1、第6章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()答案C解析设幂函数的解析式为y=x,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4,解得=12.所以y=x,其定义域为0,+),且是增函数,当0x1时,其图象在直线y=x的上方,故选C.2.(2021全国甲,文4)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)=23xC.f(x)=x2D.f(x)=3x答案D解析借助函数的图形可知,对于A,函数是减函数,不合题
2、意;对于B,根据指数函数的性质可知函数是减函数,不合题意;对于C,函数在定义域内没有单调性,不合题意;对于D,根据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.3.函数f(x)=x3+x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C解析f(x)=x3+x是奇函数,图象关于坐标原点对称.4.设a=log3,b=log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.cbaD.bca答案C解析log32log22log23,cb.又log23log22=log33log3,ba,cb0且a1,u=6-ax是减函数.f(
3、x)在0,2上是减函数,y=logau是增函数,a1.又在0,2上需满足u=6-ax0,u(2)=6-2a0,a3.综上,1a0,a1)在区间0,12上恒有f(x)0,则函数f(x)的增区间为()A.-,14B.-14,+C.(0,+)D.-,-12答案D解析x0,12,u(x)=2x2+x=2x+142-18(0,1),依题意,当u(0,1)时,logau0恒成立,0a0.故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列函数是指数函数的有()A.y=xB.y=23xC.y=(a-1)
4、xD.y=e-x答案AD解析由指数函数的定义可得AD对,B系数不对,C中a-1的取值不确定.10.若ab,则下列大小关系错误的是()A.ln(a-b)0B.3a0D.|a|b|答案ABD解析取a=2,b=1,满足ab,但ln(a-b)=0,故A错;由9=3231=3,故B错;取a=1,b=-2,满足ab,但|1|b,所以a3b3,即a3-b30,C正确.11.已知函数y=12x的图象与函数y=logax(a0,a1)的图象交于点P(x0,y0),若x02,那么a的取值可以是()A.4B.8C.16D.32答案CD解析由已知中两函数的图象交于点P(x0,y0),由指数函数的性质可知,若x02,则
5、0y014,即01且4ax02,解得a16.12.(2020山东枣庄调研)设a0,且a1,函数y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是14,则实数a的值可以为()A.2B.12C.3D.13答案CD解析令t=ax(a0,a1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t0).当0a1时,x-1,1,t=ax1a,a,此时f(t)在1a,a上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上得a=13或3.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),易知x(0,+)时为减函数,又f
6、(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,即a-1,a3,解得3a5.所以a的取值范围为(3,5).14.(2021新高考,13)已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解析函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,f(x)=f(-x),即x3(a2x-2-x)=(-x)3a2-x-2-(-x).整理得,a2x-2-x=-(a2-x-2x),即(a-1)2x+(a-1)2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.a=1.15.(2021湖北宜昌调研)如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于
7、y轴,则点A的坐标为.答案(1,2)解析设A(n,2n),B(m,2m),则Cm2,2m,因为AC平行于y轴,所以n=m2,所以Am2,2n,B(m,2m).又因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB,所以2nm2=2mm,即n=m-1,又由n=m2,解得n=1,所以点A的坐标为(1,2).16.若函数f(x)=e|x-a|(a为常数),则函数的最小值为,若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是.答案1(-,1解析f(x)=e|x-a|=ex-a(xa),e-x+a(x0且a1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=ax-1(x0)的值域.解(1)依题意f(2)=0.5,即a=0
8、.5=12.(2)f(x)=12x-1(x0),x0,x-1-1,00,a1,bR).(1)若f(x)为偶函数,求b的值;(2)若f(x)在区间2,+)上是增函数,试求a,b应满足的条件.解(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的xR,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)记h(x)=|x+b|=x+b,x-b,-x-b,x1时,f(x)在区间2,+)上是增函数,即h(x)在区间2,+)上是增函数,所以-b2,b-2.当0a1且b-2.20.(12分)(2021江苏如皋中学调研)若函数f(x)满足f(logax)=aa2-1x-1
9、x(其中a0,且a1).(1)求函数f(x)的解析式,并判断其奇偶性和单调性;(2)当x(-,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求a的取值范围.解(1)设logax=t,则x=at,且tR,则f(t)=aa2-1at-1at(tR),f(x)=aa2-1ax-1ax=aa2-1(ax-a-x)(xR).f(-x)=aa2-1(a-x-ax)=-aa2-1(ax-a-x)=-f(x),f(x)是奇函数.当a1时,y=ax是增函数,y=-a-x也是增函数,且aa2-10,f(x)是增函数;当0a1时,y=ax是减函数,y=-a-x也是减函数,且aa2-10,f(x)是增函数.综上可知,f(x)是R
10、上的增函数.(2)令g(x)=f(x)-4,由(1)知,g(x)也是R上的增函数.依题意g(x)5,即a的取值范围是(5,+).(3)由(1)知,f(x)=lg1-x1+x,定义域为(-1,1),当x(-1,1)时,t=1-x1+x=-1+21+x为减函数,f(x)=lg1-x1+x在定义域内是减函数,f(x)在区间(m,n)上的值域是(-1,+),f(n)=lg1-n1+n=-1,m=-1,n=911,即所求区间(m,n)为-1,911.22.(12分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x1,4时,求函数h(x)=f(x)+1g(x)的值域;(2)如果对任意的
11、x1,4,不等式f(x2)f(x)kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.解(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2,因为x1,4,所以log2x0,2,故函数h(x)的值域为0,2.(2)由f(x2)f(x)kg(x),得(3-4log2x)(3-log2x)klog2x,令t=log2x,因为x1,4,所以t=log2x0,2,所以(3-4t)(3-t)kt对任意t0,2恒成立,当t=0时,kR;当t(0,2时,k(3-4t)(3-t)t恒成立,即k4t+9t-15,因为4t+9t12,当且仅当4t=9t,即t=32时取等号,所以4t+9t-15的最小值为-3.综上,实数k的取值范围是(-,-3).
