1、2015-2016学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（12小题，共60分）1设集合M=1，0，1，N=a，a2则使MN=N成立的a的值是（）A1B0C1D1或12若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A1BiC1Di3下列函数是偶函数的是（）ABy=x3CDy=x2+14如图所示程序框图，输出的结果是（）A2B3C4D55已知数列an的前n项和为，则a3+a17=（）A36B35C34D336一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）AB2C3D47已知双曲线C：x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直
2、，则抛物线E：y=mx2的焦点坐标是（）A（0，1）B（0，1）C（0，）D（0，）8投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）ABCD9已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）ABC2D110下列命题正确的个数是（）A“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题是真命题；B命题p：x2或y3，命题q：x+y5则p是q的必要不充分条件；C“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；D“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2
3、a2b1”A1B2C3D411已知数列an满足：，若Cn是单调递减数列，则实数的取值范围是（）ABCD12定义：设A，B是非空的数集，aA，bB，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”如等式b=a2，a0，+）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）ABC（a2）2+b2=1，a1，2D|a|+|b|=1，a1，1二.填空题13已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则=_14已知（1x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为6，则a=_15某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种
4、汽车使用_年时，它的年平均费用最少16已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是_三.解答题17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR），设ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0（1）求C的值（2）若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求ABC的面积18已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE平面BCDE，得到四棱锥ABCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC平面ACD；（3）求异面直线BE与M
5、Q所成的角19某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）0.250.5124销量y（件）1612521（1）根据上面的数据判断，y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（计算结果保留两位小数）参考公式其中=20如图，点A，B分别在射线l1：y=2x（x0），l2：y=2x（x0）上运动，且SAOB=4（1）求x1x2；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值
6、并证明；若不是定值说明理由21设f（x）=xalnx（aR）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（， +ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a1时，在，e上是否存在一点x0，使f（x0）e1成立？说明理由22如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FB=FC；（2）若AB是ABC外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长23在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数，kz），M是C1上的动点，P点满足=，点P的轨迹为C2（1）求曲线C1、
7、C2的普通方程（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是sin（）+=0，直线l与曲线C2相交于A、B，求ABO的面积24设f（x）=|x|+|1+|（1）解不等式f（x）1；（2）已知正数a，b，c，当x0时，f（x）+恒成立，求证：a+b+c32015-2016学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（12小题，共60分）1设集合M=1，0，1，N=a，a2则使MN=N成立的a的值是（）A1B0C1D1或1【考点】交集及其运算【分析】由M=1，0，1，N=a，a2，MN=N，知，由此能求出a的值【解答】解：M=1，0，1，N=a
8、，a2，MN=N，解得a=1故选C2若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A1BiC1Di【考点】复数的基本概念【分析】首先由iz=1+i，求出z，根据复数的定义求出虚部【解答】解：因为iz=1+i，所以z=i+1；所以z的虚部为1；故选C3下列函数是偶函数的是（）ABy=x3CDy=x2+1【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：A.的定义域为x|x0，则f（x）=x=（+x）=f（x），则函数为奇函数，Bf（x）=x3=f（x），则函数为奇函数、C函数的定义域为0，+），函数为非奇非偶函数Df（x）=（x）2+1=x2+1=f（x），则函数为偶函数，
9、故选：D4如图所示程序框图，输出的结果是（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，i=2，a=3，不满足退出循环的条件；第一次执行循环体后：S=3，i=3，a=12，满足退出循环的条件；故输出的i的值为3，故选：B5已知数列an的前n项和为，则a3+a17=（）A36B35C34D33【考点】数列递推式【分析】前n项和为，当n2时，an=SnSn1，代入即可得出【解答】解：前n项和为，当n2时，an=SnSn1=n22n（n
10、1）22（n1）=2n3则a3+a17=（233）+（2173）=34故选：C6一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）AB2C3D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为四棱锥，棱锥的高为侧视图三角形的高，底面为直角梯形【解答】解：由三视图可知，几何体为四棱锥，棱锥的高为侧视图中等边三角形的高，棱锥的底面为直角梯形，梯形面积为（1+2）2=3V=故选A7已知双曲线C：x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则抛物线E：y=mx2的焦点坐标是（）A（0，1）B（0，1）C（0，）D（0，）【考点】双曲线的简单性质【分析
11、】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件，可得m=，再由抛物线方程，注意化为标准方程，可得焦点坐标【解答】解：双曲线C：x2+2my2=1（m0），可得渐近线方程为y=x，由渐近线垂直可得=1，解得m=，即有抛物线E：y=mx2的方程为x2=2y，可得焦点为（0，）故选：D8投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】由已知可得P（A）=，P（B）=，则事件A，B中至少有一件发生的概率P=P（AB）+P（A）+P（B），解得答案【解答】解：投掷一
12、枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则P（A）=，P（B）=，则事件A，B中至少有一件发生的概率P=P（AB）+P（A）+P（B）=，故选：C9已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）ABC2D1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由选项知m0，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点A时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大为8，即3x+y
13、=8由，解得，即A（2，2），同时A也在2mxy2=0上，4m22=0，得m=1，故选：D10下列命题正确的个数是（）A“在三角形ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题是真命题；B命题p：x2或y3，命题q：x+y5则p是q的必要不充分条件；C“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；D“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；C项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；D项写出一个命题的否命题的关键是正确
14、找出原命题的条件和结论【解答】解：对于A项“在ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆命题为“在ABC中，若AB，则sinAsinB”，若AB，则ab，根据正弦定理可知sinAsinB，逆命题是真命题，A正确；对于B项，由x2，或y3，得不到x+y5，比如x=1，y=4，x+y=5，p不是q的充分条件；若x+y5，则一定有x2且y3，即能得到x2，或y3，p是q的必要条件；p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”；所以C不对对于D项，“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”所以D正确故选：C11已知数列an满足：
15、，若Cn是单调递减数列，则实数的取值范围是（）ABCD【考点】数列的函数特性【分析】数列an满足：，两边取倒数可得： =+1，变形为： +1=2，利用等比数列的通项公式可得，代入=2n由于Cn是单调递减数列，可得cn+1cn，化简整理，利用函数的单调性即可得出【解答】解：数列an满足：，=+1，变形为： +1=2，数列是等比数列，首项为2，公比为2+1=2n，=2n，Cn是单调递减数列，cn+1cn，2n+12n，化为：=，令f（x）=x+3，（x1，+）f（x）=1=，可知当x时，单调递增；而f（1）=6，f（2）=6，f（x）的最小值为6，因此的最大值为，故选：B12定义：设A，B是非空的
16、数集，aA，bB，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”如等式b=a2，a0，+）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）ABC（a2）2+b2=1，a1，2D|a|+|b|=1，a1，1【考点】元素与集合关系的判断【分析】只要判断所给出的函数单调即可【解答】解：A，则asina，b=0，因此函数b在上单调递增，正确；Ba，b=3a2+5a+2=（3a+2）（a+1），a（2，1）时单调递增；a（1，）时单调递减，因此不符合题意；C（a2）2+b2=1，a1，2，b=，b不是a的函数，舍去；D|a|+|b|=1，a1，1，b=（1|a|），b不是a的函数
17、，舍去故选：A二.填空题13已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则=（2，2）【考点】向量的加法及其几何意义【分析】根据图形，求出向量、的坐标表示，再求出的坐标表示【解答】解：根据题意，向量=（41，32）=（3，1），=（34，03）=（1，3），=（31，13）=（2，2）故答案为（2，2）14已知（1x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为6，则a=2或1【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意，列出方程a2a=6，求出a的值即可【解答】解：（1x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为a2a=6，即a2a6=0，解得a=2或a=1故答案为：2或115某人10万元买了1辆车，每年使用的保
18、险费养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种汽车使用10年时，它的年平均费用最少【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用【分析】通过记第n年维修费用为an，计算可知an=0.1n+0.1（万元），进而可知前n年维修费用An=（万元），化简可知年平均费用S=+，进而利用基本不等式计算即得结论【解答】解：依题意，记第n年维修费用为an，则an=0.2+0.1（n1）=0.1n+0.1（万元），则前n年维修费用An=（万元），故年平均费用S=+，+2=，当且仅当=即n=10时取等号，这种汽车使用10年时，它的年平均费用最少，故答案为：1016已
19、知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是【考点】基本不等式【分析】正实数a，b满足=3，可得，b+2a=3ab展开（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2，即可得出【解答】解：正实数a，b满足=3，化为，当且仅当b=2a=时取等号b+2a=3ab（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2故答案为：三.解答题17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR），设ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0（1）求C的值（2）若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求ABC的面积【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量
20、积的运算；正弦函数的图象【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为：f（x）=sin（2x）1，由f（C）=0得sin（2C）=1，结合范围2C，即可解得C的值（2）利用向量共线可得2sinA=sinB，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理得a2+b2ab=3，联立解得a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos2x，f（x）=sin（2x）1，由f（C）=0得sin（2C）=1，又2C，2C=，即C=（2）向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，2sinA=sinB，b=2a，由余弦定理，得a2+b2ab=3，由得：a=1
21、，b=2ABC的面积为absinC=18已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE平面BCDE，得到四棱锥ABCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角【考点】平面与平面垂直的判定；空间图形的公理；异面直线及其所成的角【分析】（1）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是
22、只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可【解答】（1）证明：由条件有PQ为ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，PQDE，MNDE，PQMNM、N、P、Q四点共面（2）证明：由等腰直角三角形ABC有ADDE，CDDE，DEBC又ADCD=D，DE面ACD，又DEBCBC平面ACD，BC平面ABC，平面ABC平面ACD（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DR=ED
23、，连结RC 则ER=BC，ERBC，故BCRE为平行四边形 RCEB，又ACQMACR为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，由勾股定理得AC=AR=RC=，ACR为正三角形，ACR=60，异面直线BE与QM所成的角大小为6019某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）0.250.5124销量y（件）1612521（1）根据上面的数据判断，y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归
24、方程；（计算结果保留两位小数）参考公式其中=【考点】线性回归方程【分析】（1）观察表格数据可知y与x成反比关系，故选y=；（2）令t=，将回归方程转化为线性回归方程解出【解答】解：（1）y=更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程（2）令t=，则y=tc+d，原数据变为：t4210.50.25y1612521ty6424510.25t216410.250.0625=（4+2+1+0.5+0.25）=1.55， =（16+12+5+2+1）=7.2=64+24+5+1+0.25=94.25， =16+4+1+0.25+0.0625=21.3125c=4.13d=c0.8y=0.8+4.13 ty
25、与x的回归方程是y=0.8+20如图，点A，B分别在射线l1：y=2x（x0），l2：y=2x（x0）上运动，且SAOB=4（1）求x1x2；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AOB=2，由y=2x，得tan=k=2，从而求出sin2，由|OA|=，|OB|=，利用SAOB=4，能求出x1x2的值（2）由M（x，y）是A（x1，y1），B（x2，y2）的中点，得，由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程（
26、3）设中点M到射线OA，OB的距离分别为d1，d2，由此能推导出中点M到两射线的距离积为定值【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AOB=2，由y=2x，得tan=k=2，sin2=，|OA|=，|OB|=，SAOB=|OA|OB|sin2=4，解得x1x2=2（2）M（x，y）是A（x1，y1），B（x2，y2）的中点，x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1=2x1，y2=2x2，联立，得，并代入x1x2=2，得4x2y2=8，x0线段AB的中点M的轨迹方程为4x2y2=8，x0（3）设中点M到射线OA，OB的距离分别为d1，d2，则，d1d2=中点M到两
27、射线的距离积为定值21设f（x）=xalnx（aR）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（， +ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a1时，在，e上是否存在一点x0，使f（x0）e1成立？说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，得到a的具体范围即可；（3）问题转化为只需证明时，f（x）maxe1即可，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=xlnx，
28、所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为所求切线方程为，即x+yln21=0（2），令f（x）=0得，x1=1，x2=a1，当a10即a1时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）递减极小值递增由表知x=1是函数f（x）的极小值点，不合题意；当0a11即1a2时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，a1）a1（a1，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）递增极大值递减极小值递增由表知x=1是函数f（x）的极小值点，不合题意；当a1=1即a=2时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）+0+f（x）递增
29、非极值递增由表知x=1不是函数f（x）的极值点，不合题意；当a11即a2时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，a1）a1（a1，+）f（x）+00+f（x）递增极大值递减极小值递增由表知x=1是函数f（x）的极大值点，适合题意；综上所述，当a2时，x=1是函数f（x）的极大值点 即所求取值范围是（2，+）（3）假设当a1时，在存在一点x0，使f（x0）e1成立，则只需证明时，f（x）maxe1即可由（2）知，当a1时，函数f（x）在上递减，在1，e上递增，所以只需证明f（ e）e1或即可=由a1知，f（ e）（ e1）0即f（ e）e1成立所以假设正确，即当a1时，在
30、上至少存在一点x0，使f（x0）e1成立22如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FB=FC；（2）若AB是ABC外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由已知得EAD=DAC，DAC=FBC，从而FBC=FCB，由此能证明FB=FC（2）由已知得ACB=90从而ABC=30，DAC=EAC=60，由此能求出AD【解答】证明：（1）因为AD平分EAC，所以EAD=DAC因为四边形AFBC内接于圆，所以DAC=FBC因为EAD=FAB=FCB，所以FBC=F
31、CB，所以FB=FC解：（2）因为AB是圆的直径，所以ACB=90，又EAC=120，所以ABC=30，DAC=EAC=60，因为BC=6，所以AC=BCtanABC=2，所以AD=4（cm）23在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数，kz），M是C1上的动点，P点满足=，点P的轨迹为C2（1）求曲线C1、C2的普通方程（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是sin（）+=0，直线l与曲线C2相交于A、B，求ABO的面积【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C1的参数方程为（为参数，kz），消去参数可得普通方程设P（x，y
32、），M（x0，y0），利用P点满足=，可得x0=2x，y0=2y，代入曲线C1的方程即为点P的轨迹方程（2）直线l的极坐际方程是sin（）+=0，展开化为：（sincos）+=0，利用即可化为直角坐标方程设A（x1，y1），B（x2，y2）与抛物线方程联立解得A，B，利用SAOB=d|AB|即可得出【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数，kz），消去参数可得普通方程：y2=2x设P（x，y），M（x0，y0），P点满足=，x0=2x，y0=2y，代入曲线C1的方程可得：4y2=4x，化为y2=x，即为点P的轨迹方程（2）直线l的极坐际方程是sin（）+=0，展开化为：（sincos）+
33、=0，化为直角坐标方程：yx+2=0设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为y2y2=0，解得，|AB|=3原点到直线l的距离d=SAOB=d|AB|=324设f（x）=|x|+|1+|（1）解不等式f（x）1；（2）已知正数a，b，c，当x0时，f（x）+恒成立，求证：a+b+c3【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可【解答】解：（1）显然，x0，当x1时，得，即x2+10，即x=1；当1x0时，得，即（x+1）20，x无解；当x0时，得，即x2+10，x无解；综上，不等式f（x）1的解集是x|x=1（2）x0，f（x）=|x|+|1+|=x+12+1=3，6当且仅当x=1时等号成立当x0时，f（x）+恒成立，a+b+c32016年9月27日