1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:x0,x+1x2,那么命题p为()A.x0,x+1x2B.x0,x+1x0,x0+1x02D.x00,x0+1x02答案C2.命题“若x0,则ln(x+1)0”的否命题是()A.若x0,则ln(x+1)0B.若x0,则ab,则在命题p的逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此假命题个数为2.答案C4.(原创题)命题“x0,x-1x0”的否定是()A.x00,00
2、,x-1x0D.x0,0x1答案B5.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若a+b=0,则a=-b,所以ab.若ab,则a+b=0不一定成立,所以“a+b=0”是“ab”的充分不必要条件.故选A.答案A6.已知命题p:函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点(2,2);命题q:若函数y=f(x-1)为偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是()A.pqB.p(q)C.pqD.pq解析函数y=loga(x-1)+1的图象可看作把y
3、=logax的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到,而y=logax的图象恒过(1,0),所以函数y=loga(x-1)+1恒过(2,1)点,所以命题p假,则p真;函数f(x-1)为偶函数,则其对称轴为x=0,而函数f(x)的图象是把y=f(x-1)向左平移了1个单位,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以命题q假,则命题q真.综上可知,四个选项只有命题p(q)为真命题.故选B.答案B7.下列说法错误的是()A.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若
4、x1,则x2-3x+20”C.若命题p:x0R,使得x02+x0+10,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-,e)B.(-,eC.(e2,+)D.e2,+)解析因为p是真命题,所以p为假命题,所以x(1,2),有ex-a0,即aex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以ae2.答案D9.已知p:x0R,mx02+10,q:xR,x2+mx+10,若pq为假命题,则实数m的取值范围为()A.m|m2B.m|m-2C.m|m-2,或m2D.m|-2m2解析由p:x0R,mx02+10,可得m0,可得=m2-40,解得-2m0,ax2+1x恒成立,则Л
5、729;p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由p:函数f(x)=(x-a)2在(-,1)上是减函数,得a1.所以p:a0,ax2+1x恒成立,得a2,所以p是q的充分不必要条件.答案A11.(原创题)已知函数f(x)=23ax2+2x-1,设命题p:aR,函数f(x)的值域不可能是(0,+);命题q:aR,使函数f(x)的单调递增区间是(-,-2.那么下列命题为真命题的是()A.pqB.p(q)C.(p)qD.(p)(q)解
6、析当a=0时,f(x)=232x-1的值域为(0,+),故命题p为假命题;要使函数f(x)的单调递增区间是(-,-2,只需y=ax2+2x-1的单调递减区间是(-,-2,这时只要满足a0,-22a=-2,解得a=12,因此命题q为真命题,故(p)q为真.答案C12.(改编题)若“x1”是“不等式2xa-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a3B.a4D.aa-x,则2x+xa,设f(x)=2x+x,该函数为增函数.由题知2x+xa成立,即f(x)a成立能得到x1,并且反之不成立.因为x1时,f(x)3,所以a3.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分
7、,共20分)13.命题“x0R,sin x0+2x02cos x0”的否定为.答案xR,sin x+2x2cos x14.已知命题p:若a,bR,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=x-3的定义域是3,+),则“pq”“pq”“p”中是真命题的为.解析依题意知p假,q真,所以“pq”,“p”是真命题.答案pq,p15.(原创题)函数f(x)=log2x,x0,-2x+a,x0有且只有一个零点的充分必要条件是.解析当x0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-,0上没有零点,即-2x+a=0
8、无解,而当x0时,01.答案a0或a116.下列四个命题:“x0R,x02-x0+10”的否定;“若x2+x-60,则x2”的否命题;在ABC中,“A30”是“sin A12”的充分不必要条件;“函数f(x)=tan(x+)为奇函数”的充要条件是“=k(kZ)”.其中真命题的序号是.解析对于,因为x2-x+1=x-122+340,所以命题“x0R,x02-x0+10”为假命题,所以命题“x0R,x02-x0+10”的否定为真命题;对于,由x2+x-6=(x+3)(x-2)0,解得x2或x-3,即命题“若x2+x-60,则x2”的逆命题为真命题,所以其否命题为真命题;对于,例如A=160,此时s
9、inA12且0A30,即必要性成立,所以在ABC中,“A30”是“sinA12”的充分不必要条件是假命题;对于,由函数f(x)=tan(x+)为奇函数可得=k或=2+k(kZ),所以该命题为假命题.故答案为.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题:(1)若-=2,则sin =cos ;(2)已知a,b,c,d为实数,若ab,cd,则a+cb+d.解(1)逆命题:若sin=cos,则-=2;否命题:若-2,则sincos;逆否命题:若sincos,则-2.(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+cb+d,则ab,cd;否
10、命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d;逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.18.(本小题满分12分)已知命题p:x0R,使得4x02+(a-2)x0+140,命题q:a2-7a+100,若命题p为假,命题q为真,求a的取值范围.解因为命题p为假,所以其否定:xR,4x2+(a-2)x+140恒成立为真,则=(a-2)2-4414=a2-4a0,所以0a4,又由命题q为真得2a5,所以a2,4).19.(本小题满分12分)已知命题:“x0(-1,1),使等式x02-x0-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M; (2)设
11、不等式(x-a)(x+a-2)0的解集为N,若xN是xM的必要条件,求a的取值范围.解(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范围为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=m-14m1时,a2-a,此时集合N=x|2-axa,则2-a94;当a1时,a2-a,此时集合N=x|ax2-a,则a-14,2-a2,解得a94,或a0),求曲线C在x轴上所截线段长度为1的充要条件,并证明.解所求的充要条件是G2-4F=1.(1)必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|=G2-4F=1,则G2-4F=1.(2)充分性:若G2-
12、4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=G2-4F=1.21.(本小题满分12分)已知p:x+1x-22,q:x2-ax+50.(1)若p为真,求x的取值范围;(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解(1)因为p为真,所以x+1x-22,所以x-5x-20,所以(x-2)(x-5)0,解得2x0恒成立,所以对任意x(2,5),ax+5x,即a2+mx恒成立.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若pq为假,pq为真,求实数m的取值范围.解(
13、1)令f(x)=log13(x+1),则f(x)在(-1,+)上为减函数,因为x0,8,所以当x=8时,f(x)min=f(8)=-2,不等式log13(x+1)m2-3m恒成立,等价于-2m2-3m,解得1m2,故命题p为真命题时,实数m的取值范围为1,2.(2)若命题q为真命题,则m2x-2x+1,对x(-,-1)上恒成立,令g(x)=2x-2x+1,因为g(x)在x(-,-1)上为单调递增函数,则g(x)g(-1)=1,故m1,即命题q为真命题时,m1.若pq为假,pq为真,则命题p与q一真一假;若p为真,q为假时,则1m2,m1,此时无解;若p为假,q为真时,则m2,m1,则m2.综上m的取值范围为(2,+).
