1、课时跟踪检测（十四） 椭圆的简单性质一、基本能力达标1(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2b D3a4b解析：选B因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.2中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A因为2a18,2c2a6，所以a9，c3，b281972.3设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.解析：选C由题意可得|PF2|
2、F1F2|，22c.3a4c.e.4已知P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，则m2n2的取值范围是()A(0,1 B1,2C(0,2 D2，)解析：选B因为P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，所以m21，即n222m2，所以m2n22m2，又1m1，所以12m22，所以1m2n22，故选B.5若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为_解析：椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，2，m.答案：6焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为_解析：|F1F2|2c
3、8，e，a5，|MF1|MF2|2a10，|MF1|2，|MF2|8.又O，N分别为F1F2，MF1的中点，ON是F1F2M的中位线，|ON|MF2|4.答案：47求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)解：(1)依题意设椭圆的标准方程为1(ab0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a12，即a6.椭圆的离心率为，e，b29.椭圆的标准方程为1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，则b9，因为c7，所以a2b2c
4、28149130，所以椭圆的标准方程为1.8A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率解：如图，连接BF2.AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，F2BAF1.又BF2F130，|F1F2|2c，|BF1|c，|BF2|c，根据椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，1.椭圆的离心率e为1.二、综合能力提升1若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选D依题意得，c2b，ab，e.2已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A
5、1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e .3若O和F分别为椭圆1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C由题意得点F(1,0)设点P(x0，y0)，则有1，可得y3.(x01，y0)，(x0，y0)，x0(x01)yx0(x01)3x03.此二次函数的图像的对称轴为直线x02.又2x02，所以当x02时，取得最大值，最大值为236.4已知椭圆1(ab0)，A，B分
6、别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2.将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因为e0，所以e.答案：5已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1.于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1，0)，(1,0)
7、，.6设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|3|F1B|. (1)若|AB|4，ABF2 的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E 的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.
