1、知能整合提升1.理解向量概念，明晰向量间关系(1)向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示，有向线段的长度即向量的模(长度)，需注意有向线段有起点，而向量是自由移动的(2)零向量长度为 0，单位向量长度为 1，二者方向都是任意的；相等向量是长度相等且方向相同的向量；相反向量是长度相等且方向相反的向量；平行(共线)向量是方向相同或相反的向量，与长度无关2注重法则，掌握线性运算运算名称定义(法则)运算律 向量加法运算 ababba；(ab)ca(bc)；a00aa向量减法运算 ab向量数乘运算 a|a|a|.当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反.0
2、a0(a)()a；()aaa；(ab)ab平面向量的数量积 abab|a|b|cos(a0，b0,0)abba；(a)ba(b)(ab)；(ab)cacbc3.准确把握两个定理，顺利解决向量平行、分解问题(1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba.向量共线定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x，使APxAB，或对直线外任意一点 O，有OP xOA yOB(xy1)(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有
3、一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中 e1，e2 是这个平面内所有向量的一组基底由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为平面内所有向量的一组基底平面向量基本定理实现了平面任意向量的基底化表示，是平面向量坐标化表示的理论基础4重视数量积学习，加强向量运算与坐标表示的结合(1)向量运算的坐标表示：若 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：ab(a1b1，a2b2)；ab(a1b1，a2b2)；a(a1，a2)；aba1b1a2b2；aba1b1，a2b2(R)，或a1b1a2b2(b10，b20)；aba1b1a2b20；|a|aa
4、 a21a22；若 为 a 与 b 的夹角，则cos ab|a|b|a1b1a2b2a21a22 b21b22.(2)平 面 内 两 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间 的 距 离 为|AB|x2x12y2y12.5二法解决平面几何问题，强化向量意识(1)向量的运算可以解决平面几何中的平行、垂直、长度、角度等问题，关键是掌握向量中的相关公式有两种方法：一是选取基底，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；二是建立坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算(2)由于物理中的很多量都是向量，因此可以用向量解决力、位移、速度、做功等问题，关键是掌握向量的分解方法.热点考点例析 专题一向量
5、的线性运算 向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用例 1 已知 e、f 为两个不共线的向量，若四边形 ABCD 满足ABe2f，BC4ef，CD 5e3f.(1)将AD 用 e、f 表示；(2)证明四边形 ABCD 为梯形【解析】(1)AD ABBC CD(e2f)
6、(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为AD 8e2f2(4ef)2BC，即AD 2BC，所以根据数乘向量的定义，AD 与BC同方向，且AD 的长度为BC的长度的 2 倍，所以在四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，所以四边形ABCD 是梯形能力挑战 1 已知两点 A(3，4)，B(9,2)，在直线 AB 上求一点 P，使AP13AB.【解析】设点 P(x，y)，则 AP(x3，y4)，AB(12,6)，(x3，y4)13(12,6)(4,2)，即x34，y42，x1，y2，P(1，2).专题二向量的平行与垂直 两个向量 a(x1，y1)，b(x2，y2
7、)平行abx1y2x2y10；两个向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直ab0 x1x2y1y20，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系有时与三角函数、解析几何问题相联系，这时向量就作为一种处理问题的工具使用例 2 如图，AB(6,1)，BC(x，y)，CD(2，3)(1)若BCDA，求 x 与 y 之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有ACBD，求 x，y 的值及四边形 ABCD的面积【解】(1)AD ABBCCD (6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，DA AD(x4,2y)又BCDA，BC(x，y)，x(2y)y(x4)0，即 x2y0.(2)ACABBC(6,
8、1)(x，y)(x6，y1)，BD BCCD(x，y)(2，3)(x2，y3)，且ACBD，ACBD 0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.又由(1)的结论 x2y0，(62y)(2y2)(y1)(y3)0.化简，得 y22y30.y3，或 y1.当 y3 时，x6.此时有 BC(6,3)，AC(0,4)，BD(8,0)|AC|4，|BD|8.S 四边形 ABCD12|AC|BD|16；当 y1 时，x2.此时有 BC(2，1)，AC(8,0)，BD(0，4)|AC|8，|BD|4.S 四边形 ABCD12|AC|BD|16.x6，y3，或x2，y1，S 四边形 ABCD16.能力挑战 2
9、 已知 a，b，c 在同一平面内，且 a(1,2)(1)若|c|2 5，且 ca，求 c；(2)若|b|52，且(a2b)(2ab)，求 a 与 b 的夹角【解析】(1)因为 ca，所以设 ca，则 c(，2)又|c|2 5，所以 2，所以 c(2,4)或(2，4)(2)因为(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0.因为|a|5，|b|52，所以 ab52.设 a 与 b 的夹角为，cos ab|a|b|1，所以 180.专题三向量的数量积、模与夹角1.向量的长度，即向量的模，一般情况下，求向量的模主要有以下两种方法：利用公式|a|2a2 将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算
10、律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；利用公式|a|x21y21将其转化为实数运算，使问题得以解决2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2，且 ab|a|b|cosa，b，cosa，b ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22，利用上述公式可求出向量的数量积及两向量的夹角例 3 已知向量 a，b 满足|a|3，|b|2，|ab|13，求向量 ab 与 ab 的夹角 的余弦值【解析】由已知|ab|13，得(ab)213，a22abb213，又|a|3，|b|2，则(3)22ab2213，得 2ab6.(ab)2a22abb2(3)26221.|ab|1.cosabab|ab|ab|a2b2131 322213 1313.能力挑战 3 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求|ab|.解析：(1)由(2a3b)(2ab)61，得 4|a|24ab3|b|261.将|a|4，|b|3 代入上式求得 ab6，所以 cos ab|a|b|64312.又 0，所以 23.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|13.
