1、课时跟踪检测（七） 用空间向量研究距离问题1已知直线l的方向向量n(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l上，则点P(1,2,2)到直线l的距离为( )ABC D2解析：选A由已知得(1，1，1)，所以点P到直线l的距离为d.2若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是( )A BC D解析：选D分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)可以求得平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)，则d.3已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC
2、边上的高BD的长等于( )A3 B4C5 D6解析：选C因为(4，5,0)，(0,4，3)，则对应的单位向量为，所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d 5.4.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点B到直线A1C的距离为()A BC D1解析：选B过点B作BEA1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，故(1,2，3)，(0,2,0)，对应的单位向量为，所以点B到A1C的距离为 .5若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
3、Aa BaCa Da解析：选D建立空间直角坐标系如图则A(a,0,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，(0，a，a)，(a,0，a)设n(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，则得取z1，则n(1，1,1)又AD1BC1，AB1DC1，AD1AB1A，DC1BC1C1，平面AB1D1平面BDC1.平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n(1，1,1)，da. 6已知向量n(1,0，1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到直线l的距离为_.
4、解析：(2,0，1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为.答案：7在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离由已知可知AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则(2,0，2)，(0,2,0)设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即取a1，得n(1,0,1)，又(2,0,0)，所以d.答案：8.如图，在长方体ABCD
5、A1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为_解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有(1，1，1)，(0，2,1)，所以，|，所以点D1到直线GF的距离为.答案：9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离解：建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，E，F.设平面A1D1E的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0
6、，即ax0，ayz0.即令z2，得n(0,1,2)又，所求距离da.10.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1，四边形AEC1F为平行四边形(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4，3)，设F(0,0，z)因为四边形AEC1F为平行四边形，所以由得，(2,0，z)(2,0,2)，所以z2.所以F(0,0,2). 所以(2，4,2)于是|2，即BF的长为2.(2)设n1为平
7、面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1(x，y,1)，所以所以即所以得n1.又(0,0,3)，所以C到平面AEC1F的距离d.1.如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为( )A BC D解析：选C如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，(1,0,0)，所以P点到AB的距离d.2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，点E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为()A2 B C D1解析：选D以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
8、D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，)，易知AC1平面BDE.设n(x，y，z)是平面BDE的法向量则 取y1，则n(1,1，)为平面BDE的一个法向量又因为(2,0,0)所以直线AC1到平面BDE的距离d1.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AA19，BC6，N为BC的中点，则直线D1C1与平面A1B1N的距离是_. 解析：如图，建立空间直角坐标系，设CDa，则D1(0,0,9)，A1(6，0,9)，B1(6，a,9)，N(3，a,0)，所以(6，0,0)，(0，a,0)，(3，0，9)设平面A1B1N的法向量n(x，y，z)，则即取x3，则y0，z，所
9、以平面A1B1N的一个法向量为n(3,0，)所以点D1到平面A1B1N的距离为d9.又因为D1C1平面A1B1N，所以直线D1C1与平面A1B1N的距离是9.答案：94四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AA13，底面是边长为4且DAB60的菱形，ACBDO，A1C1B1D1O1，E是O1A的中点，求点E到平面O1BC的距离解： 因为OO1平面ABCD，所以OO1OA，OO1OB，又OAOB，所以建立如图所示的空间直角坐标系因为底面ABCD是边长为4，DAB60的菱形，所以OA2，OB2，则A(2，0,0)，B(0,2,0)，C(2，0,0)，O1(0,0,3)，(0,2，3
10、)，(2，0，3)设平面O1BC的法向量为n1(x，y，z)，则n1，n1，所以取z2，则x，y3，所以n1(，3,2)设点E到平面O1BC的距离为d，因为E是O1A的中点，所以，则d，所以点E到平面O1BC的距离等于.5在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD(如图)(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离解：(1)证明：由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，又因为AB平面ABD，所以CDAB.(2)以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)，所以(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，所以点M到平面ACD的距离d.
