1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数y=x2-3x+2的零点为()A.(1,0),(2,0)B.1,2C.1D.2解析:因为方程x2-3x+2=0的根为1,2,所以选B.答案:B2.下列图像中与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案:B3.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:因为f(x)=4x-2x+1-3为连续函数,f(1)=4-4-3=-30.因为f(1)f(2)0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2
2、).答案:C4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,ac0,则函数的零点个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解析:由二次方程的判别式得到=b2-4ac.又因为ac0.此方程有两个不等的实根.故选B.答案:B5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(xR)的部分对应值及符号如下表:x-3-2-101234y+m-5-5-n+则可判断方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是()A.(-3,-1)和(-1,1)B.(-1,1)和(1,2)C.(-3,-1)和(2,4)D.(-,-3)和(4,+)解析:结合图表中函数值正负转化的特点可判断.答案:C6.国家相继出台多项政策控制房地产行
3、业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%;超过280万元的部分按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元解析:设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%.解得a=320.答案:D7.若函数f(x)=x2+ax+b有两个不同的零点x1,x2,且1x1x20,b4.f(1)-1=f(3)-1=b-40,故f(1),f(3)两个函数值都小于1;当函数图像不关于直线x=2对称时,f(1),f(3)两个函数值中至少有一个小于1
4、.答案:B8.导学号85104096已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则()A.b(-,0)B.b(0,1)C.b(1,2)D.b(2,+)解析:由f(0)=0得d=0,因为f(1)=0,所以a+b+c=0.又因为f(-1)0,即-a+b-c0.+得2b0,所以b0.故选A.答案:A9.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)0,可得其中一个零点x0,第二次应计算.以上横线上应填的内容为()A.(0,0.5)f(0.25)B.(0,1)f(0.25)C.(0.5,1)f(0.75)D.(0,0.5)f(0.125)解析:因为f(0)0,所以
5、函数f(x)的一个零点x0(0,0.5),第二次计算f=f(0.25).答案:A10.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)解析:函数f(x)=作出函数f(x)的图像,如图所示.方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图像与y=a有三个不同的交点.根据图像可知,当0a0时是单调函数,则满足f(2x)=f的所有x之和为()A.-B.-C.-8D.8解析:x0时,f(x)单调且为偶函数,|2x|=,即2x(x+4)=(x+1).2x2+9x+1=0或2x2+7x-1=0.共
6、有四根.x1+x2=-,x3+x4=-,所有x之和为-=-8.答案:C12.设函数f(x)=n-1,xn,n+1),nN,函数g(x)=log2x,则方程f(x)=g(x)的实数根的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:画出f(x)和g(x)的图像,如下图所示,从图中不难看出方程f(x)=g(x)有3个零点.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.函数f(x)=2x-的零点是.解析:令f(x)=0,即2x-=0,2x=,2x2=2,所以x=1.答案:-1,114.若关于x的方程4x-k2x+k+3=0只有一个实数解,则实数k的取值范围是.解析:设
7、t=2x,t0,则关于x的方程4x-k2x+k+3=0可化为t2-kt+k+3=0.设f(t)=t2-kt+k+3,由于原方程只有一个实数解,则换元以后的方程有一个正根,f(0)0,k-3或k=6.答案:(-,-3)615.随着全球气候变暖,人们对环境保护更加关注.某校环保小组调查结果显示:某区垃圾量的年增长率为p,2016年产生的垃圾为a吨,由此预测,该区2018年的垃圾量为吨.解析:2016年产生的垃圾为a吨,年增长率为p,则2017年垃圾量为a(1+p)吨,2018年垃圾量为a(1+p)2吨.答案:a(1+p)216.导学号85104097某方程ln x-6+2x=0的解为x0,则不等式
8、xx0的最大整数解是.解析:令f(x)=ln x-6+2x,则f(1)=ln 1-6+2=-40,f(2)=ln 2-6+4=ln 2-20,2x03.不等式xx0的最大整数解为2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)的图像是连续不断的,x和f(x)有如下的对应值表:x-2-1.5-1-0.500.511.52f(x)-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89问函数f(x)在哪几个区间上一定有零点(区间为表中的最小区间)?为什么?解:因为函数的图像是连续不断的,并且由对应值表可知
9、f(-2)f(-1.5)0,f(-0.5)f(0)0,f(0)f(0.5)0,y0时x的取值范围.解:解二次方程-x2-2x+3=0,得x1=-3,x2=1.所以函数y=-x2-2x+3的零点为-3,1.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,画出这个函数的简图,如图所示,可以看出当-3x0.当x1时,y0时,x的取值范围是(-3,1);当y0时,x的取值范围是(-,-3)(1,+).19.(12分)大海中的两艘船如右图所示,甲船在A处,乙船在A处正东50 km的B处,现在甲船从A处以20 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B处以10 km/h的速度向正西方向航行,则经过多少小时后,两
10、船相距最近?解:设t小时后,甲船到达M处,乙船到达N处,则AM=20t,AN=50-NB=50-10t,这时两船相距y=MN=,故当t=1时,y取最小值,两船相距最近.20.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司的总收益
11、;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?解:(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元所以总收益f(50)=3-6+70+2=43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,依题意得解得40x80.故f(x)=-x+3+26(40x80).令t=,则t2,4,所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.21.(12分)求函数f(x
12、)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确到0.1).解:由于f(1)=-60,可取区间1,2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0=1,b0=2f(1)=-6,f(2)=41,2x1=1.5f(x1)=-2.62501.5,1.75x3=1.625f(x3)-1.302 701.625,1.75x4=1.687 5f(x4)-0.561 801.687 5,1.75x5=1.718 75f(x5)-0.17101.718 75,1.734 375至此可以看出,区间1.718 75,1.734 375内的所有值精确到0.1都为1.7
13、,所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解,即为函数的一个正数零点.22.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间-1,3上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出范围;若不存在,请说明理由.解:若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0,所以a-或a1.检验:(1)当f(-1)=0时,a=1,所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,解得x=0,或x=-1.方程在-1,3上有两根,不合题意,故a1.(2)当f(3)=0时,a=-,此时,f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在-1,3上有两根,不合题意,故a-.综上所述,a(1,+).
