1、奇偶性层级(一)“四基”落实练1(多选)下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是()Ay|x|By1x2Cy Dy2x24解析:选AD根据题意,依次分析选项:对于A,y|x|,是偶函数,且在区间(0,)上单调递增,符合题意;对于B,y1x2,是二次函数,在区间(0,1)上为减函数,不符合题意;对于C,y,是反比例函数,是奇函数,不符合题意;对于D,y2x24,为二次函数,是偶函数且在区间(0,)上单调递增,符合题意2若f(x)3x35xa1为奇函数,则a的值为()A0 B1C1 D2解析:选Cf(x)为R上的奇函数,f(0)0,解得a1.3设函数f(x)且f(x)为偶函数,则g(
2、2)等于()A6 B6C2 D2解析:选Ag(2)f(2)f(2)2226.4已知函数yf(x)是R上的偶函数,且f(x)在0,)上单调递减,若f(a)f(2),则a的取值范围是()A(,2 B2,)C(,22,) D2,2解析:选D由f(a)f(2)得f(|a|)f(2),|a|2,2a2.5. (多选)若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为R上的偶函数,当1x2时,下列说法正确的是()Am1 Bm2Cf(x)min2 Df(x)max6解析:选BCD根据题意,函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为R上的偶函数,则有f(x)f(x),即(m1)x2(m2)x(m
3、27m12)(m1)x2(m2)x(m27m12),必有m20,即m2,则f(x)x22,为开口向上的二次函数,当1x2时,其最小值为f(0)2,最大值为f(2)6.6已知函数f(x)ax3bx5,且f(6)8,则f(6)_.解析:令g(x)ax3bx,则f(x)g(x)5,所以g(6)f(6)53.又g(x)ax3bxg(x),所以g(x)为奇函数,所以g(6)g(6)3.所以f(6)g(6)52.答案:27若f(x)(m1)x26mx2是偶函数,则f(0),f(1),f(2)从小到大的排列是_解析:f(x)是偶函数,f(x)f(x)恒成立,即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立,
4、m0,即f(x)x22.f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在0,)上单调递减,f(2)f(1)f(0),即f(2)f(1)f(0)答案:f(2)f(1)0时,令f(x1)0,得0x12,1x3;当x0时,令f(x1)0,得2x10,1x1,又x0,1x0;当x0时,显然符合题意综上,原不等式的解集为1,01,3,故选D.法二:当x3时,f(31)0,符合题意,排除B;当x4时,f(41)f(3)0时,f(x)单调递增,则关于x的不等式f(x1)f(a)的解集为_解析:因为f(x)是定义在a1,2a上的偶函数,所以a12a0,解得a,则f(x)的定义域为.由偶函数的性质知,f(x1)f(a)
5、f(|x1|)f(a)又x0时,f(x)单调递增,所以|x1|.又x1,联立解得x或f(a)的解集为.答案:4已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x),h(x).(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性;(2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;(3)由此你能猜想出什么样的结论?解:(1)g(x)g(x),h(x)h(x),g(x)是偶函数,h(x)是奇函数(2)g(x)h(x)f(x)(3)如果一个函数的定义域关于原点对称,那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和5已知函数f(x)是奇函数,x(1,1)(1)求实数a和b的值;(2)求证:函数f(x)在(1,1)上单调递增
6、;(3)若对于任意的t(0,1),不等式f(t22t)f(k)0恒成立,求实数k的取值范围解:(1)f(x)是奇函数,x(1,1),f(0)a0,f(x),f(x)f(x)对任意的x(1,1)都成立,bxbx即b0,故ab0.(2)由(1)知f(x),设1x1x21,则f(x1)f(x2).1x1x21,0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(1,1)上单调递增(3)t(0,1),f(t22t)f(k)0恒成立,f(t22t)f(k)f(k),t22tk,t(0,1),而yt22t在(0,1)单调递减,1t22t0,k0,故k的取值范围为0,)层级(三)素养培优练1(多选)给出定义:若m1
7、时,f(x)0,且f(2)1.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(0,)上的单调性;(3)求函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值;(4)求不等式f(3x2)f(x)4的解集解:(1)函数f(x)的定义域关于原点对称令y1,则f(x)f(x)f(1),f(1)0.令xy1,则f(1)f(1)f(1),得f(1)0.令y1,则f(x)f(x)f(1)f(x),函数f(x)为偶函数(2)任取x1,x2(0,),且x11.当x1时,f(x)0,f0.而f(x2)ff(x1)ff(x1),函数f(x)在(0,)上单调递增(3)f(4)f(22)f(2)f(2),且f(2)1,f(4)2.又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4上单调递增,函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值为f(4)f(4)2.(4)f(3x2)f(x)fx(3x2),422f(4)f(4)f(16),原不等式等价于fx(3x2)f(16),又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,)上单调递增,原不等式又等价于即x(3x2)16或x(3x2)16,解得x2或x,不等式f(3x2)f(x)4的解集为.