1、专题能力训练21随机变量及其分布专题能力训练第50页一、能力突破训练1.(2019吉林长春质检三,7)若8件产品中包含6件一等品,从8件产品中任取2件,则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率为()A.37B.45C.67D.1213答案:D解析:根据题意,设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A,“一件是一等品,另一件不是一等品”为事件B,则P(A)=1-C62C82=1-1528=1328,P(AB)=C21C61C82=1228,则P(B|A)=P(AB)P(A)=1213.2.已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0p1
2、p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案:A解析:E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2).D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)0,故选A.3.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.C12103810582B.C12938958238C.C119582382D.C1193810582答案:
3、D解析:由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为38,所以P(X=12)=C11938958238.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)68.27%,P(-2+2)95.45%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,落在(3,6)内的概率为P(-2+2)-P(-+)295.45%-68.27%2=13.59%.5.(2018全国,理8)某群体
4、中的每名成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10名成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案:B解析:由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由P(X=4)P(X=6)知C104p4(1-p)6(1-p)2,p0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去).6.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)=.答案:0.5解析:由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m
5、=1,则m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13.8.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为
6、甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”,i=1,2,7.由题意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C
7、=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11或a=18.9.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,
8、A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).解:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C
9、44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1521+21021+3521+4142=2.10.(2019江西临川重点中学协作体第一次联考,19)今有9所省级示范学校参加联考,参加考试的约有5 000人,考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布,且标准差为12.(1)计算联考成绩在137分以上的人数.(2)从所有试卷中任意抽取1份,已知分数不超过123分的概率为0.8.求分数低于103分的概率.从所有试卷中任意抽取5份,由
10、于试卷数量较大,可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数,写出X的分布列,并求出数学期望E(X).参考数据:P(-x+)0.682 7,P(-2x+2)0.954 5,P(-3x+3)0.997 3.解:(1)在正态分布N(,2)中,可知=12,=113.因为137=+2,所以P(+2)=12(1-0.954 5)=0.022 75,故所求人数为0.022 755 000114.(2)P(123)=1-0.8=0.2.由题意易知XB(5,0.2),故P(X=0)=0.85=0.327 68,P(X=1)=C510.210.84=0.409 6,P(X=2)=C
11、520.220.83=0.204 8,P(X=3)=C530.230.82=0.051 2,P(X=4)=C540.240.81=0.006 4,P(X=5)=0.25=0.000 32,X012345P0.327 680.409 60.204 80.051 20.006 40.000 32E(X)=50.2=1.11.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每名参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除
12、,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C93=84,随机变量X的取值为:0,-1,1,因此P(X=0)=C83C93=23,P(X=-1)=C42C93=114,P(X=1)=1-114-23=1142.所以X的分布列为X0-11P231141142则E(X)=023+(-1)114+11142=421.二、思维提升训练12
13、.(2019湖南长沙模拟,6)已知两个游戏盘如图所示(图是半径为2和4的两个同心圆,O为圆心;图是正六边形,点P为其中心),游戏盘中各有一个玻璃小球,依次摇动两个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是()图图A.116B.18C.16D.14答案:A解析:一局游戏后,这两个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1,A2,由题意知,A1,A2相互独立,且P(A1)=14(42-22)42=316,P(A2)=13,所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=31613=116.13.在15
14、个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C74C86C1510的是()A.P(X=2)B.P(X2)C.P(X=4)D.P(X4)答案:C解析:X服从超几何分布P(X=k)=C7kC810-kC1510,故k=4.14.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这10
15、0台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=
16、19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.当n=20时
17、,E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.15.(2019河南开封三模,19)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:直径/mm58596162636465件数113561933直径/mm66676869707173件数18442121经计算,样本的平均值=65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X
18、,并根据以下不等式进行判定:P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954 5;P(-3X+3)0.997 3.判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径尺寸在(-2,+2)之外的零件认定为是“次品”.从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件,求其中次品个数Y的数学期望E(Y).解:(1)-=62.8,+=67.2,-2=60.6,+2=69.4,-3=58.4,+3=71.6,由表知,P(-0.682 7,P(-2X+2)=94100=0.940.954 5,P(-3X+3)=0.98=981000.997 3,所以该设备M的级别为丙级.(2)从设备M的生产流水线上任取一件,取到次品的概率是6100=350,依题意可知YB2,350,故E(Y)=2350=325.16.(2018全国,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.
