1、第一讲选修44坐标系与参数方程高考导航1考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化2借助极坐标方程、参数方程考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系考点一极坐标方程及应用1直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则2几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r.(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos.(3)当圆心位于M，半径为a：2asin.3几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0.(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：c
2、osa.(3)直线过M且平行于极轴：sinb.【例1】(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解题指导(1)(2)解(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P的任意一点在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线
3、段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利(2019郑州二模)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A
4、的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.考点二参数方程及应用1圆的参数方程以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数2椭圆的参数方程椭圆1(ab0)的参数方程是其中是参数3直线的参数方程(1)经过点P0(x0，
5、y0)，倾斜角为的直线的参数方程是其中t是参数(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|PB|t1t2|.角度1：参数方程与普通方程的互化【例2】(2019合肥二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a，求曲线C与直线l的交点坐标；(2)求直线l所过定点P的坐标，并求曲线C上任一点Q与点P间距离的最大值和最小值解题指导(1)(2)解(1)曲线C的普通方程为x2y24.当a时，直线l的普通方程为y3x2
6、.联立解得或所以曲线C与直线l交点的坐标为(0，2)和.(2)当t0时，x1，y1，则直线l过定点P(1,1)故曲线C上任一点Q与点P间的距离d .由1sin1，得d，故dmax2，dmin2.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用【例3】(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的普通方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解题指导(1)(2)解(1)曲线C的普通方程为1.当cos0时，l的普通方程为ytanx2tan，当cos0时，l的普通方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程
7、，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围(3)直线参数方程为(为倾斜角，t为参数)，其中|t|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用1(2019山西太原一模)设直线l的参数方程为(t为
8、参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)解法一：由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，1)，半径为2.由直线l的参数方程(t为参数，为倾斜角)，得直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即.即直线l的斜率的取值范围为.解法二：将圆C的参数方程化成普通方程为(x1)2(
9、y1)24，将直线l的参数方程代入式，得t22(2cos5sin)t250.当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即4(2cos5sin)21000，即20sincos21cos2，两边同除以20cos2，得tan，即直线l的斜率的取值范围为.2(2019广东揭阳二模)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos2a2(aR，a为常数)，过点P(2,1)，倾斜角为30的直线l的参数方程满足x2t(t为参数)(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间)，且|PA|PB|2，求a和|
10、PA|PB|的值解(1)由2cos2a2得2(cos2sin2)a2，又xcos，ysin，得x2y2a2，曲线C的普通方程为x2y2a2.过点(2,1)，倾斜角为30的直线l的普通方程为y(x2)1，由x2t得y1t，直线l的参数方程为(t为参数)(2)将代入x2y2a2，得t22(21)t2(3a2)0，依题意知2(21)28(3a2)0，则方程的根t1、t2就是交点A、B对应的参数，t1t22(3a2)，由参数t的几何意义知|PA|PB|t1|t2|t1t2|，得|t1t2|2，点P在A、B之间，t1t20)，a2.|PA|PB|t1|t2|t1t2|，又t1t22(21)，|PA|PB
11、|42.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用1对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰2对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷【例4】(2019全国卷)直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解题指导(1)(2)解(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为
12、参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.解决极坐标与参数方程问题的关键(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数(2019河北保定一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数，0r4)，曲线C2：(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C1交于点N，与曲线C2交于O，P两点，且|PN|的最大值为2.(1)
13、将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值(2)射线与曲线C1交于点Q，与曲线C2交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值解(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为x2y2r2.所以曲线C1的极坐标方程为r(0r4)将曲线C2的参数方程化为普通方程为(x2)2(y2)28，即x2y24x4y0.所以曲线C2的极坐标方程为4cos4sin0，即4sin.因为|PN|max|PN|maxmax2，所以r2，所以C1：2.(2)S四边形MPNQSOPMSONQOPOMsinONOQsin4sin4sin224sin42.所以当时，四边形MPNQ面积的最大值为42.1(2019全国卷)如图，在
14、极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.所以M1的极坐标方程为2cos，M2的极坐标方程为2sin，M3的极坐标方程为2cos.(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos，解得；若，则2sin，解得或；若，则2cos，解得.综上，P的极坐标为或或或.2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1
15、的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A
16、到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0，经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用专题强化训练(三十一)1(2019湖南长沙联考
17、)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点分别为M，N，求C2MN的面积解(1)xcos，ysin，C1：x2的极坐标方程为cos2，C2：(x1)2(y2)21的极坐标方程为(cos1)2(sin2)21，化简，得2(2cos4sin)40.(2)把直线C3的极坐标方程(R)代入圆C2：2(2cos4sin)40，得2340，解得12，2.|MN|12|.圆C2的半径为1，|C2M|2|C2N|2|MN|2，C2MC2N.C2M
18、N的面积为|C2M|C2N|11.2(2019湖南郴州二模)已知极坐标系中，点M，曲线C的极坐标方程为2，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求直线l的普通方程与曲线C的参数方程；(2)求线段MN的中点P到直线l的距离的最小值解(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为xy60.曲线C的极坐标方程化为222sin2120，曲线C的直角坐标方程为x23y2120，即1.曲线C的参数方程为(为参数)(2)设N(2cos，2sin)(02)，点M的极坐标化成直角坐标为(4,4)，则P(cos2，s
19、in2)，点P到直线l的距离d2，当cos1时，等号成立点P到l的距离的最小值为2.3(2019湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设点M的极坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解(1)把4cos展开得2sin2cos，两边同乘，得22sin2cos，将2x2y2，cosx，siny代入，即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)将(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得t2t10，设点A，B对应的参数分别为t1，t
20、2，则t1t2，t1t21.又因为点M的直角坐标为(0,1)，则由参数t的几何意义得|MA|t1|，|MB|t2|，且t1t20，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|.4(2019云南曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数)以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆O的极坐标方程为1.直线l与圆O交于A，B两个不同的点(1)求直线l倾斜角的取值范围；(2)求线段AB中点P的轨迹的参数方程解(1)圆O：1的直角坐标方程为x2y21.当时，直线l(即y轴)与圆O有两个交点，符合题意当时，记ktan，将直线l的参数方程(其中t为参数)化为普通方程得kxy0.圆心O到直线l的距离d，若直线l与圆O交于不同的两点，则d1，即k1.当k1时，直线l倾斜角的取值范围是.综上，直线l倾斜角的取值范围是.(2)将(其中t为参数)代入x2y21中得到关于t的方程t22sint10.(*)设直线l与圆O的交点A，B对应的参数分别为tA，tB，线段AB中点对应的参数为tP，则tA，tB恰好是方程(*)的两个实数根，tPsin.所以点P的坐标(x，y)满足所以线段AB中点P的轨迹的参数方程是.
