1、第一章DIYIZHANG推理与证明3反证法课后篇巩固提升A组1.设a,b是两个实数,能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.a+b1B.a+b=2C.ab1D.a+b2解析对于A,若a=12,b=23,则a+b1,因此A推不出;对于B,若a=b=1,则a+b=2,故B推不出;对于C,若a=-2,b=-3,则ab1,故C推不出;对于D,a+b2,满足“a,b中至少有一个大于1”的条件,利用反证法:若a1,b1,则a+b2与已知a+b2矛盾,因此假设不正确,故原结论正确.故选D.答案D2.“已知:在ABC中,AB=AC,求证:B180,这与三角形内角和定理相矛盾;(2)所以BBAD,AD
2、CABD,ABD与ACD不可能相似,与已知不符,只有当ADB=ADC=BAC=2时,才符合题意.答案B5.设x,yR,用反证法证明命题“如果x2+y24,那么|x|2且|y|b”的反面是“ay或xy”;“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”,其中正确的叙述有(填序号即可).解析错,应为ab;对;错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角.答案7.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则A1B1C1为三角形,A2B2C2为三角形(填
3、“锐角”或“钝角”).解析由A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,可知A1B1C1为锐角三角形.则由题意,知A2B2C2为锐角三角形或钝角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形,由sinA2=cosA1=sin2-A1,sinB2=cosB1=sin2-B1,sinC2=cosC1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,A2+B2+C2=2与A2+B2+C2=矛盾.A2B2C2是钝角三角形.答案锐角钝角8.证明对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称.证明假设存在实数k,使得点A,B
4、关于直线y=ax对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A,B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点x1+x22,y1+y22在直线y=ax上.所以ka=-1,y1+y2=k(x1+x2)+2,y1+y22=ax1+x22,由,得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2.由y=kx+1,y2=3x2-1,得(3-k2)x2-2kx-2=0,因此x1+x2=2k3-k2,将其代入,得ak=3.这与矛盾,所以假设不成立.因此不存在实数k,使得点A,B关于直线y=ax对称.B组1.设a,b,c都是正数,则三个数a+1b,b+1c,c
5、+1a()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析假设a+1b2,b+1c2,c+1a2,则a+b+c+1a+1b+1c6.a,b,c都是正数,a+1a2,b+1b2,c+1c2.a+b+c+1a+1b+1c6,与假设相矛盾.a+1b,b+1c,c+1a中至少有一个不小于2.答案D2.下列说法不正确的是()A.命题:“x,yR,若|x-1|+|y-1|=0,则x=y=1”,用反证法证明时应假设x1或y1B.三角形的内角中至少有一个不大于60度C.若-1,x,y,z,-4成等比数列,则y=2D.命题:“m0,1,使得x+1x2m”的否定形式是:“m0,1,
6、总有x+1x2m”解析对于A选项,反证法假设时,假设“x1或y1”,故A选项说法正确;对于B选项,假设三个内角都大于60度,则内角和大于180度,故假设不成立,故B选项说法正确;对于C选项,假设等比数列公比为q(q0),则y=(-1)q20,所以C选项说法错误;对于D选项,根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D选项说法正确.综上所述,故选C.答案C3.定义方程f(x)=f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,如果函数g(x)=x与h(x)=ln(x+1)的“新驻点”分别为,那么和的大小关系是.解析由题可得g(x)=1,h(x)=1x+1,所以=1,ln(+1)=1+1,假设=1,则
7、+12,则01+112,所以0ln(+1)12=lne,1+1e2,0.答案4.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此,假设不成立.故由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.5.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.解已知:在ABC中,BAC90,D是BC的中点,求证:AD12BC,因为BD=DC=12BC,所以在ABD中,ADBD,从而BBAD;同理CCAD.所以B+CBAD+CAD,即B+CBAC.因为B+C=180-BAC,所以180-BACBAC,则BAC90,与题设矛盾.由(1)(2)知AD12BC.
