1、解几综合题1.如图, 和两点分别在射线OS、OT上移动,且,O为坐标原点,动点P满足.OAPBxy()求的值;()求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?()若直线l过点E(2,0)交()中曲线C于M、N两点,且,求l的方程.2. 如图,在平面直角坐标系中,已知动点,轴,垂足为,点与点关于轴对称, (1)求动点的轨迹的方程(2)若点的坐标为,、为上的两个动点,且满足,点到直线的距离为,求的最大值3. 已知直线过椭圆E:的右焦点,且与E相交于两点. 设(为原点),求点的轨迹方程;oyxPQF 若直线的倾斜角为,求的值.4. 在双曲线的上半支有三点A,B,C,其中B是第一象限的点,F为双曲的
2、上焦点.若线段AC的中点D在直线y=6上,且|AF|,|BF|,|CF|构成等差数列. ()求点B的坐标; ()若直线l经过点D,且在l上任取一点P(不同于D点),都存在实数,使得 证明:直线l必过定点,并求出该定点的坐标。5. 如图,椭圆两焦点F1、F2与短轴两端B1、B2正好是正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点最近距离为 (I)求椭圆的标准方程; (II)过D(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设,求的取值范围. 6. 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,其左准线与x轴相交于点N,并且满足, (1)求此椭圆的方程; (2)设A、B是这个椭圆上的两点,并且满足时
3、,求直线AB的斜率的取值范围.7. 已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)、(1,0),动点A、M、N满足(),()求点M的轨迹W的方程;()点在轨迹W上,直线PF交轨迹W于点Q,且,若,求实数的范围8. 已知点A(1,0),B(1,1)和抛物线.,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图. (I)若POM的面积为,求向量与的夹角; (II)试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.9. 设不等式组表示的平面区域为D区域D内的动点P到直线xy0和直线xy0的距离之积为1记点P的轨迹为曲线C()求
4、曲线C的方程;()过点F(2,0)的直线与曲线C交于A,B两点若以线段AB为直径的圆与y轴相切,求线段AB的长10. 如图,在中,(均为正常数),、是平面内的动点,且满足,向量与垂直。设动点的轨迹为曲线. 说明曲线是何种曲线,为什么? 设, 若成等差数列,且的面积为,试建立适当的坐标系,求曲线的方程; 在的条件下,是否存在过点的直线,FEDCMNP使与曲线交于不同的两点,且.如果存在,求出的方程;如果不存在,说明理由.11. 已知点D在定线段MN上,且|MN|3,|DN|1,一个动圆C过点D且与MN相切,分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P()建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程;()过点
5、M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B,若()( )0,且2,2,求直线l与直线MN夹角的取值范围12. 已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆的离心率是,椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4(1)求椭圆标准方程;(2)设椭圆长轴的左端点为,是椭圆上且位于第一象限的任意一点,点B在椭圆上,R为直线AB与y轴的交点,证明:13. 已知抛物线:的焦点为,定点设为抛物线上的两动点,且总存在一个实数,使得=()若,求抛物线的方程.()在()的条件下,若直线的倾斜角, 求的取值范围.14. 如图,DEx轴,垂足为D,点M满足当点E在圆上运动时, (1)求点M的轨迹方程; (2)过点F引(与两坐标轴都不平行
6、的)直线l与点M的轨迹交于A、B两点,试在y轴上求点P,使得PF是APB的角平分线.15. 如图,若F1、F2为双曲线的左、右焦点,O为坐标原点,P在双曲线左支上,M在右准线上,且四边形OMPF1为菱形. (I)若此双曲线过点,求双曲线的方程; (II)设(I)中双曲线的虚轴端点为B1、B2(B1在y轴的正半轴上),过B2作直线l与双曲线交于A、B两点,当时,求直线l的方程.16. 已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,与共线。(1) 求椭圆的离心率;(2) 设为椭圆上任意一点,且,证明为定值。17. 如图,线段AB过y轴负半轴上一点,A、B两点到y轴
7、距离的差为。()若AB所在的直线的斜率为,求以y轴为对称轴,且过A、O、B三点的抛物线的方程;()设()中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点,若直线AB的倾斜角为60,又点P在抛物线C上由A到B运动,试求PAB面积的最大值。18. 已知点H(3,0),点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足, .(1)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;(2)过定点作直线交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:;PxOyHMQ(3)在()中,是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出的方程;若不存在,请说明理由.19在直角坐标平面中,ABC的两个
8、顶点为 A(0,1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足 , = = (1)求顶点C的轨迹E的方程(2)设P、Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为(, 0) ,已知 , 且= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.20如图,已知直线与抛物线相切于点P(2, 1),且与轴交于点A,定点B的坐标为(2, 0) . (I)若动点M满足,求点M的轨迹C;(II)若过点B的直线(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求OBE与OBF面积之比的取值范围. 21. 已知椭圆的中心为原点,点是它的一个焦点,直线过点与椭圆交于两点,且当直线垂直于轴时,()求椭圆
9、的方程;()是否存在直线,使得在椭圆的右准线上可以找到一点,满足为正三角形如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由22. 设椭圆C:1的左焦点为F,左准线为l,一条直线过点F与椭圆C交于A,B两点,若直线l上存在点P,使ABP为等边三角形,求直线AB的方程23. 设O为坐标原点,A(,0),点M在定直线xp(p0)上移动,点N在线段MO的延长线上,且满足()求动点N的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?()若|AN|的最大值,求p的取值范围24. (1) 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于两点, 为坐标原点, 求证: 为定值;(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物
10、线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.25. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,点P)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足;O是以F1F2为直径的圆,一直线l: y=kx+m与O相切,并与椭圆交于不同的两点A、B. (I)求椭圆的标准方程; (II)当,且满足时,求AOB面积S的取值范围.26. 如图,已知圆O:与y轴正半轴交于点P,A(1,0),B(1,0),直线l与圆O切于点S(l不垂直于x轴),抛物线过A、B两点且以l为准线。()当点S在圆周上运动时,求证:抛物线的焦点Q始终在某一椭圆C上,并求出该 椭圆C的方程;()设M、N是()中椭
11、圆C上除短轴端点外的不同两点,且, 问:MON的面积是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。27. 长度为()的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动,点在线段上,且(为常数且)。()求点的轨迹方程;()当时,过点作两条互相垂直的直线和,和分别与曲线相交于点和(都异于点),试问:能不能是等腰三角形?若能,这样的三角形有几个;若不能,请说明理由。yxOACB28. 如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,直线x轴与点C, ,,动点到直线的距离是它到点D的距离的2倍。(I)求点的轨迹方程(II)设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于两点(与点K不重合),且满足.动点满足,
12、求直线的斜率的取值范围.RyxOQFBA29. 如图,是抛物线的焦点,是准线与轴的交点,直线经过点。(1) 直线与抛物线有唯一公共点,求的方程;(2) 直线与抛物线交于A,B两点,()记的斜率分别为,求的值;()若点在线段上,且满足,求点的轨迹方程。30. 已知为椭圆上的一个动点,直线、分别过焦点、与椭圆交于点、,当AC垂直于x轴时,恰好有 ()求该椭圆的离心率; ()当变动时,设.求证: 31. 已知,点P满足,记点P的轨迹为E。(1)求轨迹E的方程;(2)若直线过点且与轨迹E交于P、Q两点。()无论直线绕点怎样转动,在轴上总存在定点,使恒成立,求实数的值。()过P、Q作直线的垂线PA、QB
13、,垂足分别为A、B,记,求的取值范围。32. 设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (1)确定的取值范围,并求直线AB的方程; (2)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.33. 已知双曲线的中心在原点,以两条坐标轴为对称轴,离心率是,两准线间的距离大于,且双曲线上动点P到A(2,0)的最近距离为1。()求证:该双曲线的焦点不在y轴上; ()求双曲线的方程;()如果斜率为k的直线L过点M(0,3),与该双曲线交于A、B两点,若,试用l表示k2,并求当时,k的取值范围34. 如图,与抛物线x=-4y相
14、切于点A(-4,-4)的直线l分别交x 轴、y轴于点F、E,过点E作y轴的垂线l.()若以l为一条准线,中心在坐标原点的椭圆恰好过点F,求椭圆的方程;()若直线l与双曲线6x-y=8的两个交点M、N,且点A为线段MN的中点,又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点,记在x轴正方向上的投影为p,且()P=m,m,求直线PQ的斜率的取值范围.ABOPQxyF/F35. 如图,分别为椭圆和双曲线的右焦点,A、B为椭圆和双曲线的公共顶点.P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的第一象限内的点,且满足=,.求出椭圆和双曲线的离心率;(2)设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别是,.求证:.36.
15、 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,1)、F2(0,1),直线y=4是椭圆的一条准线。 ()求椭圆的方程; ()若点P在椭圆上,设,试用m表示; ()在()的条件下,求的最大值和最小值。37. 已知直线与椭圆相交于A、B两点. ()若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长; ()若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率 时,求椭圆的长轴长的最大值.解几综合题答案1.解:()由已知得 4分 ()设P点坐标为(x,y)(x0),由得 5分 消去m,n可得 ,又因 8分 P点的轨迹方程为 它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支 9分()设直线l的方
16、程为,将其代入C的方程得 即 易知(否则,直线l的斜率为,它与渐近线平行,不符合题意) 又 设,则 l与C的两个交点在轴的右侧 ,即 又由 同理可得 11分 由得 由得 由得 消去得 解之得: ,满足 13分故所求直线l存在,其方程为:或2. (I)由已知, 2分则,即 4分(II)设,如图,由可得 5分若直线轴,则,此时,则,解之得,或但是若,则直线过点,不可能有所以,此时点到直线的距离为4 7分若直线斜率存在,设直线的方程为,则则,即又, 9分 则,可得或若,则直线的方程为,此直线过点,这与矛盾,舍若,则直线的方程为,即 12分此时若,则直线的方程为,显然与矛盾,故 13分由可得, 14分
17、3. 解: 设.1 由,易得右焦点 .2当直线轴时,直线的方程是:,根据对称性可知.3当直线的斜率存在时,可设直线的方程为代入E有.5于是 消去参数得而也适上式,故R的轨迹方程是.8设椭圆另一个焦点为,在中设,则由余弦定理得.10同理,在,设,则也由余弦定理得.12于是.144. 解:(I)设B(x0,y0),A(x1,y1),C(x2,y2)双曲线的离心率为,F对应的准线方程为,由双曲线的定义得(12分)又A在双曲线的上半支,y1,|AF|,|BF|,|CF|构成等差数列,2|BF|=|AF|+|CF|,点B的坐标为.(6分) (II)在l上任取一点P(不同于D点),都存在实数,使得,在AP
18、C的角平分线上,(7分)线段AC的中点为D点,APC是等腰三角形,PD是线段AC的垂直平分线,(8分)设直线l的方程为(11分)故直线l恒过点(0,).(12分)5. 解:(I)设椭圆的标准方程为,因B1F1B2F2是正方形,所以b=c,又a2 = b2 + c2,所以,由于椭圆上的左(右)顶点到左(右)焦点的距离最近,所以,由知,椭圆的标准方程为: (II)当直线的斜率存在,设直线MN的方程为解方程组消去设,则 又因M在DN之间,所以,即,于是,将代入得,整理得 8分又 10分当直线的斜率不存在时,直线MN的方程为, 11分综上所述,的取值范围是 12分6. 解:(1)由于, 解得,从而所求
19、椭圆的方程为(4分) (2)三点共线,而点N的坐标为(2,0).设直线AB的方程为,其中k为直线AB的斜率,依条件知k0.由消去x得,即根据条件可知 解得(6分)设,则根据韦达定理,得又由 从而 消去(8分)令,则 (10分)上的减函数,从而,即, ,解得因此直线AB的斜率的取值范围是(12分)7. 解:(), MN垂直平分AF又, 点M在AE上, , , 4分 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距, 点M的轨迹W的方程为()6分()设 , 8分由点P、Q均在椭圆W上, 10分消去并整理,得,由及,解得 14分8. 解:(I)设点、M、A三点共线,(2分)(3分)设POM=,则
20、由此可得tan=1.(5分)又(6分) (II)设点、B、Q三点共线,即(10分)即(12分)由(*)式,代入上式,得由此可知直线PQ过定点E(1,4).故存在定一点E(1,4),使(14分)9. ()解:由题意可知,平面区域D如图阴影所示 设动点P(x,y),则1,即|x2y2|24分PDxy0,xy0,即x2y20x2y22(x0)即曲线C的方程为1(x0)6分()解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),以线段AB为直径的圆的圆心Q(,),以线段AB为直径的圆与y轴相切,半径r|AB|即|AB|x1x28分曲线C的方程为1(x0),F(2,0)为其焦点,相应的准线方程为x1,离心率e
21、根据双曲线的定义可得,|AB|AF|BF|(x11)(x21)(x1x2)212分由,可得,x1x2(x1x2)2由此可得x1x242线段AB的长为4214分()解法二:曲线C的方程为1(x0),F(2,0)为其焦点,相应的准线为l:x1,离心率e分别过A,B作AAl,BBl,垂足分别为A,B设AB中点Q,过Q点作QQy轴,垂足为Q由双曲线的定义可得,|AF|AA|,|BF|BB|10分|AB|AF|BF|(|AA|BB|)根据梯形中位线性质可得|AA|BB|2(|QQ|1)|AB|2(|QQ|1)12分以线段AB为直径的圆与y轴相切,|QQ|AB|把代入得|AB|2(|AB|1),解得|AB
22、|4214分()解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2)直线AB过点F(2,0),当ABx轴时,|AB|2,以线段AB为直径的圆与y轴相离,不合题意设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程x2y22得,x2k2(x2)22,即(1k2)x24k2x(4k22)0,直线与双曲线交于A,B两点,k1x1x2,x1x2|AB|9分以线段AB为直径的圆与y轴相切,圆的半径|AB|与圆心到y轴的距离(x1x2)相等即(x1x2)12分化简得k42k210,解得k21(k21不合,舍去)经检验,当k21时,直线与曲线C有两个不同的交点。|AB|x1x24214分10. 解:(1)由及知 点E的轨迹
23、是过S点且与OF垂直的直线L,且PEL 2分 又由 得:,为大于1的常数。 据双曲线定义知:曲线M是以F为焦点,L为相应准线的双曲线。 5分 (2)设L交OF于D,则由得, 以O为原点,OF所在直线为x轴建立直角坐标系, 则,L的方程为: 曲线M的方程为 .8分 由 解得: 故所求曲线M的方程为: .10分 (3)假设存在满足条件的直线m,设 m的方程为: , (斜率不存在时,直线m与曲线M不相交)代入,得: 点A是线段BC的中点 13分 而方程的判别式 当时, 不存在满足条件的直线m. 14分11. 解:()以直线MN为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系xOy1分PMPN(PEEM
24、)(PFFN)MDND2或PMPN(PEEM)(PFFN)MDND23分点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2的双曲线(不包含顶点),其轨迹方程为(y0)5分()()( )0,且2,2,6分设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x12,y1),(x22,y2)设AB:myx2,代入得,3(my2)2y230,即(3m21)y212my907分当时,y1y2,8分得,9分4,6,即46解得,m23,故tan210分当时y1y2,11分得,即2,2,2,42,0,即20即,故tan21113分由、得tan2或tan211则夹角(0,arctan,),14分tan不存在时,直线l符合条件,故时,
25、符合题意(0,arctan,)15分12解:(1)根据题设,可设椭圆标准方程为:(分)则离心率,由椭圆定义,得(分)解得, (分)所以椭圆标准方程为: (分)(2)由题意得,设,其中,点和点都在椭圆上,则有,()()(5分)由,有,即,()(分)由可知直线方程为: 把代入,得(分)所以有,可得:()(分) ()(分)由(),(),()得: ()(分)由(),()得:()(分)由(),()得:()(分)由(),()得:()(分)由(),()可证得:(分)13. 解:(1)= 、三点共线 又 当轴垂直时,由,关于轴对称得代入得 抛物线的方程是 2分当轴不垂直时,设直线的方程为 由得 4分设 则有
26、6分又 8分 此时抛物线的方程为 综上所述抛物线的方程为 也可以不用讨论,按步给分。注:若设直线方程为也可以不用讨论,按步给分(2)直线的倾斜角可设直线的方程为:其中由(1)可知得 10分 12分设 又13 当时 有最小值,当时 有最小值的取值范围是 14分14. 解:(1)设点,点,轴,,2分又点E在圆上,有,3分就是点M的轨迹方程. 5分(2)设点直线l的方程为 6分代入中得7分设则8分PF是APB的角平分线,即 即9分又 代入得10分,解得12分即所求P坐标为(0,).(2)另解:过点P作平行于x轴的直线L,记点A到直线L的距离为DA,点B到直线L的距离为DB .PF是APB的角平分线,
27、APA1=BPB1,RtAPA1RtBPB1,有,点F(0,)是的下焦点,即直线l过下焦点F,设其相应的准线,记点A到直线的距离为dA,点B到直线的距离为dB,平行直线L与之间的距 离为d,即,则椭圆的离心率,即,得,直线l与x轴不平行,即准线与直线L重合,所以点P是准线与y轴的交点,对于椭圆,准线的方程为,所以点P坐标为(0,).15. 解()四边形PF1OM是菱形,设半焦距为c,则有|OF1|=|PF1|=|PM|=c,|PF2|=|PF1|+2a=c+2a。由双曲线第二定义得 即 2分又 设双曲线方程为 4分双曲线过点N(2,),得 a2=3 所求双曲线的方程为 6分()由题意知B1(0
28、,3)、B2(0,3),设直线l的方程为则由 消去y得 7分双曲线的渐近线为 ,时,直线l与双曲线只有一个交点,即 9分又,而,即 11分直线l的方程为 12分16. 解:(1)设椭圆方程为,则直线的方程为,联立方程组消得,.设、,则又,且与共线所以得:又,所以 即 也就是,所以 ,。 故离心率(2) 证明:由(1)知,所以椭圆可化为设,则由得: 又在椭圆上,所以 即 也就是 由(1)得 , 联立、得:故为定值,定值为1. 17. () 解:依题意设所求的抛物线方程为,-1分直线AB的斜率为且过点直线AB的方程为由得 -3分设()则是方程的两个实根 , 若则, -5分若则 与矛盾-6分该抛物线
29、的方程为-7分()解法1:抛物线的焦点为()即M点坐标为()直线AB的斜率直线AB的方程为,-8分解方程组得 即点A,B-10分设点P(m,n),依题意知,且则点P到直线AB的距离当时,-13分这时。-14分解法2:抛物线的焦点为()即M点坐标为()直线AB的斜率直线AB的方程为,由得,以下同上。18解:(1)设且 2分 3分 4分动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).5分(2)解法一:(1)当直线垂直于轴时,根据抛物线的对称性,有; 6分BADFxOyHGEl当直线与轴不垂直时,依题意,可设直线的方程为,则A,B两点的坐标满足方程组消去并整理,得. 7
30、分设直线AE和BE的斜率分别为,则 9分,.综合(1)、(2)可知. 10分BADFxOyHGE解法二:依题意,设直线的方程为,则A,B两点的坐标满足方程组消去并整理,得 7分设直线AE和BE的斜率分别为,则9分,.10分(3)假设存在满足条件的直线,其方程为,AD的中点为,与AD为直径的圆相交于点F、G,FG的中点为H,则,点的坐标为.12分令,得此时,当,即时,(定值)当时,满足条件的直线存在,其方程为;当时,满足条件的直线不存在. 14分19. 20. 解:(1)设C ( x , y ), ,由知,G为 ABC的重心 , G(,) (2分)由知M是ABC的外心,M在x轴上 由知M(,0)
31、,由 得 化简整理得:(x0 ) (6分) (2)F(,0 )恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k,则直线PQ的方程为y = k ( x )由设P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1x2 = (8分) -7-则| PQ | = = = RNPQ,把k换成得 | RN | = ( 10分) S =| PQ | | RN | = =) 2 , 16 S 2=|AB|,3分由椭圆的定义,得焦点Q在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=4,2c=2,b2=3椭圆C的方程为 5分()P、M、N三点共线 6分由题意,直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=kx+2,代入
32、椭圆方程,得由 8分设,由韦达定理,得 ,原点O到直线PN的距离为 10分 13分当且仅当时,即k=时取等号。MON的面积有最大值 14分27. 解:()设、,则,由此及得,即;()当时,曲线的方程为。依题意,直线和均不可能与坐标轴平行,故不妨设直线(),直线,从而有。同理,有。若是等腰三角形,则,由此可得,即或。下面讨论方程的根的情形():若,则,方程没有实根;若,则,方程有两个相等的实根;若,则,方程有两个相异的正实根,且均不等于(因为)。综上所述,能是等腰三角形:当时,这样的三角形有且仅有一个;而当时,这样的三角形有且仅有三个。28. 解: (I)依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其
33、相应准线,离心率为的椭圆设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,又,点在x轴上,且,则3解之得:,. 坐标原点为椭圆的对称中心.动点M的轨迹方程为:. 4分(II)设,设直线的方程为,代入得. 5分,. 6分,.解得: (舍). 8分设,由知,.直线的斜率为. 10分当时,;当时,时取“=”)或时取“=”), 综上所述 14分.29. 解: 依题意,直线斜率存在,设其斜率为,则的方程为,代入抛物线方程有:2分(1)若,令得,此时,的方程为。4分若,方程有唯一解。此时方程为5分(2)显然,记,则,7分()9分()设点的坐标为, 11分 ,12分由得,又,。综上,点R的轨迹方程为。13分3
34、0. 解:()当AC垂直于x轴时, 由得所以,得, 4分 ()由()得椭圆方程为焦点坐标为 6分(1) 当AC、AB的斜率都存在时,设所在直线方程为注意到所以由消去得所以 9分类似地可得(这里用到)(2)若ABx轴(或ACx轴)时,易得或综上所述有 12分31. 解:(1)由知,点P的轨迹E是以、为焦点的双曲线右支,由,故轨迹E的方程为。3分(2)当直线的斜率存在时,设直线方程为,与双曲线方程联立消得,解得5分()数学(理科)试题答案 第5页(共8页)=。7分,故得对任意的恒成立,解得。当时,。当直线的斜率不存在时,由,及知结论也成立,综上,当时,。8分(),是双曲线的右准线9分由双曲线定义得
35、:,方法一:。10分,故,11分注意到直线的斜率不存在时,此时,综上,。12分方法二:设直线PQ的倾斜角为,由于直线PQ与双曲线右支有二个交点,过Q作,垂足为C,则,。10分由得,故。12分32. 解:(1)解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得 设的两个不同的根, 是线段AB的中点,得解得k=1,代入得,12,即的取值范围是(12,+).于是,直线AB的方程为解法2:设依题意,(2)解法1:代入椭圆方程,整理得 的两根,于是由弦长公式可得 将直线AB的方程 同理可得 假设在在12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是,由、式和勾股定理
36、可得故当时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,为半径的圆上.(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:A、B、C、D共圆ACD为直角三角形,A为直角 由式知,式左边=由和知,式右边= 式成立,即A、B、C、D四点共圆解法2:由(II)解法1及.代入椭圆方程,整理得 将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得解和式可得 不妨设计算可得,A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点,A、B、C、D四点共圆.(注:也可用勾股定理证明ACAD)33. 证明():设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,由,得c=a,a=b,双曲线的渐近线方程为y=x。若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线上任一点到点
37、A(2,0)的距离大于点A到渐近线的距离,而点A到渐近线的距离d=1,这与“双曲线上动点P到A(2,0)的最近距离为1”矛盾。所以双曲线的焦点不在y轴上。(联立双曲线方程y2-x2=a2与圆(x-2)2+y2=1无解证明,相应给分)3分解():由()知,双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为x2-y2=a2,P(x0,y0),则,|PA|2=,a1.当点P到A的距离最小时,x0a,又由得a1,所以,当x0=a时,|PA|2有最小值,即2(a-1)2+2-a2=(a-2)2=1,a=3,所以,双曲线的方程为x2-y2=98分(注:未证明为何a=3时|PA|有最小值而答案对者本问只给3分)解():
38、设直线l的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),(-x1,3-y1)=l(x2,y2-3) , x1=-lx2(x1x20) , 由消去y得,(1-k2)x2-6kx-18=0,x1+x2= , x1x2=0)令f(l)=,则令,得l=1;令,得0l1当时,,,13分34. 解:抛物线中,导数y=-,直线l的斜率为y|=2.故直线l的方程为y=2x+4.点F、E的坐标分别为F(-2,0)、E(0,4). 1分(此处也可用=0求切线斜率,再写出方程)()直线l的方程是y=4,以l为一条准线,经过点F,中心在坐标原点的椭圆方程可设为.则,其准线方程为.由,得,化简得解得a2=8.
39、椭圆方程为 ()设l与双曲线6x-y=8的两个交点为M()、N(),显然.点A为线段MN的中点,.由.而.双曲线的方程为6,即. 2分在x轴正方向上的投影为p,. 设直线PQ的方程为y=kx+4(斜率k必存在),点(x,y),Q(x,y).而.由.P、Q两点分别在双曲线的两支上,.-此时.= 4分=.又-, 故所求直线PQ的斜率的取值范围是35. 解: (I)设O为原点,则=2,=2。而=,得=,于是O、P、Q三点共线。 2分因为所以PFQF/,且 ,3分得, 5分因此椭圆的离心率为双曲线的离心率为 7分(II)设、,点P在双曲线的上,有。则.所以。 9分又由点Q在椭圆上,有。同理可得 10分O、P、Q三点共线。由、得。 12分36. ()设椭圆方程为,则由椭圆方程为 3分()因为在椭圆上,故 7分 () ,由平面几何知识,即,所以; 记,设且,则,所以上单调递减,所以当时原式取最大值,当时原式取最小值.12分37. 解:() 椭圆的方程为 2分联立消去y得: 设则 6分 ()设 ,即由消去y得 由 整理得 8分又由 得:整理得: 10分代入上式得 12分 适合条件由此得 故长轴长的最大值为 14分