1、2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1理解导数的概念及导数的几何意义(重、难点)2会求导数及理解导数的实际意义(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法(难点)1通过导数几何意义的学习,培养了学生直观想象的核心素养.2通过求函数的导数的学习,提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习,培养了学生数学抽象的核心素养.1函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在x0点的瞬时变化率称为函数yf(x)在x0点的导数,通常用符号f(x0)表示,记作f(x0) .2导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数,是曲线yf(x)在点(x0,f(
2、x0)处的切线的斜率函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义1设函数yf(x)可导,则 等于()Af(1)B3f(1)Cf(1) D以上都不对A由f(x)在x1处的导数的定义知,应选A.2若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为2xy10,则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在A由切线方程可以看出其斜率是2,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数3抛物线yx24在点(2,8)处的切线方程为_4xy0因为y (2xx)2x,所以k4,故所求切线方程为4xy0.求函数在某点处的导数【例1】(1)若 k,则 等于()A2kBkCk D以
3、上都不是(2)函数y在x1处的导数是_(3)求函数f(x)2x24x在x3处的导数思路探究:根据导数的概念求解(1)A(2)(1) 2 2 2k.(2)y1,当x趋于0时,趋于,函数y在x1处的导数为.(3)解f(x)2x24x,yf(3x)f(3)2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x.2x16.当x趋于0时,16,f(3)16.1本题(2)中用到了分子有理化的技巧,主要目的是使整个式子的趋近值容易求出切忌算到时,就下结论:当x趋于0时,分子分母的值都趋于0,所以整个式子的值不确定2计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算y;(2)计算;(3)计算
4、.1若f(x)x3,f(x0)3,则x0的值是()A1B1 C1D3Cyf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3,3x3x0x(x)2,f(x0)3x3x0x(x)23x,由f(x0)3,得3x3,x01求曲线在某点处切线的方程【例2】已知曲线C:f(x)x3.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?思路探究:(1)先求切点坐标,再求f(2),最后利用导数的几何意义写出切线方程(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解解(1)将x2代入曲线C的方程得f(2)4,切点P(2,4)f(2) 42x(x)24.kf(2)
5、4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2),即4xy40.(2)由可得(x2)(x22x8)0,解得x12,x24.从而求得公共点为P(2,4)或M(4,20),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(4,20)1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f(x0);(2)写出切线方程,即yy0f(x0)(xx0)特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为,此时所求的切线平行于y轴,所以直线的切线方程为xx0.2曲线的切线与曲线的交点可能不止一个2求曲线f(x)x21在点A(1,2)处的切线方程解在曲线f(x)x21上的点A(1,2)
6、的附近取一点B,设B点的横坐标为1x,则点B的纵坐标为(1x)21,所以函数的增量y(1x)212(x)22x,所以切线AB的斜率kABx2, (x2)2,这表明曲线f(x)x21在点A(1,2)处的切线斜率k2所求切线方程为y22(x1),即2xy0.求曲线过某点的切线方程探究问题1函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系?提示区别:函数在某点处的导数是一个定值,导函数是一个函数联系:函数f(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在xx0时的函数值2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示不一定切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限位置,在其他地方可能还有一个或多个公共点3曲线f(
7、x)在点(x0,f(x0)处的切线方程与过某点(x0,y0)的曲线的切线方程有何不同?提示曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的切线,点(x0,f(x0)一定是切点,只要求出kf(x0),利用点斜式写出切线即可;而求过某点(x0,y0)的曲线f(x)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点【例3】已知曲线f(x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;(2)求满足斜率为的曲线的切线方程思路探究:(1)点A不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把A(1,0)代入求出切点坐标,进而求出切线方程(2)设出切点坐标,由该点斜率为,求出切点,进而求出切线方程解(1) .
8、设过点A(1,0)的切线的切点为P,则f(x0),即该切线的斜率为k.因为点A(1,0),P在切线上,所以,解得x0.故切线的斜率k4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y4(x1),即4xy40.(2)设斜率为的切线的切点为Q,由(1)知,kf(a),得a.所以切点坐标为或.故满足斜率为的曲线的切线方程为y(x)或y(x),即x3y20或x3y20.1求曲线过已知点的切线方程的步骤2若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,根据点斜式写出切线方程3求曲线yf(x)x21过点P(1,0)的切线方程解设切点为Q(a,a21),2ax,当x趋于0时,(2ax)趋于2a,所以所求
9、切线的斜率为2a.因此,2a,解得a1,所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)1导数与函数图象的关系在xx0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况,导数f(x0)反映函数在xx0附近的增减情况,而在xx0处的切线斜率kf(x0),所以反映在图形上它们的变化情况是一致的,如图曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表:曲线f(x)在xx0附近切线的斜率k切线的倾斜角f(x0)0上升k0锐角f(x0)0下降k0钝角f(x0)0k0零角(切线与x轴平行)2求曲线在某点的切线方程(1)若曲线yf(x)在点P(x0,y0)的切线的斜率存在,则斜率kf(x0),切线方程为yy0f(x
10、0)(xx0)(2)若曲线yf(x)在点P(x0,y0)的切线的斜率不存在,则切线方程为xx0,此时f(x0)也不存在1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()(2)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()(3)函数f(x)0没有导数()(4)直线与曲线相切,则直线与该曲线只有一个公共点()答案(1)(2)(3)(4)2如图,直线l是曲线yf(x)在x4处的切线,则f(4)()AB3C4 D5A由于kl,f(4)3.已知二次函数yf(x)的图像如图所示,则yf(x)在A,B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为:f(a)_f(b)(填“”“”或“”)f(a)与f(b)分别表示函数图像在点A,B处的切线斜率,由图像可得f(a)f(b)4已知直线y4xa和曲线yx32x23相切,求切点坐标及a的值解设直线l与曲线相切于点P(x0,y0),则 3x24x.由导数的几何意义,得kf(x0)3x4x04,解得x0或x02,切点坐标为或(2,3)当切点为时,有4a,a.当切点为(2,3)时,有342a,a5.因此切点坐标为或(2,3),a的值为或5.