1、广东省深圳市育才中学2015届高三上学期10月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，M=3，4，5，N=1，3，6，则集合2，7等于（）AMNB（UM）（UN）C（UM）（UN）DMN2（5分）设p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a2+a0，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 （）A0，B（0，）C（，0，+）D（，0）（，+）3（5分）如图，向量等于 （）ABCD4（5分）给定函数，y=|x1|，y=2x+1
2、，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD5（5分）已知=2，则tan（x+）的值为 （）A2B2CD6（5分）把函数y=3cos（2x+）的图象向右平移m（m0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的值可以是 （）ABCD7（5分）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf（x）0的解集为（）A（，）B（0，）C（，+）D（，）（0，）8（5分）设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f（x）满足f（x）f（x）对于xR恒成立，则 （）Af（2）e2f（0），fe2012f（0）Bf（2）e2f（0），fe20
3、12f（0）Cf（2）e2f（0），fe2012f（0）Df（2）e2f（0），fe2012f（0）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷上9（5分）已知ABC中，a=4，b=4，A=30，则B等于10（5分）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是 11（5分）函数f（x）=Asin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则f（x）=12（5分）直线y=4x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积为13（5分）关于函数f（x）=cos2x2sinxcosx，下列命题：若x1，x2满足x1x2=，则f（x1）=f（x2）成立；f（x）在区间，上单调递增；函数f（
4、x）的图象关于点（，0）成中心对称；将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x的图象重合其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）14（5分）已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：对于任意a（0，+），函数f（x）是D上的减函数；对于任意a（，0），函数f（x）存在最小值；对于任意a（0，+），使得对于任意的xD，都有f（x）0成立；存在a（，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤15（12分）已知向量=（cos，sin），=（）
5、，（）当时，求的值；（）求|+|的取值范围16（12分）已知函数f（x）=lnx+b在点（1，3）处与y轴垂直（）求a，b的值；（）求函数f（x）在，2上的最大值和最小值17（14分）已知向量=（2sin（x），1），=（cosx，），函数f（x）=（xR）（）求函数f（x）的最小正周期对称中心及单调减区间；（）已知ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值18（14分）已知函数f（x）=ex（ax+b），曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2（）求常数a，b的值；（）证明
6、：f（x）4x+2；（）是否存在常数k，使得当x2，1时，f（x）k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由19（14分）已知函数，直线图象的一条对称轴（1）试求的值：（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，若的值20（14分）已知函数f（x）=lnxax2（12a）x（a0）（1）求函数f（x）的最大值；（2）求函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；（3）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0）
7、，记直线AB的斜率为k，证明：kf（x0）广东省深圳市育才中学2015届高三上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，M=3，4，5，N=1，3，6，则集合2，7等于（）AMNB（UM）（UN）C（UM）（UN）DMN考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：计算题分析：根据元素与集合的关系和集合的运算规律进行，2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合CUM且在CUN中，根据并集的意义即可解答：解：
8、2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合CUM且在CUN中2，7=（CUM）（CUN）故选B点评：本题也可以直接进行检验，但在分析中说明的方法是最根本的，是从元素与集合的关系以及交集和交集的含义上进行的解答，属于容易题2（5分）设p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a2+a0，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 （）A0，B（0，）C（，0，+）D（，0）（，+）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：先写出p，q，并解出p，q下的不等式，从而得到p：x，或x1，q：xa，或xa+1，根据p是q的必要不充分条件得出限制a的不等式，解不
9、等式即得a的取值范围解答：解：p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a2+a0；解2x23x+10得，或x1，解x2（2a+1）x+a2+a0得xa，或xa+1；若p是q的必要而不充分条件；，解得0，即实数a的取值范围是故选A点评：考查由命题p，q求p，q，解一元二次不等式，必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念3（5分）如图，向量等于 （）ABCD考点：向量的三角形法则 专题：平面向量及应用分析：利用向量的三角形法则、坐标表示即可得出解答：解：由图可知：=故选：D点评：本题考查了向量的三角形法则、坐标表示，属于基础题4（5分）给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1
10、）上单调递减的函数序号是（）ABCD考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y=2x+1为增函数解答：解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为
11、指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件5（5分）已知=2，则tan（x+）的值为 （）A2B2CD考点：两角和与差的正切函数；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：直接利用诱导公式化简已知条件，求出正切函数值，利用两角和与差的正切函数求解即可解答：解：已知=2，即=2，tanx=tan（x+）=故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，基本知识的考查6（5分）把函数y=3cos（2x+）的图象向右平移m（m0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的值可以是 （）ABCD考点
12、：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由解析式的特点和题意，利用两角和的余弦公式对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值解答：解：函数y=3cos（2x+）由2x+=k，kZ，可解得对称轴方程x=，kZ，函数的图象向右平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，由对称轴的方程得，m的最小值是故选：B点评：本题主要考查三角函数的对称性，函数y=Acos（x+）的图象变换，属于中档题7（5分）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf（x）0的解集为（）A（，）B（0，
13、）C（，+）D（，）（0，）考点：导数的运算；函数的图象 专题：数形结合法分析：先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式xf（x）0的解集解答：解：由图可知：是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a0即是导函数f（x）的两个零点，导函数的图象如图，当x时，f（x）0，则x0，故是解集的一部分；同理也是解集的一部分故选D点评：本小题主要考查函数的图象、一元二次不等式的解法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8（5分）设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函
14、数f（x）满足f（x）f（x）对于xR恒成立，则 （）Af（2）e2f（0），fe2012f（0）Bf（2）e2f（0），fe2012f（0）Cf（2）e2f（0），fe2012f（0）Df（2）e2f（0），fe2012f（0）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：由f（x）f（x），利用导数与函数单调性的关系，判断出函数F（x）=是定义在R上的减函数，即可得答案解答：解：由f（x）f（x）得，f（x）f（x）0，F（x）=0，函数F（x）=是定义在R上的减函数，F（0）F（2），F（0）F，即F（0），F（0），即f（2）e2F（0），fe2012F（0），F（0）=f
15、（0），f（2）e2f（0），fe2012f（0），故选：D点评：考查利用导数研究判断函数单调性及导数的运算法则的运用，属于中档题，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷上9（5分）已知ABC中，a=4，b=4，A=30，则B等于30考点：正弦定理 专题：解三角形分析：根据a=b=4 且A=30，可得ABC为等腰三角形，可得B的值解答：解：ABC中，a=4，b=4，A=30，则ABC为等腰三角形，可得B=A=30，故答案为：30点评：本题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题10（5分）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是 3考点：对数函数的图像与性
16、质；函数的图象 专题：数形结合分析：先分别画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，再通过观察两个函数图象交点的个数即可解答：解：分别画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象：如图由图知：它们的交点个数是：3，故答案为：3点评：本小题主要考查对数函数的图象、分段函数的图象等基础知识，考查等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题11（5分）函数f（x）=Asin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则f（x）=2sin（2x）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由图象经过特殊点求得
17、的值，可得函数的解析式解答：解：由函数的图象可得A=2，=，=2再根据图象经过点（，2）可得2sin（2+）=2，结合，可得=，故有f（x）=，故答案为：2sin（2x）点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由图象经过特殊点求出的值，属于基础题12（5分）直线y=4x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积为8考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可解答：解：先根据题意画出图形，解得两个图象的解
18、答坐标分别是（0.0），（2，8），（2，8），得到第一象限部分的积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是02（4xx3）dx=（2x2）=4，直线y=4x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积为202（4xx3）dx=8；故答案为：8点评：考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题13（5分）关于函数f（x）=cos2x2sinxcosx，下列命题：若x1，x2满足x1x2=，则f（x1）=f（x2）成立；f（x）在区间，上单调递增；函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称；将函数f（x）的图象
19、向左平移个单位后将与y=2sin2x的图象重合其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2cos（2x+），对于，若x1，x2满足x1x2=，则f（x1）=2cos2（x2+）+=2cos（2x2+）=f（x2）成立，可判断；由2x+2，得：x，即f（x）在区间，上单调递增，从而可判断；易求f（）=0，函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，从而可判断；将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=f（x+）=2sin2x，可判断解答：解：f
20、（x）=cos2x2sinxcosx=cos2xsin2x=2（cos2xsin2x）=2cos（2x+），若x1，x2满足x1x2=，则f（x1）=2cos2（x2+）+=2cos（2x2+）=f（x2）成立，故正确；由2x+2，得：x，即f（x）在区间，上单调递增，故错误；因为f（）=2cos（2+）=0，所以函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，故正确；将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=f（x+）=2cos2（x+）+=2cos（2x+）=2sin2x，其图象与y=2sin2x的图象重合，故正确综上所述，正确的命题序号，故答案为：点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考
21、查正弦函数的单调性、对称性及函数y=Asin（x+）的图象变换，属于中档题14（5分）已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：对于任意a（0，+），函数f（x）是D上的减函数；对于任意a（，0），函数f（x）存在最小值；对于任意a（0，+），使得对于任意的xD，都有f（x）0成立；存在a（，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）考点：函数的单调性与导数的关系；命题的真假判断与应用 专题：综合题分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根解答：解：由对数函数知：
22、函数的定义域为：（0，+），f（x）=ex+a（0，+）f（x）=ex+0，是增函数所以不正确，a（，0），存在x有f（x）=ex+=0，可以判断函数有最小值，正确画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a（，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确故答案为：点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤15（12分）已知向量=（cos，sin），=（），（）当时，求的值；（）求|+|的取值范围考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模
23、 专题：计算题；平面向量及应用分析：（I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于的方程，结合同角三角函数的关系，得，结合的范围可得的值；（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|+|=，再结合的范围，利用正弦函数的图象与性质，可得|+|的取值范围解答：解：（），=（2分）整理，得又，=（6分）（）|=1，|=2，=|+|=（9分）（11分），可得，即|+|的取值范围是，3（13分）点评：本题给出向量坐标为含有的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题16（12分）已知函数f（x）=lnx+b在点（1，
24、3）处与y轴垂直（）求a，b的值；（）求函数f（x）在，2上的最大值和最小值考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：计算题；导数的综合应用分析：（）求出函数的导数，由条件可得f（1）=0且f（1）=3，即可得到a，b的值；（）求出函数f（x）的导数，求出极值点，列表分析函数在，2上的单调区间和极值，从而得到最小值和最大值解答：解：（）由于f（x）=lnx+b，则，则，解得；（）由于，则由f（x）=0x=1，列表如下x1（1，2）2y0+y4ln2单调递减极小值单调递增当x=1时，f（x）取得极小值即最小值：f（x）min=f（1）=3，由于，当时，f（x）取得最大
25、值点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题17（14分）已知向量=（2sin（x），1），=（cosx，），函数f（x）=（xR）（）求函数f（x）的最小正周期对称中心及单调减区间；（）已知ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）利用数量积得坐标运算，两角差的正弦公式，二倍角公式化简解析式，由周期公式、正弦函数的对称中心、的单调减区间，分别求出函数
26、f（x）对应的最小正周期、对称中心、单调减区间；（）根据f（C）=0和C的范围求出角C，再根据向量共线的坐标条件和正弦定理得b=2a，见那个c=3、C的值代入余弦定理化简，最后联立求出a、c的值解答：解：（）由题意得，=所以f（x）的最小正周期T=，令（kZ）得，kZ，f（x）的对称中心是（，1）（kZ），由，解得，所以f（x）的单调减区间：（）由f（C）=0得，=0，即，因为0C，所以，则，解得C=，因为向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，所以sinB2sinA=0，即sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a，又c=3，由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC，即9=a2
27、+b22abcos，由得，a=，b=点评：本题考查掌握数量积的坐标运算，两角和的正弦公式、二倍角公式，正弦、余弦定理，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，利用向量的数量积及其化简三角函数是解题的关键，考查知识广泛，比较综合18（14分）已知函数f（x）=ex（ax+b），曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2（）求常数a，b的值；（）证明：f（x）4x+2；（）是否存在常数k，使得当x2，1时，f（x）k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
28、某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）由已知条件得，由此能求出常数a，b的值（）记g（x）=f（x）（4x+2）=2ex（x+1）2（2x+1），则g（x）=2ex（x+2）4，当x=0时，g（x）=0，设t（x）=2ex（x+2）4，由此利用导数性质能证明f（x）4x+2（）x2，1时，f（x）k（4x+2）恒成立，当且仅当k，记h（x）=，x2，1，由此利用导数性质能求出常数k的取值范围解答：（）解：f（x）=ex（ax+b），f（x）=ex（ax+b）+aex，曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2，解得a=b=2（）证明：由（）知f（x）=ex（
29、2x+2），记g（x）=f（x）（4x+2）=2ex（x+1）2（2x+1），则g（x）=2ex（x+2）4，当x=0时，g（x）=0，设t（x）=2ex（x+2）4，则t（x）=2ex（x+3），当x3时，t（x）0，g（x）单调递增，当x3时，t（x）0，g（x）单调递减，显然当x2时，g（x）0，当x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0，g（x）g（0）=0，当且仅当x=0时等号成立，f（x）4x+2（）解：x2，1时，4x+20，f（x）k（4x+2）恒成立，当且仅当k，记h（x）=，x2，1，由h（x）=0，得x=0（舍），x=，当2时，h（x）0，h（x）=在区间2，1上的最大值
30、为h（）=，常数k的取值范围是，+）点评：本题考查常数的值的求法，考查不等式的证明，考查常数的取值范围的求法，解题时要注意构造法和导数性质的合理运用19（14分）已知函数，直线图象的一条对称轴（1）试求的值：（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，若的值考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x） 的解析式为2sin（2x+），根据直线图象的一条对称轴，故2sin（2+）=2，故有 2+=k+，kz，再由01，求
31、出 的值（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+），可得g（x）=2cos由 ，可得 cos（+）的值，再由sin=sin（+），利用两角和的正弦公式求得结果解答：解：（1）函数，f（x）=cos（2x）+sin（2x）=2sin（2x+）直线图象的一条对称轴，故2sin（2+）=2，即 sin（2+）=1，故有 2+=2k+，kz，故=3k+，kz再由01，可得k，=（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+），可得g（x）=2sin（x+）+=2cos由 ，可得 2cos =，故 cos（+）=故sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=点评：本题主要考查三角函数的
32、恒等变换及化简求值，函数y=Asin（x+）的图象变换，两角和的正弦公式，属于中档题20（14分）已知函数f（x）=lnxax2（12a）x（a0）（1）求函数f（x）的最大值；（2）求函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；（3）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，证明：kf（x0）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；导数的运算；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）首先求出函数的导函数，然后确定函数的极值，此题函数只有一个增区
33、间，一个减区间，函数的极大值就是最大值；（2）由（1）可知函数f（x）在区间（，2）上在x=1时取得最大值，当x=和x=2时的函数值君小于0，所以由最大值的符号分析函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数；（3）求出直线AB的斜率为k和f（x0），整理后把证明kf（x0）转化为证明构造函数g（x）=lnx （x1），利用导数证明该函数在（1，+）上为增函数征得结论解答：（1）解：由f（x）=lnxax2（12a）x（a0），得=函数f（x）的定义域为（0，+），当x（0，1）时，f（x）0，f（x）在（0，1）上为增函数；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上为减函数f（x）ma
34、x=f（1）=ln1a1+2a=a1（2）解：a0，ea1，0由（1）知：f（x）在上为增函数，在（1，2）上为减函数函数f（x）在区间（，2）上的f（1）=a1=0f（2）=ln24a2+4a=ln20当0a1时，函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数为0；当a=1时，函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数为1；当a1时，函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数为2（3）证明：不妨设x1x20，则=令g（x）=lnx （x1）=g（x）在（1，+）上为增函数，g（x）g（1）=0则，整理得：即kf（x0）点评：本题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查了函数构造法，属于2015届高考试卷中的压轴题
