1、知能整合提升1.体会同角三角函数的基本关系，熟练应用技巧(1)平方关系：sin2cos21；商数关系：sincostan.正确理解“同角”的含义：只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，不拘泥于“角的形式”同角三角函数的基本关系式及其等价形式，对于使等式两边都有意义的角来说都成立，也就是说在角的自变量允许的范围内，不论角 取什么值等式都成立，所以它们都是三角恒等式(2)同角三角函数的基本关系的作用：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另两种三角函数值在应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限，进一步确定三角函数值的符号要注意公式的合理选择，尽量少使用平方关系2记忆和(差)角
2、公式，明晰公式间的关系(1)公式 C()是由向量数量积的坐标表示推导出来的，体现了向量的工具性(2)公式 C()是推导其他公式的出发点，公式 S()就是转化为C2 C2 ，利用 C()得到的和差角推导过程中，注意“以 代替”的思想(3)C()，C()的公式特点：同名相乘，符号反S()，S()的公式特点：异名相乘，符号同T()的符号规律为“分子同，分母反”(4)要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用3推导倍角公式，把握“二倍”原则(1)分别令公式 C()，S()，T()中的，即得公式 C2，S2，T2.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为 2 即可，倍角公
3、式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律(3)公式变形：升幂公式：cos22cos21，cos212sin2.降幂公式：cos21cos22，sin21cos22.4掌握角的变换，顺利解决化简、证明、求值问题应用公式时，注意分析已知角与已知角，目标角与已知角间的关系常见的角的变换有：()()，()()，2()()()()，2()()()()，2()，2()，2 2，2 2，2 2 2，22 2.其中，分析角之间的互余、互补关系，可以利用诱导公式简化运算5和(差)角公式推导辅助角，研究三角函数性质运用和(差)角的正、余弦公式，可以将形如 yasinxbcosx 的函数转化为形如 yAsi
4、n(x)或 yAcos(x)的函数，进而研究函数的周期、最值、单调性及相关图象变换等.热点考点例析 专题一三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型：(1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：()，2()()等把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论(3)给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函
5、数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是0，2，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是(0，)，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为2，2，选择求所求角的正弦值例 1 已知2x0，sinxcosx15.(1)求 sin2x 和 cosxsinx 的值；(2)求sin2x2sin2x1tanx的值【解析】(1)由 sinxcosx15，平方得 1sin2x 125，所以 sin2x2425，因为2xsinx，所以 cosxsinx 12sinxcosx75.(2)sin2x2sin2x1tanx2sinxcosx2sin2x1sinxcosx 2sinxcosxsinxcosx
6、sinxcosxsin2xcosxsinxcosxsinx 242517 24175.方法归纳 解决条件求值应学会的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某个三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小 能力挑战 1 已知 sin4 sin4 16，2，求 sin41cos2的值【解析】因为 sin4 sin4 16，所以 sin4 cos4 16，sin22 13，即 cos213.又因为 2，2(，2)，所以 sin2 1cos221
7、1322 23.所以 sin41cos22sin2cos211cos2222 2313111324 215.专题二三角函数式的化简与证明1.三角函数式的化简(1)常用方法：直接应用公式进行降次、消项；弦切互化，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等(2)化简的要求：能求出值的应求出值；使三角函数的种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数2三角恒等式的证明(1)三角恒等式的证明思路是根据等式两边的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两边化“异”为“同”(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、
8、消参法或分析法进行证明(3)解题过程中应注意：角的变化；函数名的变化；次数的变化；角的范围的变化(开方时应特别注意正、负问题)例 2 求证：1sincos1sincos1sincos1sincos 2sin.【证明】1sincos1sincossin2cos22cos22sin22cos2sin22cos22sin22 sin2cos2 sin2cos2 cos2sin2sin2cos2 sin2cos2 cos2sin2sin2cos2，所以1sincos1sincoscos2sin2，所以左边sin2cos2cos2sin2sin22cos22cos2sin2 2sin右边，所以原式得证方
9、法归纳 1三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算，从而得到一个便于观察和研究的结果，在这个过程中，要体现一个“活”字当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”2三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：角的差异；三角函数名称的差异；三角函数式结构形式上的差异，针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化能力挑战 2 化简：sin()cos12sin(2)sin【解析】原式sin()cos12sin()sin()sin()cos12sincos()cossin()sin()coscos()sin sin()cos122s
10、incos()sin()coscos()sin sin()sin.专题三三角恒等变换与三角函数的综合问题解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用例 3(2015高考重庆卷)已知函数 f(x)sin2x sinx 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在6，23 上的单调
11、性【解析】(1)f(x)sin2x sinx 3cos2x cosxsinx 32(1cos2x)12sin2x 32 cos2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.(2)当 x6，23 时，02x3，从而 当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增，当22x3，即512x23 时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在6，512 上单调递增；在512，23 上单调递减方法归纳 与三角函数性质综合的三角恒等变换问题，首先要变形解析式，化解析式便于研究图象和性质，然后把应用条件等价转化为数学式子，变为纯三角函数问题，则问题迎刃而解能力挑战 3(2016商洛高三月考)已知函数 f(x)2sinxcosx2cos2x1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合【解】(1)函数 f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin2x4，令 2k22x42k2，kZ，解得 k38 xk8，kZ，可得函数的单调增区间为k38，k8，kZ.(2)由 f(x)2sin2x4，可得当 2x42k2，kZ，即 xk8，kZ 时，函数 f(x)取得最大值为 2，此时，x 取值的集合为xxk8，kZ.
