1、2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1理解导数的概念及导数的几何意义(重、难点)2会求导数及理解导数的实际意义(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法(难点)1通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养.2通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.1函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在x0点的瞬时变化率称为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .2导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(
2、x0)处的切线的斜率函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义1设函数yf(x)可导，则 等于()Af(1)B3f(1)Cf(1) D以上都不对A由f(x)在x1处的导数的定义知，应选A.2若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在A由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数3抛物线yx24在点(2,8)处的切线方程为_4xy0因为y (2xx)2x，所以k4，故所求切线方程为4xy0.求函数在某点处的导数【例1】(1)若 k，则 等于()A2kBkCk D以
3、上都不是(2)函数y在x1处的导数是_(3)求函数f(x)2x24x在x3处的导数思路探究：根据导数的概念求解(1)A(2)(1) 2 2 2k.(2)y1，当x趋于0时，趋于，函数y在x1处的导数为.(3)解f(x)2x24x，yf(3x)f(3)2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x.2x16.当x趋于0时，16，f(3)16.1本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出切忌算到时，就下结论：当x趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定2计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算y；(2)计算；(3)计算
4、.1若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值是()A1B1 C1D3Cyf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，3x3x0x(x)2，f(x0)3x3x0x(x)23x，由f(x0)3，得3x3，x01求曲线在某点处切线的方程【例2】已知曲线C：f(x)x3.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？思路探究：(1)先求切点坐标，再求f(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解解(1)将x2代入曲线C的方程得f(2)4，切点P(2,4)f(2) 42x(x)24.kf(2)
5、4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)由可得(x2)(x22x8)0，解得x12，x24.从而求得公共点为P(2,4)或M(4，20)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(4，20)1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)写出切线方程，即yy0f(x0)(xx0)特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为xx0.2曲线的切线与曲线的交点可能不止一个2求曲线f(x)x21在点A(1,2)处的切线方程解在曲线f(x)x21上的点A(1,2)
6、的附近取一点B，设B点的横坐标为1x，则点B的纵坐标为(1x)21，所以函数的增量y(1x)212(x)22x，所以切线AB的斜率kABx2， (x2)2，这表明曲线f(x)x21在点A(1,2)处的切线斜率k2所求切线方程为y22(x1)，即2xy0.求曲线过某点的切线方程探究问题1函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？提示区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在xx0时的函数值2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示不一定切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点3曲线f(
7、x)在点(x0，f(x0)处的切线方程与过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？提示曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点【例3】已知曲线f(x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为的曲线的切线方程思路探究：(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程(2)设出切点坐标，由该点斜率为，求出切点，进而求出切线方程解(1) .
8、设过点A(1,0)的切线的切点为P，则f(x0)，即该切线的斜率为k.因为点A(1,0)，P在切线上，所以，解得x0.故切线的斜率k4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y4(x1)，即4xy40.(2)设斜率为的切线的切点为Q，由(1)知，kf(a)，得a.所以切点坐标为或.故满足斜率为的曲线的切线方程为y(x)或y(x)，即x3y20或x3y20.1求曲线过已知点的切线方程的步骤2若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程3求曲线yf(x)x21过点P(1,0)的切线方程解设切点为Q(a，a21)，2ax，当x趋于0时，(2ax)趋于2a，所以所求
9、切线的斜率为2a.因此，2a，解得a1，所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)1导数与函数图象的关系在xx0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f(x0)反映函数在xx0附近的增减情况，而在xx0处的切线斜率kf(x0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f(x)在xx0附近切线的斜率k切线的倾斜角f(x0)0上升k0锐角f(x0)0下降k0钝角f(x0)0k0零角(切线与x轴平行)2求曲线在某点的切线方程(1)若曲线yf(x)在点P(x0，y0)的切线的斜率存在，则斜率kf(x0)，切线方程为yy0f(x
10、0)(xx0)(2)若曲线yf(x)在点P(x0，y0)的切线的斜率不存在，则切线方程为xx0，此时f(x0)也不存在1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()(2)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()(3)函数f(x)0没有导数()(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点()答案(1)(2)(3)(4)2如图，直线l是曲线yf(x)在x4处的切线，则f(4)()AB3C4 D5A由于kl，f(4)3.已知二次函数yf(x)的图像如图所示，则yf(x)在A，B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”“”或“”)f(a)与f(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f(a)f(b)4已知直线y4xa和曲线yx32x23相切，求切点坐标及a的值解设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则 3x24x.由导数的几何意义，得kf(x0)3x4x04，解得x0或x02，切点坐标为或(2,3)当切点为时，有4a，a.当切点为(2,3)时，有342a，a5.因此切点坐标为或(2,3)，a的值为或5.