1、第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量课后篇巩固探究基础巩固1.给出下列四个命题:在某次数学期中考试中,一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量;黄河每年的最大流量是随机变量;某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析是正确的,中方程x2-2x-3=0的根有2个,是确定的,不是随机变量.答案C2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是()A.小球滚出的最大距离B.
2、倒出小球所需的时间C.倒出的3个小球的质量之和D.倒出的3个小球的颜色的种数解析对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,可以预见,结果只有一种,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.答案D3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是()A.5B.9C.10D.25解析X的可能取值是2,3,4
3、,5,6,7,8,9,10,共9个.答案B4.一串5把外形相同的钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大值可能为()A.5B.2C.3D.4解析由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙,但锁此时未打开,故试验次数为4.答案D5.抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则X的所有可能取值为()A.0X5,XNB.-5X0,XZC.1X6,XND.-5X5,XZ解析设x表示第一枚骰子掷出的点数,y表示第二枚骰子掷出的点数,X=x-y,且(x-y)Z.|x-y|1-6|,即-5X5.答案D6.一用户在打电话时忘了
4、号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为,则随机变量的所有可能取值的种数为()A.24B.20C.4D.18解析由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有A44=24种.答案A7.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为,则=k表示的试验结果为()A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品解析由题意,得=k表示第一
5、次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是次品,故选D.答案D8.已知Y=2X为离散型随机变量,Y的可能取值为1,2,3,10,则X的可能取值为.解析分别将Y的取值1,2,3,10代入Y=2X中,得X=12,1,32,2,52,3,72,4,92,5.答案12,1,32,2,52,3,72,4,92,59.下面给出三个变量:(1)2013年地球上发生地震的次数.(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的粒子数.(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.其中是随机变量的是.解析(1)2013年地球上发生地震的次数是确定的,故不是随机变量;(2)发
6、出的粒子数是变化的,有限的,是随机变量;(3)通过的宝马车的辆数X可取的值是变化的,是随机变量.答案(2)(3)10.某篮球运动员在罚球时,罚中1球得2分,罚不中得0分,该队员在5次罚球中命中的次数X是一个随机变量.(1)写出X的所有可能取值及每一个取值所表示的试验结果;(2)若记该队员在5次罚球后的得分为Y,写出所有Y的取值及每一个取值所表示的试验结果.解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.它们表示在5次罚球中分别罚中0次,1次,2次,3次,4次,5次.(2)Y的所有可能取值为0,2,4,6,8,10.它们表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.11.写出下列各
7、随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果.(1)小明要去北京旅游,可能乘火车、乘汽车,也可能乘飞机,旅费分别为100元、300元和600元,将他的旅费记为;(2)正方体的骰子,各面分别刻着1,2,3,4,5,6,随意掷两次,所得的点数之和为;(3)一个人要开房门,他共有10把钥匙,其中仅有一把是能开门的,他随机取钥匙去开门并且用后不放回,其中打开门所试的钥匙个数为;(4)电台在每个整点都报时,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间(min).解(1)可能的取值为100,300,600,分别表示所花的旅费为100元,300元和600元.(2)可能的取值为2,3,4,5,6,7,8
8、,9,10,11,12.分别表示所掷点数为1,1;1,2或2,1;1,3或3,1或2,2;6,6.(3)可能的取值为1,2,3,10.=n表示第n次打开房门(n取1,2,3,10).(4)可能的取值为区间0,60内任何一个值,每一个可能取的值表示他所等待的时间.能力提升1.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是()A.6B.7C.10D.25解析X的所有可能值有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共计10个.答案C2.若实数xR,记随机变量=1,x(0,+),0,x=0,
9、-1,x(-,0),则不等式1x1的解集所对应的的值为()A.1B.0C.-1D.1或0解析不等式1x1,可化为1x-1=1-xx0,它等价于x(1-x)0,x0,解得0x1.而当x(0,1时,=1.故选A.答案A3.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有种.解析X=8表示“3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个编号中选2个”,有C72种选法,即X=8表示的试验结果有21种.答案214.一个袋中装有5个白球和5个红球,从中任取3个,其中所含白球的个数记为,则随机变量的值域为.
10、解析依题意知,的所有可能取值为0,1,2,3,故的值域为0,1,2,3.答案0,1,2,35.一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y的可能取值,并判定Y的随机变量类型.解(1)X0123结果取得3个黑球取得1个白球,2个黑球取得2个白球,1个黑球取得3个白球(2)由题意可得Y=5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,所以Y对应的取值为50+6,51+6,52+6,53+6.故Y的可能取值为6,
11、11,16,21,显然Y为离散型随机变量.6.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定:一次购买少于或等于50只的无优惠;多于50只的,超出的部分按原价的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数是一个随机变量,那么他所付款是否也为一个随机变量呢?,有什么关系呢?解所付款也是一个随机变量,且=506+(-50)60.7=4.2+90,50,80,N.7.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答3个问题,组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目,3道科技类题目,2道体育类题目,
12、测试时,每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目做答.记某选手抽到科技类题目的道数为X.(1)试求出随机变量X的可能取值.(2)X=1表示的试验结果是什么?可能出现多少种不同的结果?解(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.(2)X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.从三类题目中各抽取一道有C51C31C21A33=180(种)不同的结果.抽取1道科技类题目,2道文史类题目有C31C52A33=180(种)不同的结果.抽取1道科技类题目,2道体育类题目,有C31C22A33=18(种)不同的结果.所以可能出现180+18
13、0+18=378(种)不同的结果.8.(选做题)写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数X;(2)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.思路点拨先分析试验结果,确定随机变量的所有可能取值,然后写出随机变量的取值所表示的事件.解(1)X的所有可能取值为0,1,2.X=0表示所取的3个球是3个黑球;X=1表示所取的3个球是1个白球,2个黑球;X=2表示所取的3个球是2个白球,1个黑球.(2)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.用(a,b)表示一个基本
14、事件,其中a为第一枚骰子掷出的点数,b为第二枚骰子掷出的点数.Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同,其包含的基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1,其包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2,其包含的基本事件有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4).Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3,其包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3).Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4,其包含的基本事件有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2).Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5,其包含的基本事件有(1,6),(6,1).
