1、霍市一中2021级高一年级下学期第一次月考数学试题一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.向量满足，则向量与的夹角为（ ）A. 45B. 60C. 90D. 1202.在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c已知，则b的值为（）ABCD3.=（ ）A.B.-C.-1D.14.已知向量，若，则（）A. 8B. 12C. D. 5.若，则（ ）A. B. C. D. 6.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若m+n，则mn的值为（）AB1C1D7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,=,若=-4,则cosDAB=()A.
2、B.C.D.8.已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知，ABC的面积，则ABC的外接圆的直径为（ ）AB5 CD9.如图，在ABC中，=，P是BN上的一点，若，则实数的值（）A. B. C. D. 10已知A，B均为钝角，sin2，且sin B，则AB()ABCD11.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是()A.-=B.+=C.-=D.+=12如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=2,ACD为正三角
3、形,则BCD面积的最大值为()A.2+2B.C.+2D.+1二、 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.在ABC中,若a=b,b=c,则三个内角中最大角的余弦值为.14.如图所示,在菱形ABCD中,AB=,AC=2BD,点E为CD的中点,则=.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_16.已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A
4、BC的面积为_.三、解答题（本题6道题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos的值18.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,向量，且；（1）求；（2）若，求B的大小。19.（12分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知a2,c3，又知bsinAacos（B）（）求角B的大小、b边的长：（）求sin（2AB）的值20.（12分）如图,在四边形ABCD中,AC=,CD=2AD,ADC=.(1)求CAD的正弦值;(2
5、)若BAC=2CAD,且ABC的面积是ACD的面积的4倍,求AB的长.21.（12分）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQOA（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本22. （12分）在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且；（1） 求A的值
6、；（2） 若a+1=c,b2,求得周长的取最小值时，求b的值；（3） 若，且的面积为，求CD的长度。霍市一中2021级高一年级下学期第一次月考理科数学参考答案1.C分析：根据列方程，化简后求得，由此求得向量与夹角.解答：，向量与的夹角为90.故选：C2.B【分析】根据，利用正弦定理求解.【详解】在中，因为，由正弦定理得：，所以，故选：B3.【解析】选B.原式=-=-=-=-.4.C【分析】根据平行得出，求出，即可得出模.【详解】因为，所以，解得，所以，故.故选：C.5.C将式子进行齐次化处理得：故选：C6.A解：如图所示，由已知可得，又，所以m，所以mn，故选：A7.A解析平行四边形ABCD中
7、,AB=4,AD=3,E是边CD的中点,=,=+=+,=-=-,=+-=-=32-42-34cosBAD=6-8-8cosBAD=-4,cosBAD=,故选A8.C9.C【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.【详解】由，可得，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，故选C.10.Csin2cos，整理得sin A.又A，B均为钝角，cos A，cos B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又AB2，AB，故选C.11.答案A由题意得,-=-=,所以A正确;+=+=,所以B错误;-=-=,所以C错误;+=+,=-,若+=,则=0,不合题
8、意,所以D错误.故选A.12. 答案D在ABC中,设ABC=,ACB=,由余弦定理得:AC2=12+22-212cos,ACD为正三角形,CD2=AC2=5-4cos,SBCD=2CDsin=CDsin=CDcos+CDsin,在ABC中,由正弦定理:=,ACsin=sin,CDsin=sin,(CDcos)2=CD2(1-sin2)=CD2-sin2=5-4cos-sin2=(2-cos)2,bc,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-2c2cosA,得cosA=-.14.【解析】在菱形ABCD中,ACBD,所以分别以AC,BD所在直线为x,y轴,建立如图
9、平面直角坐标系,因为AC=2BD,所以设A(-2x,0),B(0,-x),C(2x,0),D(0,x),x0,且AB=,所以4x2+x2=5,解得x=1,所以A(-2,0),C(2,0),D(0,1),且点E是CD的中点,所以E,所以=(4,0),=所以=12.答案:1215.80由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032
10、 000，解得AB80.故图中海洋蓝洞的口径为80.16.17.解：(1)由角的终边过点P，得sin，所以sin()sin.(2)由角的终边过点P，得cos，由sin()得cos().由()得coscos()cossin()sin，所以cos或cos.18.（1） （2）19.（）B，b；（）【分析】（1）将已知条件利用余弦的差角公式展开，再利用正弦定理将边化角，整理后得到角，再利用余弦定理，求得边即可；（2）由（1）中所求，结合正弦定理，即可求得，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.【详解】（）bsinAacos（B）bsinAa（cosBsinB），由正弦定理可得sinBsi
11、nAsinA（cosBsinB），sinA0，sinBsinAsinA（cosBsinB），可得sin（B）0，B（0，），B（，），B0，可得Ba2，c3，由余弦定理可得b（）B，a2，b由正弦定理，可得sinA，cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB20.解析(1)在ACD中,设AD=x(x0),则CD=2x.由余弦定理得7=x2+4x2-2x2xcos,理得7x2=7,所以x=1(舍负).所以AD=1,CD=2.由正弦定理得=,所以sinDAC=. (2)由已知得SABC=4SACD,所以ABACsinBAC
12、=4ADACsinCAD,化简得ABsinBAC=4ADsinCAD.所以AB2sinCADcosCAD=4ADsinCAD,于是ABcosCAD=2AD.因为sinCAD=,且CAD为锐角,所以cosCAD=.因此AB=.21.解：（1）扇形的半径为100米1百米，当Q时OB的中点时，OQ，PQO，OP1，在OPQ中，由余弦定理可得，解得PQ所以Q是OB的中点时，PQ的长约为百米；（2）在OPQ中，由正弦定理可得，所以，所以OPQ的面积为，故当，即时，OPQ的面积最大为（百米2），当时，PQOP1，故扇形AOP的面积为（百米2）m2，扇形AOB的面积为S大（百米2），所以区域BQP的面积为S2S大SS1（m2），因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，所以此时扇形区域AOB种植花卉的总成本为30+50+20（）=元22题答案
