1、第1讲空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2015无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为_解析该正三棱锥的底面积为()2，高为，所以该正三棱锥的体积为.答案2(2015宿迁模拟)用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_cm.解析用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为(cm)答案3. (2014福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_解析三棱锥B1AB
2、C1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.答案4(2015盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4的半圆面，则该圆锥的体积为_解析由圆锥的侧面展开图是面积为4的半圆面，得该半圆的半径是2，即为圆锥的母线长半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r，则22r，解得r，所以圆锥的高是h，体积是Vr2h.答案5(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD2，将ABC沿AD折成60的二面角，连接BC，则三棱锥CABD的体积为_解析由题意可得CDB60，DCDB，所以DCB是边长为2的等边三角形，且AD平面DC
3、B，所以三棱锥CABD的体积为SBCDAD22sin 602.答案6(2015南京模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_cm.解析设圆锥的底面半径为r，则2r3，所以r1，所以高为2.答案27(2014山东卷)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析设六棱锥的高为h，斜高为h0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为22sin 6066，则6h2，得h1，所以h02，所以该六棱锥的侧面积为22612.答案128(2015泰州检测)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若
4、AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_解析因为四棱锥BACC1D的底面ACC1D的面积为(24)26，高为2，所以体积为62.答案2二、解答题9(2014苏州检测)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解(1) 设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D(cm)故三棱台的斜高为cm.(2)设c，
5、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336)(cm2)，S表S侧S上S下3262(cm2)故三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2.10如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在题图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC2
6、2，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_解析设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2r1h12r2h2，又，所以，则.答案2已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为_解析由题意知，如图所示，在棱锥SABC中，SAC，SBC都是有一个角为30的直角三角形，其中AB，SC4，所以SASB2，ACBC2，作BDSC于D点，连接AD，易证SC平面ABD，因此V()24.答案3(2
7、014云南统一检测)已知球O的体积等于，如果长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于_解析由球O的体积为R3，得球O的半径R.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2y2z2(2R)225，所以该长方体的表面积2xy2xz2yz2(x2y2z2)50，当且仅当xyz时取等号，所以表面积的最大值为50.答案504. 如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)解设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.
