1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M,B1D1的中点为N,若以为标准正交基,则的坐标为()A.B.C.D.答案C2.如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则)=()A.B.C.D.答案C3.若向量a=(1,0),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则实数等于()A.0B.-C.0或-D.0或答案C4.已知O-ABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且O
2、G=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A.B.C.D.答案A5.设xy0z,空间向量m=,n=,且x2+9z2=4y(x-y),则mn的最小值是()A.2B.4C.2D.5答案B6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF与A1D,AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面答案B7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BHOA,则点H的坐标为()A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)C.D.答案C8.如图,
3、正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是()A.30B.45C.60D.90答案A9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.答案B10.如图,在四面体P-ABC中,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案C11.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能
4、取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.0答案B12.已知平面与平面的夹角为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知l,且l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为,则m=.答案-814.下列关于空间向量的说法中,正确的有.(填序号)若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则ab;若非零向量a,b,c满足ab,bc,则有ac;若是空间的一个基底,且,则A,B,C,D四点共面;若向量a+b,b+c,c+a
5、是空间的一个基底,则a,b,c也是空间的一个基底.答案15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=(-6,2,-8),=(4,-2,3),=(-4,1,0),则该三棱柱的高为.答案216.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,平面ABC与平面ABDE的夹角的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为.答案三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求ABC的面积;(2)求ABC中AB边上的高.解(1)由已知,得=(1,-3,
6、2),=(2,0,-8),|=,|=2=12+(-3)0+2(-8)=-14,cos=,sin=.SABC=|sin=2=3.(2)设AB边上的高为CD,则|=3,即ABC中AB边上的高为3.18.(满分12分)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线BC平行于平面DAC,并求直线BC到平面DAC的距离.解如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0).设平面DAC的法向量n=(u,v,w),则n,n.因为=(1,0,1),=(0,2,1),n=0,n=0,所以解得u=2v,
7、w=-2v.取v=1,得平面DAC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n=0,所以n.又BC不在平面DAC内,所以直线BC与平面DAC平行.由=(1,0,0),得点B到平面DAC的距离d=,所以直线BC到平面DAC的距离为.19.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PB底面ABC,BCA=90,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.(1)求证:BE平面PAC;(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.解(1)PB底面ABC,且AC底面ABC,ACPB.由BCA=90,可得ACCB.又PBCB=B,AC平面PBC.BE平面PBC,
8、ACBE.PB=BC,E为PC的中点,BEPC.PCAC=C,BE平面PAC.(2)以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),.设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),由m=0,m=0,得x+y+z=0,x+z=0.取x=1,则y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面BEF的一个法向量.又=(-2,-2,0),cos=-,直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.20.(满分12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=,OA底
9、面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)求证:直线MN平面OCD;(2)求异面直线AB与MD夹角的大小;(3)求点B到平面OCD的距离.解 作APCD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1)证明:.设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0,即取z=,解得n=(0,4,).n=(0,4,)=0,又MN平面OCD,MN平面OCD.(2)设AB与MD的夹角为,=(1,0,0),cos =.=,即AB与MD的夹角的大小为.(3)点B到
10、平面OCD的距离为d=,点B到平面OCD的距离为.21.(满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足=(01).(1)若=,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;(2)若平面PA1C与平面A1BC的夹角的正弦值为,求的值.解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2).(1)由=得,=(1,0,-2),=(0,1
11、,-2).设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).设直线PC与平面A1BC所成的角为,则sin =|cos|=,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(1,0,2-2),由不妨取z2=1,则x2=2-2,y2=2,所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2,2,1).则cos=.又因为二面角P-A1C-B的正弦值为,所以,化简得2+8-9=0,解得=1或=-9(舍去),故的值为1.22.(满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中
12、,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD夹角的大小.(1)证法一连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BEHF.在ABC中,G为AC
13、的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解法一设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1).可得H,F(0,1),故=(0,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),所以cos=.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60.解法二作HMAC于点M,作MNGF于点N,连接NH.由FC平面ABC,得HMFC,又FCAC=C,所以HM平面ACFD.因此GFNH,所以MNH即为所求的角.在BGC中,MHBG,MH=BG=,由GNMGCF,可得,从而MN=.由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMN,因此tanMNH=,所以MNH=60.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60.
