1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设z1=x2-i,z2=-1+xi,xR,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.1或-1解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i.若z1+z2为纯虚数,则x2-1=0,x-10,解得x=-1.故选A.答案A2.设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于()A.0B.-4C.-2D.2解析因为f(x)=x2+2xf
2、(1),所以f(x)=2x+2f(1),f(0)=2f(1).因为f(1)=2+2f(1),所以f(1)=-2,故f(0)=-4.答案B3.复数1+2i2-i的共轭复数是()A.3i5B.-3i5C.iD.-i解析因为复数1+2i2-i=(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=5i5=i,所以复数1+2i2-i的共轭复数是-i.答案D4.已知a,b是空间中两不同直线,是空间中两不同平面,下列命题正确的是()A.若直线ab,b,则aB.若平面,a,则aC.若平面,a,b,则abD.若a,b,ab,则解析若直线ab,b,则a或a,故A不对;若平面,a,则a或a,故B不对;若平面,a,b,则ab
3、或a,b是异面直线,故C不对;根据垂直于同一条直线的两个平面平行,可得D正确.答案D5.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.222解析归纳得13+23+33+43+53+63=(1+2+6)2=212.答案C6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图,则函数y=ax2+32bx+c3的递增区间是()A.(-,-2B.12,+C.-2,3D.98,+解析由题图可知d=0.不妨取a=1,f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c.由图
4、可知f(-2)=0,f(3)=0,12-4b+c=0,27+6b+c=0.b=-1.5,c=-18.y=x2-94x-6,y=2x-94.当x98时,y0,y=x2-94x-6的递增区间为98,+.故选D.答案D7.定积分121+x2xdx的值为()A.32+ln 2B.34C.3+ln 2D.12解析121+x2xdx=121x+xdx=121xdx+12xdx=lnx|12+12x2|12=ln2-ln1+1222-1212=32+ln2.答案A8.函数y=ln x(x0)的图像与直线y=12x+a相切,则实数a等于()A.ln 2-1B.ln 2+1C.ln 2D.2ln 2解析y(x)
5、=1x,由1x=12得切点为(2,ln2),代入y=12x+a,得a=ln2-1.故选A.答案A9.已知过原点的直线l与曲线y=ex相切,则由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积是()A.e2-1B.e-1C.e2D.e+1解析由已知y=ex的导函数为y=ex,设过原点的直线l与曲线y=ex相切于点(a,ea),则y|x=a=ea,直线l的方程为y=ea(x-a)+ea,即y=eax-aea+ea.又直线l过原点,则-aea+ea=0,解得a=1,所以直线l的方程为y=ex.由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积为01(ex-ex)dx=ex-12ex201=e-12e
6、-1=12e-1.故选A.答案A10.设函数f(x)=sin3x3+3cos2x2+tan ,其中0,512,则导数f(1)的取值范围是()A.-2,2B.2,3C.3,2D.2,2解析f(x)=sinx2+3cosx,f(1)=sin+3cos=2sin+3.0,512,+33,34.sin+322,1.2sin+32,2.答案D11.设m=01exdx,n=e11xdx,则m与n的大小关系为()A.mnD.mn解析m=01exdx=ex|01=e-1n=e11xdx=lnx|e1=1.答案C12.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)-(2)B.
7、0f(3)f(3)-f(2)f(2)C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3),而f(3)-f(2)=f(3)-f(2)3-2,表示连接点(2,f(2)与点(3,f(3)割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必有0f(3)f(3)-f(2)3-22x1+x22,请对比函数f(x)=2x得到函数g(x)=lg x一个类似的结论:.解析由题意知函数f(x)=2x是一个凹函数,函数g(x)=lgx是一个凸函数,所以x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则
8、lgx1+lgx22lgx1+x22.答案x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则lgx1+lgx22lg x1+x2215.曲线y=x2-1与直线y=2x+2围成的封闭图形的面积为.解析由y=x2-1,y=2x+2,可得x=3,y=8或x=-1,y=0.可知所求的封闭图形的面积S=-132x+2-(x2-1)dx=x2+3x-13x3-13=(9+9-9)-1-3+13=323.答案32316.已知点P(-1,-1)在曲线y=xx+a上,则该曲线在点P处的切线方程为.解析由于点P(-1,-1)在曲线y=xx+a上,则-1=-1a-1,得a=2,即有y=xx+2,导数y=x+2-x(x+2
9、)2=2(x+2)2,则曲线在点P处的切线斜率为k=2(2-1)2=2.故曲线在点P处的切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案y=2x+1三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f(x)的图像经过点(-2,0),23,0,如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若对x-3,3都有f(x)m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)=3ax2+2bx+c,且y=f(x)的图像经过点(-2,0),23,0,-2+23=-2b3a-223=c3ab=
10、2a,c=-4a,f(x)=ax3+2ax2-4ax,由图像可知函数y=f(x)在(-,-2)上是减少的,在-2,23上是增加的,在23,+上是减少的,由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1.f(x)=-x3-2x2+4x.(2)要使对x-3,3都有f(x)m2-14m恒成立,只需f(x)minm2-14m即可.由(1)可知函数y=f(x)在-3,-2)上是减少的,在-2,23上是增加的,在23,3上是减少的,且f(-2)=-8,f(3)=-33-232+43=-33-8,f(x)min=f(3)=-33.-33m2-14m3m11.故所求
11、的实数m的取值范围为m|3m11.18.(本小题满分12分)(2020江苏,15)在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,B1C平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C平面ABB1.证明(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EFAB1.又EF平面AB1C1,AB1平面AB1C1,所以EF平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC,AB平面ABC,所以B1CAB.又ABAC,B1C平面AB1C,AC平面AB1C,B1CAC=C,所以AB平面AB1C.又因为AB平面ABB1,所以平面AB1C平面ABB1.19.(本小题满分12分
12、)如图,某小区有一矩形地块OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l(宽度不计),交线段OC于点D,交线段OA于点N.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边EF满足函数y=-x2+2(0x2)的图像,点M到y轴距离记为t.(1)当t=23时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解(1)当t=23时,点M的横坐标x=23,将其代入函数y=-x2+2,得M23,149,y=-2x,k=-43.直线方程为y=-43x+229.(
13、2)由(1)知,直线的方程为y=-2tx+t2+2,令y=0,得x=12t+2t,令x=0,得y=t2+2,12t+2t2,t2+23.2-2t1.SOND=1212t+2t(t2+2)=14t3+4t+4t.令g(t)=14t3+4t+4t,则g(t)=(t2+2)(3t2-2)4t2,当t=63时,g(t)=0,当t2-2,63时,g(t)0,g(t)g63=896,故所求面积的最大值为6-896.20.(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若1a,1b,1c成等差数列.(1)比较ba与cb的大小,并证明你的结论;(2)求证:角B不可能是钝角.(
14、1)解bacb.证明如下:要证bacb,只需证ba0,只需证b2ac.1a,1b,1c成等差数列,2b=1a+1c21ac,b2ac.又a,b,c均不相等,b2ac-b22ac0,角B不可能是钝角.方法二假设角B是钝角,则角B的对边为最大边,即ba,bc,1a1b0,1c1b0,则1a+1c1b+1b=2b,这与1a+1c=2b矛盾,故假设不成立.角B不可能是钝角.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln x+x,g(x)=xex-a.(1)若x=1是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)若a=1,证明f(x)g(x).解(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+),且
15、f(x)=ax+1.因为x=1是f(x)的极值点,所以f(1)=a+1=0,解得a=-1,此时f(x)=-1x+1=x-1x.故当0x1时,f(x)1时,f(x)0.所以f(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1).(2)若a=1,则f(x)=lnx+x,g(x)=xex-1.设h(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-xex+1,x(0,+),则h(x)=1x+1-(x+1)ex=(x+1)1x-ex.令t(x)=1x-ex,x(0,+),则t(x)=-1x2-ex0,t(1)=1-e0,所以x012,1,使得t(x0)=1x0-ex0=0,即1x0=ex0,则ln1x0=lnex0
16、,即-lnx0=x0.因此,当0x0,即h(x)0,则h(x)是增加的;当xx0时,t(x)0,即h(x)0,nN+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明.解(1)因为a1=S1=a12+1a1-1,所以a1=-13.又因为an0,所以a1=3-1.S2=a1+a2=a22+1a2-1,所以a2=5-3.S3=a1+a2+a3=a32+1a3-1,所以a3=7-5.(2)由(1)猜想an=2n+1-2n-1,nN+.下面用数学归纳法加以证明:当n=1时,由(1)知a1=3-1成立.假设n=k(kN+)时,ak=2k+1-2k-1成立.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-1-ak2+1ak-1=ak+12+1ak+1-2k+1,所以ak+12+22k+1ak+1-2=0.所以ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1,即当n=k+1时猜想也成立.综上可知,猜想对一切nN+都成立.
