1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数f(x)=+ln x,则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点解析由f(x)=-=0可得x=2.当0x2时,f(x)2时f(x)0,f(x)是增加的,所以x=2为极小值点.答案D2.函数f(x)=xex-ex+1的递增区间是()A.(-,e)B.(1,e)C.(e,+)D.(e-1,+)解析由题意可知f(x)=ex(1+x-e),令f(x)0,解得xe-1,
2、f(x)=xex-ex+1的递增区间为(e-1,+).答案D3.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导数f(x)的图像如图,则下列结论正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增加的D.f(x)在区间(b,c)上是减少的解析由极值点的定义可知a是极小值点,无极大值点;由导函数的图像可知函数f(x)在区间(a,+)上是增加的,所以选C.答案C4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系式是R=R(x)=则总利润P最大时,每年生产的产品是()A.100
3、单位B.150单位C.200单位D.300单位解析由题意知,总成本为C=20 000+100x.而总利润为P=P(x)=R-C=P(x)=令P(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.答案D5.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).当x0时,f(x)0,g(x)0,则当x0,g(x)0B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0D.f(x)0,g(x)0时,f(x)是增加的,g(x)是增加的,x0,g(x)0.答案B6.已知当x时,函数f(x)=tx-sin x(tR)的值恒小于零,则t的取值范围是()A.B.C.D.解析f(x)=tx-sin x0在x
4、内恒成立,即tx,sin xxcos x.g(x)0,g(x)在上是减少的.t.答案A7.若函数f(x)=(e为自然对数的底数)是定义域内的减函数,则实数a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.(0,+)D.0,1解析函数f(x)=的定义域为R,f(x)=.因为函数f(x)是定义域内的减函数,所以f(x)0恒成立.令g(x)=2ax-ax2-1,则g(x)0恒成立,当a=0时,g(x)=-1成立;当a0时,要使g(x)0恒成立,则=4a2-4a0,解得0a1,又a0,所以00,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9
5、解析f(x)=12x2-2ax-2b,=4a2+96b0,又x=1是极值点,f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,且a0,b0.ab=9,当且仅当a=b时“=”成立.ab的最大值为9.答案D9.当a0时,函数f(x)=(x2-ax)ex的图像大致是()解析f(x)=x2-(a-2)x-aex,令f(x)=0,则x2-(a-2)x-a=0.a0,=(a-2)2+4a0.从而可知函数f(x)有两个极值点,排除A,D;再由题意可知,当x0恒成立,排除C,从而选B.答案B10.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()
6、A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)解析令F(x)=f(x)g(x),易知F(x)为奇函数,又当x0,即F(x)0,知F(x)在(-,0)上是增加的.又F(x)为奇函数,F(x)在(0,+)上也是增加的,且由奇函数的性质知f(0)=0,F(0)=0.又由g(-3)=0,知g(3)=0.F(-3)=0,进而F(3)=0.于是F(x)=f(x)g(x)的大致图像如图所示.F(x)=f(x)g(x)0,极小值f(1)=-3-m0,解得-3m1,所以m的取值范围是(-3,1).故选A.答案A12.若0x1x2ln x2-ln x1B.
7、x1D.x2g(x2),x2x1,应选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间上是增加的,则实数a的取值范围是.解析由f(x)=cos 2x+asin x知,f(x)=-2sin 2x+acos x=-4sin xcos x+acos x=cos x(-4sin x+a).f(x)在上是增加的,当x时,f(x)0恒成立.又cos x0,-4sin x+a0,a4sin x在上恒成立.而x,4sin x(2,4),a4.答案4,+)14.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+
8、f(n)的最小值是.解析f(x)=-3x2+2ax,根据已知得=2,即a=3,故f(x)=-x3+3x2-4.根据函数f(x)的极值点,可得函数f(m)在-1,1上的最小值为f(0)=-4,f(n)=-3n2+6n在-1,1上是增加的,所以f(n)的最小值为f(-1)=-9.f(m)+f(n)min=f(m)min+f(n)min=-4-9=-13.答案-1315.若商品的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x0),则获得最大利润时的年产量为百万件.解析y=-x3+27x+123(x0),y=-3x2+27=-3(x-3)(x+3)(x0)
9、,当0x0,当x3时,y0,即a2+b21,而基本事件所包含的面积为正方形,其面积为11=1,由几何概型的计算公式知,使函数y=x3+ax2-(b2-1)x+2存在极值点的概率为P=1-.答案1-三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(x2+bx+b)(bR).(1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间上是增加的,求b的取值范围.解(1)当b=4时,f(x)=,由f(x)=0得x=-2或x=0.当x(-,-2)时,f(x)0,f(x)是增加的;当x时,f(x)0,f(x)是减少的.故f(x)在x
10、=-2处取极小值f(-2)=0,在x=0处取极大值f(0)=4.(2)f(x)=,因为当x时,0,依题意当x时,有5x+(3b-2)0,从而+(3b-2)0.所以b.所以b的取值范围为.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,m,求m的最小值.解(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f=-+aln 20,由f(x)=1-知,当x(0,a)时,f(x)0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,
11、f(x)0.故a=1.(2)由(1)知当x(1,+)时,x-1-ln x0.令x=1+得ln.从而ln+ln+ln+=1-1.故2,所以m的最小值为3.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-(a2+1)x+aln x.(1)若函数f(x)在上是减少的,求实数a的取值范围;(2)当a时,求f(x)在1,2上的最大值和最小值.(注意:ln 20时,可化为x+a+对任意x恒成立.显然,当x(0,+)时,对勾函数h(x)=x+在0,1上是减少的,在1,+)上是增加的.要使得h(x)h(a)在x上恒成立,只需0a或ae.综上,可知a或ae.(2)f(x)=ax+-(a2+1)=,令f(x)
12、=0,则x=或x=a.当0a时,f(x)0,f(x)在1,2上是减少的.ymin=f(2)=2a-2(a2+1)+aln 2,ymax=f(1)=a-(a2+1).当a时,1x时,f(x)0,0,ymin=f=-a-aln a.f(2)-f(1)=a-(a2+1)+aln 2,令h(x)=x-(x2+1)+xln 2.h(x)=-2x+ln 2.0.y=h(x)在x上是增加的.hmax(x)=hln 2-f(2).fmax=f(1)=a-(a2+1).综上所述:当0a时,ymin=f(2)=2a-2(a2+1)+aln 2,ymax=f(1)=a-(a2+1);当0恒成立,所以f(x)0x1;
13、f(x)00x1.所以f(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1).(3)若f(x)在(0,1)内有极值,则f(x)在x(0,1)内有解.令f(x)=0ex-ax=0a=.设g(x)=,x(0,1),所以g(x)=,当x(0,1)时,g(x)e时,f(x)=0有解.设H(x)=ex-ax,则H(x)=ex-a0,H(1)=e-ae时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当ae时,当x(0,1)时,f(x)0恒成立,f(x)是增加的,不成立.综上,a的取值范围为(e,+).21.(本小题满分12分)济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,
14、据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k0).现已知相距36 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).(1)试将y表示为x的函数;(2)若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值.解(1)设点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k0.从而点C处污染指数y=(0x0时,g(x)0恒成立.于是g(1)=a-20,即a2.g(x)=-+3=,方程g(x)=0有一负根x1和一正根x2,x10x2,其中x1不在函数定义域内.当x(0,x2)时,g(x)0,函数g(x)是增加的.g(x)在定义域上的最小值为g(x2).依题意g(x2)0,即g(x2)=-ln x2+3x2-50.又3-x2-a=0,于是=3x2-1,又0,x2.g(x2)=3x2-1-ln x2+3x2-50,即6x2-6-ln x20.令h(x)=6x-6-ln x,则h(x)=6-.当x时,h(x)0,h(x)是增加的.又h(1)=6-6-ln 1=0,6x2-6-ln x20的解集为1,+).又函数y=3x2-x在上是增加的,a=3-x2312-1=2.故a的取值范围是2,+).
