1、习题课椭圆的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=()A.9B.10C.11D.12解析根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16,所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.答案C2.直线l的方程2x-y+2=0过椭圆左焦点F和一个顶点B,则该椭圆的离心率为()A.15B.55C.25D.255解析在直线l的方程2x-y+2=0中,令x=0,得y=2;令y=0,得x=-1
2、,直线l的方程2x-y+2=0过椭圆左焦点F和一个顶点B,椭圆左焦点F(-1,0),顶点B(0,2),c=1,b=2,a=1+4=5,该椭圆的离心率为e=ca=15=55.故选B.答案B3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为4,焦距为22.过椭圆C的上顶点B作圆x2+y2=2的两条切线,与椭圆C分别交于另外两点M,N,则BNM的面积为()A.6B.14425C.125D.152解析因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为4,焦距为22,b=2,c=2,a2=6,所以椭圆方程为x26+y24=1.如图所示,设直线BN的方程为y=kx+2,MN与y轴的交点为D,则
3、原点到直线BN的距离为d=21+k2,又因为直线BN与圆x2+y2=2相切,所以21+k2=2,解得k=1,则直线BN的方程为y=-x+2,由y=-x+2,x26+y24=1,解得x=125,y=-25,或x=0,y=2(舍去),则N125,-25,同理求得M-125,-25,所以BNM的面积为S=12MNBD=122452+25=14425,故选B.答案B4.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析因为|PQ|=|PF2|,且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF
4、1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|,故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案A5.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,F1PF2的大小为.解析a2=9,b2=2,c=a2-b2=9-2=7,|F1F2|=27.又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF2|=2.又由余弦定理得cosF1PF2=22+42-(27)2224=-12,F1PF2=120.答案21206.椭圆x2+4y2=16被直线y=12x+1截得的弦长为.解析由x2+4y2=16,y=12x+1
5、,消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.所以弦长|MN|=1+k2|x1-x2|=54(x1+x2)2-4x1x2=54(4+24)=35.答案357.在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,射线AF2交椭圆于B.若AF1B的面积为403,内角A为60,则椭圆的焦距为.解析由题意可得AF1F2为等边三角形,如图所示.即有2c=a,b=a2-c2=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2.设直线AB的方程为x=-33y+c,代入椭圆方程可得3
6、13y2+c2-233cy+4y2=12c2,化为5y2-23cy-9c2=0,解得y=3c,或y=-335c,即有AF1B的面积为122c|yA-yB|=c835c=403,可得c=5,即有椭圆的焦距为10.答案108.已知点A-12,0,B是圆F:x-122+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,求动点P的轨迹方程.解如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|AF|,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,因此a=1,c=12,b2=34.故动点P的轨迹方程为x2+y234=1,即x2+43y2=
7、1.9.已知椭圆x2b2+y2a2=1(ab0)的离心率为22,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.解(1)由题意,得ca=22,a2=2b,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=1,故椭圆的方程为x2+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程,得x2+y22=1,x-y+m=0,即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0=x1+x22=-m3,y0=x0+m=2m3,即M-m3,2m3.又因为点M在圆x2+y2=5上,所以-
8、m32+2m32=5,解得m=3.10.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点
9、P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+(34)2=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.能力提升1.椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,
10、则椭圆的方程为()A.x218+y29=1B.x29+y218=1C.x218+y29=1或x29+y218=1D.x28+y24=1或x24+y28=1解析由题意知ca=22,得a2=2b2=2c2,不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF中点Mx0-c2,y02,根据条件可得y02=x0-c2+4,kPF=y0x0+c=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=32,b=3,由此可得椭圆的方程为x218+y29=1或y218+x29=1,故选C.答案C2.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点
11、A(0,-2)和C(0,2),顶点B在椭圆y212+x28=1上,则sinA+sinCsinB的值是()A.3B.2C.23D.4解析由椭圆定义,得|BA|+|BC|=43.故sinA+sinCsinB=|BC|+|BA|AC|=434=3.答案A3.已知点A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点,P为椭圆C上一点(不与A重合),若POPA=0(O是坐标原点),则离心率e的取值范围是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上说法都不对解析设P(x,y)(xa),POPA=0(O是坐标原点),则点P在以OA为直径的圆上,x-a22+y2=a24,b2x2+a2y2=a2b2,消
12、去y整理得c2x2-a3x+a2b2=0,解得x=a,或x=ab2c2,xa,故x=ab2c2,0ab2c2a.b2c2,即a2-c222,离心率e的取值范围是22,1,故选B.答案B4.已知椭圆C的焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求OAB的面积.解(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意,得a=3,c=22,于是b=1,所以椭圆C的方程为x29+y2=1.由y=x+2,x29+y2=1,得10x2+36x+27=0.因为该一元二次方程的0,所以点A,B不重合.设A(x1,
13、y1),B(x2,y2),则x1+x2=-185,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=-185+4=25,故线段AB的中点坐标为-95,15.(2)法一:设点O到直线y=x+2的距离为d,则d=|0-0+2|2=2.又x1x2=2710,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-1852-42710=635,故SAOB=122635=365.法二:设直线y=x+2与x轴交于点M(-2,0),则SOAB=SOAM+SOBM,由(1)可知,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=25,y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-12,则S
14、OAB=122|y1|+122|y2|=|y1-y2|=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=252-4-12=365.5.(选做题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.(1)解由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=y1-1x1x+1.
15、令y=0,得点M的横坐标xM=-x1y1-1.又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=x1kx1+t-1.同理,|ON|=x2kx2+t-1.由y=kx+t,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.所以|OM|ON|=x1kx1+t-1x2kx2+t-1=x1x2k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=2t2-21+2k2k22t2-21+2k2+k(t-1)-4kt1+2k2+(t-1)2=21+t1-t.又|OM|ON|=2,所以21+t1-t=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).
