1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下列说法错误的是()A.若直线l1l2,则它们的斜率之积互为负倒数B.若直线l1l2,则两直线的斜率相等或都不存在C.若两条直线中,一条直线的斜率存在,而另一条直线的斜率不存在,则两条直线一定垂直D.两条不重合直线的倾斜角的正弦值相等,则这两条直线平行解析若两直线垂直,则两直线的斜率之积为-1或其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0,据此知A,C错误;两直线平行,可能两直线斜率都不存在,故B正确;因为60和120的正弦值相等,但两直线不平行,所以D错误.答案ACD2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P
2、(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.17C.2D.12解析由kAB=kPQ,得0-(-2)5-2=m-1-1-2m,即m=17.答案B3.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为()A.1B.0C.0或1D.0或2解析(方法1)A(m,3),B(2m,m+4),直线AB的一个方向向量为AB=(m,m+1).C(m+1,2),D(1,0),直线CD的一个方向向量为CD=(-m,-2).由直线AB与直线CD平行,得m(-2)-(m+1)(-m)=0,解得m=0或m=1.经检验,当m=0或m=1时,
3、两直线不重合.故选C.(方法2)当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在,此时ABCD,满足题意.当m0时,kAB=m+4-32m-m=m+1m,kCD=2-0m+1-1=2m,由题意得kAB=kCD,即m+1m=2m,解得m=1.经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.答案C4.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形解析易知kAB=-1-12+1=-23,kAC=4-11+1=32,kABkAC=-1,ABAC,A为直角.答案C5.已知l1的倾斜角为60,l2
4、经过点M(1,3),N(-2,-23),则直线l1与l2的位置关系是.解析由题意知,k1=tan60=3,k2=-23-3-2-1=3,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.答案平行或重合6.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为.解析由题意得kPQ=3-a-b3-b-a=1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.答案-17.已知ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得kAB=6-(-4)6-(-2)=54,kBC=6-66-0=0,kAC=6-(-4)
5、0-(-2)=5.由kBC=0知直线BCx轴,故BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1kAB=-1,k2kAC=-1,即54k1=-1,5k2=-1,解得k1=-45,k2=-15.综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;AB边上的高所在直线的斜率为-45;AC边上的高所在直线的斜率为-15.关键能力提升练8.已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,1)D.(3,8)解析设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为kAB,kDC,kA
6、D,kBC,由题意,得ABDC,ADBC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,所以0-11-0=3-n4-m,n-1m-0=3-04-1,解得m=3,n=4.所以顶点D的坐标为(3,4).答案A9.已知ABC的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为()A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)解析设A的坐标为(x,y),由已知得,AHBC,BHAC,且直线AH,BH的斜率存在,所以kAHkBC=-1,kBHkAC=-1,即y-2x+3(-14)=-1,(-15)y-3x+6=-1,解得x=-19,y=-62,即顶
7、点A的坐标为(-19,-62).答案A10.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是()A.19B.194C.5D.4解析由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得COA=90,所以CBA=90,所以ABBC,所以kABkBC=-1,即4-03-24-y3-0=-1,解得y=194.故选B.答案B11.(多选题)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论中正确的是()A.PQSRB.PQPSC.PSQSD.RPQS解析由斜率公式知,kPQ=-4-
8、26+4=-35,kSR=12-62-12=-35,kPS=12-22+4=53,kQS=12+42-6=-4,kPR=6-212+4=14,所以PQSR,PSPQ,RPQS.而kPSkQS,所以PS与QS不平行,故ABD正确.答案ABD12.(2020浙江嘉兴一中高二检测)直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1l2,则m=;若l1l2,则m=.解析由根与系数的关系,知k1k2=m2,若l1l2,则k1k2=m2=-1,得m=-2;若l1l2,则k1=k2,=16-8m=0,得m=2.答案-2213.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,点
9、D使直线CDAB,且CBAD,则点D坐标为.解析设D(x,y),则kCD=yx-3,kAB=3,kCB=-2,kAD=y+1x-1.kCDkAB=-1,kAD=kCB,yx-33=-1,y+1x-1=-2,x=0,y=1,即D(0,1).答案(0,1)14.已知直线l1,l2不重合,直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-1n,若l1l2,l2l3,则实数m+n的值为.解析由题意可得,直线l1的斜率为4-mm+2,直线l2的斜率为-2,且l1l2,所以4-mm+2=-2,解得m=-8.由于直线l3的斜率为-1n,因为l2l3,所以(-2)-1n=-1
10、,解得n=-2,所以m+n=-10.答案-1015.已知直线l的倾斜角为30,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.解易知直线l1的倾斜角为30+30=60,直线l1的斜率k1=tan60=3.当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1l2.当m1时,直线AB的斜率kAB=m-1-21-m=m-31-m,线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=m-1m-3.l1与l2平行,k1=k2,即3=m-1m-3,解得m=4+3.
11、综上,实数m的值为4+3.学科素养创新练16.已知三个点A(2,2),B(-5,1),C(3,-5),试求第四个点D的坐标,使这四个点构成平行四边形.解若以AC为对角线,则形成ABCD1,设D1(x1,y1).由于BCAD1,ABCD1,kBC=kAD1,kAB=kCD1,1+5-5-3=y1-2x1-2,2-12+5=y1+5x1-3,解得x1=10,y1=-4,即D1(10,-4).若以BC为对角线,则形成ACD2B.设D2(x2,y2),同理可得2+52-3=y2-1x2+5,2-12+5=y2+5x2-3,解得x2=-4,y2=-6,即D2(-4,-6).若以AB为对角线,则形成ACBD3.设D3(x3,y3),同理可得2+52-3=y3-1x3+5,1+5-5-3=y3-2x3-2,解得x3=-6,y3=8,即D3(-6,8).故当点D的坐标为(10,-4)或(-4,-6)或(-6,8)时,这四个点构成平行四边形.
