1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:xR,x1,则命题p为()A.xR,x1B.x0R,x01C.xR,x-1D.x0R,x0-1解析全称命题的否定是特称命题.答案B2.设向量a=(2,2,0),b=cos ,-12,1(0180),若ab,则角=()A.30B.60C.120D.150解析ab=2cos+2-12+01=0得cos=12,因为0b,cd”是“a+cb+d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析根据不等式的可加性可得ab,cda
2、+cb+d成立;反之不成立,例如取c=5,d=1,a=2,b=3,满足a+cb+d,但是ab不成立,所以“ab,cd”是“a+cb+d”的充分不必要条件.故选A.答案A5.下列命题中,真命题是()A.对于任意xR,2xx2B.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题C.“平面向量a,b的夹角是钝角”的充分不必要条件是“abx2,当x=2时,不等式不成立,所以A不正确;对于B,若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个是假命题,不一定均为假命题,所以B不正确;对于C,“ab0”推出“平面向量a,b的夹角是钝角或平角”,又“平面向量a,b的夹角是钝角”可推出“ab0”,所以“平面向量a,b的夹角是钝
3、角”的必要不充分条件是“abb0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.线段解析P为MF1中点,O为F1F2的中点,其中F2为椭圆的右焦点,OP=12MF2.又MF1+MF2=2a,PF1+PO=12MF1+12MF2=a.P的轨迹是以F1,O为焦点的椭圆.答案A7.在空间四面体O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P是MN的三等分点(靠近N),若OA=a,OB=b,OC=c,则OP=()A.13a+16b+16cB.16a+13b+13cC.12a+16b+13cD.16a+12b+13c解析由题意可得:AN=12(A
4、B+AC)=12(OB-OA)+(OC-OA)=12(b+c)-a,MN=MA+AN=12a+12(b+c)-a=12(b+c-a),OP=OM+23MN=12a+13(b+c-a)=16a+13b+13c.故选B.答案B8.经过点(3,-2)的双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),其一条渐近线方程为y=33x,该双曲线的焦距为()A.2B.2C.22D.4解析点(3,-2)在双曲线x2a2-y2b2=1上,可得9a2-2b2=1.又渐近线方程为y=bax,一条渐近线方程为y=33x,可得ba=33,解得a=3,b=1.所以c=a2+b2=2,焦距为2c=4.故选D.答案D9.已知向量a
5、=(2,1,0),b=(-1,1,1),且a+b与ka-b互相垂直,则k的值是()A.1B.12C.-1D.13解析因为向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),所以a+b=(1,2,1),ka-b=(2k+1,k-1,-1),又a+b与ka-b互相垂直,所以(a+b)(ka-b)=0,即1(2k+1)+2(k-1)+1(-1)=0,解得k=12.故选B.答案B10.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.6D.5解析双曲线的一条渐近线为y=bax,由y=bax,y=x2+1,消y得x2-bax+1=0.由题意
6、,知=-ba2-4=0,b2=4a2.又c2=a2+b2,c2=a2+4a2=5a2.ca=5.答案D11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=6,则AA1与平面AB1C1所成的角为()A.6B.4C.3D.2解析在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=6,建立以A为坐标原点,直线AC,AB,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图.则A1(0,0,6),A(0,0,0),B1(0,2,6),C1(2,0,6),则AB1=(0,2,6),AC1=(2,0,6),设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),AA1=(
7、0,0,6),则mAB1=2y+6z=0,mAC1=2x+6z=0,令z=1,则x=-62,y=-62,即m=-62,-62,1,则AA1与平面AB1C1所成的角满足sin=|cos|=66-622+-622+1=12,则=6,故选A.答案A12.已知点P1,32是椭圆x24+y23=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足PA+PB=3PO,则直线AB的斜率为()A.-12B.-22C.12D.22解析设A(x1,y1),B(x2,y2).PA+PB=3PO,点P1,32,x1-1,y1-32+x2-1,y2-32=3-1,-32.x1+x2=-1,y1+y2=-32.把A,B代入椭圆方程,
8、得3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)4(y1+y2).x1+x2=-1,y1+y2=-32,kAB=y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)4(y1+y2)=-12.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线x2-y23=1的渐近线方程为,焦点坐标为.解析双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=3x,焦点坐标为(2,0).答案y=3x(2,0)14.若抛物线y2=2px(p0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物
9、线方程为.解析抛物线y2=2px(p0)上一点到对称轴的距离为6,设该点为P,则P的坐标为(x0,6).P到抛物线的焦点Fp2,0的距离为10,由抛物线的定义,得x0+p2=10.点P是抛物线上的点,2px0=36,由联立,解得p=2,x0=9或p=18,x0=1,抛物线方程为y2=4x或y2=36x.答案y2=4x或y2=36x15.已知点P是椭圆x29+y25=1上的一点,F1,F2是焦点,且F1PF2=90,则F1PF2的面积为.解析由椭圆x29+y25=1知,|PF1|+|PF2|=2a=6.又F1PF2=90,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16,而|PF1|2+|PF2
10、|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=16,解得|PF1|PF2|=10,所以F1PF2的面积为S=12|PF1|PF2|=5.故答案为5.答案516.在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则DEAC=.解析E是BC的中点,DE=DA+AE=DA+12(AB+AC).DEAC=(DA+AE)AC=DA+12(AB+AC)AC=DAAC+12ABAC+12ACAC=|DA|AC|cos120+12|AB|AC|cos60+2=-2+1+2=1.故答案为1.答案1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+50,q:x2-2x+
11、1-m20(m0).(1)若m=2,且pq为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.解(1)由x2-6x+50,得1x5,p:1x5.当m=2时,q:-1x3.若pq为真,p,q同时为真命题,则1x5,-1x3,即1x3.实数x的取值范围为1,3.(2)由x2-2x+1-m20,得q:1-mx1+m.p是q的充分条件,m0,1-m1,1+m5,解得m4.实数m的取值范围为4,+).18.(本小题满分12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EGAC;(2)求证:平面EFG平面AB1C.证明
12、把AA1,AB,AD作为空间的一个基底.(1)因为EG=ED1+D1G=12AD+12AB,AC=AB+AD,所以AC=2EG.所以EGAC.(2)由(1)知EGAC,又AC平面AB1C,EG平面AB1C,所以EG平面AB1C.因为FG=FD1+D1G=12AA1+12AB,AB1=AB+AA1,所以AB1=2FG.所以FGAB1.又AB1平面AB1C,FG平面AB1C,所以FG平面AB1C.又EGFG=G,所以平面EFG平面AB1C.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+a16的定义域为R;命题q:不等式3x-9xa对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实
13、数a的取值范围;(2)如果“pq”为真命题,且“pq”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则:当a=0时,定义域为x|x0,1-4aa160,a2或a2.因此,实数a的取值范围为(2,+).(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x1,y=t-t2.当t=1时,ymax=0,所以a0.若命题“pq”为真命题,且“pq”为假命题,则p,q一真一假.若p真q假,则a2,ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P.证明:OM
14、OP为定值.(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,b2=2.椭圆方程为x24+y22=1.(2)证明C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).直线CM:y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,得1+y028x2+12y02x+12y02-4=0.x1=-124(y02-8)y02+8,x1=-2(y02-8)y02+8,y1=8y0y0
15、2+8.OP=-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8.OPOM=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQDP.MQ=(m-2,-y0),DP=-4y02y02+8,8y0y02+8,则由MQDP=0得-4y02y02+8(m-2)-8y02y02+8=0,从而得m=0.存在Q(0,0)满足条件.21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD=2,AB=2,M是棱PD上一点,且DM=DP,01.(1)当=13时,求直线AM与PC所成角的余弦值
16、;(2)当CMBD时,求二面角M-AC-B的大小.解(1)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设M(x,y,z),则DM=DP=(0,-2,2)(01),AM=AD+DM=(0,2-2,2),当=13时,AM=0,43,23,PC=(2,2,-2),cos=AMPC|AM|PC|=25,直线AM与PC所成角的余弦值为25.(2)BD=(-2,2,0),CM=CD+DM=(-2,-2,2),当CMBD时,CMBD=2-4=0,解得=12,此时,AM=(0,1,1),
17、AC=(2,2,0),设平面MAC的一个法向量n=(x,y,z),则nAM=y+z=0,nAC=2x+2y=0,取z=1,得n=(2,-1,1),又平面BAC的一个法向量AP=(0,0,2),cos=nAP|n|AP|=222=12,由图象得,二面角M-AC-B是钝二面角,二面角M-AC-B的大小为120.22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1(b0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,且OMAB=-32b2.(1)求椭圆的离心率;(2)四边形ABCD内接于椭圆,ABCD.记直线AD,BC的斜率分别为k1、k2,求证:k1
18、k2为定值.(1)解A(2,0),B(0,b),线段AB的中点M1,b2.AB=(-2,b),OM=1,b2.OMAB=-32b2,-2+b22=-32b2,解得a=2,b=1.c=a2-b2=3,椭圆的离心率e=ca=32.(2)证明由(1)得椭圆的标准方程为x24+y2=1,A(2,0),B(0,1),直线BC的方程为y=k2x+1,联立y=k2x+1,x24+y2=1,得(1+4k22)x2+8k2x=0,解得xC=-8k21+4k22,yC=1-4k221+4k22,即C-8k21+4k22,1-4k221+4k22,直线AD的方程为y=k1(x-2).联立y=k1(x-2),x24+y2=1,化为(1+4k12)x2-16k12x+16k12-4=0,2xD=16k12-41+4k12,解得xD=8k12-21+4k12,yD=-4k11+4k12,D8k12-21+4k12,-4k11+4k12,kCD=yC-yDxC-xD=-12,化为1-16k12k22+2k1-2k2+8k1k22-8k2k12=0,k1k2-14(4k1k2-2k2+2k1+1)=0,k1k2=14为定值.
