1、奇偶性层级(一)“四基”落实练1(多选)下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是()Ay|x|By1x2Cy Dy2x24解析：选AD根据题意，依次分析选项：对于A，y|x|，是偶函数，且在区间(0，)上单调递增，符合题意；对于B，y1x2，是二次函数，在区间(0,1)上为减函数，不符合题意；对于C，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y2x24，为二次函数，是偶函数且在区间(0，)上单调递增，符合题意2若f(x)3x35xa1为奇函数，则a的值为()A0 B1C1 D2解析：选Cf(x)为R上的奇函数，f(0)0，解得a1.3设函数f(x)且f(x)为偶函数，则g(
2、2)等于()A6 B6C2 D2解析：选Ag(2)f(2)f(2)2226.4已知函数yf(x)是R上的偶函数，且f(x)在0，)上单调递减，若f(a)f(2)，则a的取值范围是()A(，2 B2，)C(，22，) D2,2解析：选D由f(a)f(2)得f(|a|)f(2)，|a|2，2a2.5. (多选)若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为R上的偶函数，当1x2时，下列说法正确的是()Am1 Bm2Cf(x)min2 Df(x)max6解析：选BCD根据题意，函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为R上的偶函数，则有f(x)f(x)，即(m1)x2(m2)x(m
3、27m12)(m1)x2(m2)x(m27m12)，必有m20，即m2，则f(x)x22，为开口向上的二次函数，当1x2时，其最小值为f(0)2，最大值为f(2)6.6已知函数f(x)ax3bx5，且f(6)8，则f(6)_.解析：令g(x)ax3bx，则f(x)g(x)5，所以g(6)f(6)53.又g(x)ax3bxg(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(6)g(6)3.所以f(6)g(6)52.答案：27若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_解析：f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，
4、m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，即f(2)f(1)f(0)答案：f(2)f(1)0时，令f(x1)0，得0x12，1x3；当x0时，令f(x1)0，得2x10，1x1，又x0，1x0；当x0时，显然符合题意综上，原不等式的解集为1,01,3，故选D.法二：当x3时，f(31)0，符合题意，排除B；当x4时，f(41)f(3)0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x1)f(a)的解集为_解析：因为f(x)是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，解得a，则f(x)的定义域为.由偶函数的性质知，f(x1)f(a)
5、f(|x1|)f(a)又x0时，f(x)单调递增，所以|x1|.又x1，联立解得x或f(a)的解集为.答案：4已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)，h(x).(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？解：(1)g(x)g(x)，h(x)h(x)，g(x)是偶函数，h(x)是奇函数(2)g(x)h(x)f(x)(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和5已知函数f(x)是奇函数，x(1,1)(1)求实数a和b的值；(2)求证：函数f(x)在(1,1)上单调递增
6、；(3)若对于任意的t(0,1)，不等式f(t22t)f(k)0恒成立，求实数k的取值范围解：(1)f(x)是奇函数，x(1,1)，f(0)a0，f(x)，f(x)f(x)对任意的x(1,1)都成立，bxbx即b0，故ab0.(2)由(1)知f(x)，设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递增(3)t(0,1)，f(t22t)f(k)0恒成立，f(t22t)f(k)f(k)，t22tk，t(0,1)，而yt22t在(0,1)单调递减，1t22t0，k0，故k的取值范围为0，)层级(三)素养培优练1(多选)给出定义：若m1
7、时，f(x)0，且f(2)1.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值；(4)求不等式f(3x2)f(x)4的解集解：(1)函数f(x)的定义域关于原点对称令y1，则f(x)f(x)f(1)，f(1)0.令xy1，则f(1)f(1)f(1)，得f(1)0.令y1，则f(x)f(x)f(1)f(x)，函数f(x)为偶函数(2)任取x1，x2(0，)，且x11.当x1时，f(x)0，f0.而f(x2)ff(x1)ff(x1)，函数f(x)在(0，)上单调递增(3)f(4)f(22)f(2)f(2)，且f(2)1，f(4)2.又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4上单调递增，函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值为f(4)f(4)2.(4)f(3x2)f(x)fx(3x2)，422f(4)f(4)f(16)，原不等式等价于fx(3x2)f(16)，又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，)上单调递增，原不等式又等价于即x(3x2)16或x(3x2)16，解得x2或x，不等式f(3x2)f(x)4的解集为.