以 在 上单调递增，所以有 ，则 ， ，即 ， ，即 ， .故B正确，ACD均不正确，故选ACD.13【答案】 【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，否结论即可，所以命题：“ ，使得 ”的否定是 .14【答案】300【解析】这次抽样调查抽取的总人数是 .故答案为30015【答案】 【解析】 偶函数 满足 ， ，即函数 是周期为2的周期函数，则 .若 ，则 ，所以 ，即 ， ，函数 有4个零点，等价于方程 有4个根，等价于函数 与 的图象有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图：易知 的
11、图象过定点 ，又 ，则需满足 ，即 ，得 ，即实数 的取值范围是 .16【答案】 【解析】由 ，可得 时， ，时， ，又 ，两式相减可得 ，即 ，上式对 也成立，可得数列 是首项为1，公比为 的等比数列，所以 故答案为 17（10分）【解析】（1）由正弦定理得 ， ， ， ， .（5分）（2） ， 由余弦定理得 ， ， ， ， ， .（10分）18（12分）【解析】（1）设数列 的公差为d，则 ， ， ， ， 成等比数列，即 ，整理得 ，解得 （舍去）或 ，.（3分）当 时， ，当 时， 验证：当 时， 满足上式，数列 的通项公式为 （6分）（2）由（1）得， ，（7分） .（12分）19（1
12、2分）【解析】（1）根据列联表，计算得，（3分）所以有 的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”.（5分）（2）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，则没有私家车的应抽取2人，有私家车的应抽取4人.（7分）随机抽出2人，总的情况数为 ，至少有1名“没有私家车”人员的情况数为 ，（10分）所以根据古典概型的公式得，所求概率 （12分）20（12分）【解析】（1） 平面 ， ，又四边形 为菱形， ，又 ， 平面 ， 平面 ， .（4分）（2）连接 ，在 中， ， 平面 .分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系.（5分）设 ，则 ， ， ， ， . 由（1）知，平面 的一
13、个法向量为 .（6分）设平面 的一个法向量为 ，则由 ，即 ，令 ，则 .（8分）二面角 的余弦值为 ， ， .（10分）设 与平面 所成的角为 ， ， ， .（12分）21（12分）【解析】（1）由题意可知： ，设 ，由题意可知：M在第一象限，且 ， ，（1分）， ，（3分） .（4分）（2）由（1）得 ，所以椭圆方程为 ，设 的外接圆的圆心坐标为 ，由 ，得 ，求得 ，则切线斜率为： ，切线方程为 ，即 ，代入椭圆方程中，得 ， ， （ 为点D的坐标），到直线 的距离 ， 的面积为 ，所以有 ， ，所以椭圆方程为 .22（12分）（1）解：函数 的定义域为 ,且 . 当 时, 对 恒成立,
14、所以 在 上单调递增.当 时,令 ,得 ,当 时, ;当 时, .所以 在 上单调递减,在 上单调递增，.（2）解：当 时, ,从而 ,所以 在 上无零点， 当 时, ,若 ,所以 是 的零点; 若 ,所以 不是 的零点.当 时, ,所以 在 上的零点个数只需要考虑 在 上的零点个数.在 上的零点个数 在 上实根的个数 在 上实根的个数. 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增；又 ， ， ， 当 或 时， 在 上无零点;当 或 时, 在 上有唯一零点， 时, 在 上有两个零点，综上可得：当 时， 在 上有无零点, 当 时， 在 上有1个零点, 当 时， 在 上有2个零点, 当 时， 在 上有1个零点, 则 在 上有唯一零点, 的取值范围为 .
