1、第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升1.已知方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+)解析依题意有k-410-k0,解得7k0,n0),则16m=1,4n=1,解得m=116,n=14,故选D.答案D3.已知椭圆x26+y22m=1的一个焦点为(0,2),则m的值为()A.1B.3C.5D.8解析因为x26+y22m=1,椭圆的一个焦点为(0,2),所以椭圆的焦点在y轴上,所以a2=2m,b2=6.因为c2=a2-b2=2m-6=4,所以m=5.故选C.答案C4.
2、ABC的周长是8,B(-1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是()A.x29+y28=1(x3)B.x29+y28=1(x0)C.x24+y23=1(y0)D.x23+y24=1(y0)解析ABC的两顶点B(-1,0),C(1,0),周长为8,BC=2,AB+AC=6,62,点A到两个定点的距离之和等于定值,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不包含左右两端点),且2a=6,c=1,b=22,椭圆的标准方程是x29+y28=1(x3).故选A.答案A5.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则AF2B的周长为()A.10B.12C
3、.16D.20解析由椭圆x225+y29=1可得a=5,AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以AF2B周长=4a=20.故选D.答案D6.设椭圆x2m2+y24=1过点(-2,3),那么焦距等于.解析因为椭圆x2m2+y24=1过点(-2,3),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=43.答案437.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1
4、|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.解析由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2.所以b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为x24+y23=1.答案x24+y23=18.若方程x27-m+y2m-1=1表示椭圆,则实数m的取值范围是.解析根据椭圆标准方程的形式,可知方程x27-m+y2m-1=1表示椭圆的条件是7-m0,m-10,7-mm-1,解得1mb0),由椭圆过点P(3,0),知9a2+0b2=1.又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0)
5、.由椭圆过点P(3,0),知0a2+9b2=1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+x29=1.故椭圆的标准方程为y281+x29=1或x29+y2=1.10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1,142.解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆的定义知2a=(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2=12,所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2=42.所以椭圆的标准方程为y236+x232
6、=1.(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由题意得18a2+16b2=1,a2=b2+4,解得a2=36,b2=32.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(2)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由已知条件得4a2+2b2=1,1a2+144b2=1,解得1a2=18,1b2=14.所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).将两点(2,-
7、2),-1,142代入,得4A+2B=1,A+144B=1,解得A=18,B=14,所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.11.(选做题)如图所示,ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=2012.B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且2012=|BC|,G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为x2100+y264=1(x10).设G(x,y),A(x,y),则有x2100+y264=1.由重心坐标公式知x=x3,y=y3,故A点轨迹方程为(x3)2100+(y3)264=1,即x2900+y2576=1(x30).
