1、专项强化练九椭圆、双曲线离心率的计算1.设F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为() A.52B.102C.152D.5答案B依题意,有|AF1|2+|AF2|2=4c2,|AF1|-|AF2|=2a,|AF1|=3|AF2|,得e=ca=102.2.如图,F1和F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.3B.5C.52D.1+3答案D连接AF1,F2
2、AB是等边三角形,AF2F1=30,易知AF1F2是直角三角形,|F1F2|=2c,|AF1|=c,|AF2|=3c,由|AF2|-|AF1|=2a得3c-c=2a,e=23-1=3+1.3. 已知F是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,以坐标原点O为圆心,以|OF|为半径的圆与该双曲线的渐近线在y轴右侧的两个交点分别记为A,B,且AFB=120,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案C设点A在第一象限,由y=bax,x2+y2=c2和x0,得x=a,y=b,即A(a,b).同理得B(a,-b).AFB=120,|AB|=3|AF|,即有2b=3(c-a)2+b2,
3、得3(c-a)2=b2=c2-a2.从而有3(c-a)=c+a,故e=ca=2.4. (2018浙江高考模拟)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是()A.3+1B.3-1C.2D.3+12答案A设F1(-c,0),F2(c,0),则M(0,3c),从而得P-c2,32c,代入双曲线方程得c24a2-3c24b2=1,即e2-3e2e2-1=4,即e4-8e2+4=0,得e2=4-230,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,位于第一象限的点P在l1上,若
4、l2PF1,l2PF2,则双曲线的离心率是()A.5B.3C.2D.2答案C依题意,直线l1的方程为y=bax,直线l2的方程为y=-bax,直线PF2的方程为y=-ba(x-c).由y=bax,y=-ba(x-c)得x=c2,y=bc2a,即点P的坐标为c2,bc2a.l2PF1,bc2ac2+c=ab,b2=3a2,即c2-a2=3a2,从而e=ca=2,故选C.6.(2018浙江镇海中学期中)已知O,F分别为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的中心和右焦点,点G,M分别在E的渐近线和右支上,FGOG,GMx轴,且|OM|=|OF|,则E的离心率为()A.52B.62C.72D
5、.2答案D不妨设点G在渐近线y=bax上,则直线GF的方程为y=-ab(x-c).由y=bax,y=-ab(x-c)得x=a2c,y=abc,即点G的坐标为a2c,abc,故可设M点的坐标为x,abc,由|OM|=|OF|得x2+a2b2c2=c2,即x2=c4-a2b2c2.把点M的坐标代入双曲线方程得c4-a2b2a2c2-a2c2=1,化简得c2=2a2,故E的离心率e=ca=2,故选D.7.已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),若直线l1:y=3(x-1)关于渐近线l:y=bax对称的直线l2与y轴垂直,则双曲线的离心率为()A.233B.2C.43D.4 答案A设渐近
6、线l:y=bax的倾斜角为.易知l1和l2相交,记它们的交点为P,设l1与x轴的交点为M,l2与y轴垂直,记l2与y轴的交点为Q.依题意有OPM=QPO=POM=,所以直线l1的倾斜角为2.又l1:y=3(x-1)的倾斜角为60,所以2=60,即=30,所以ba=tan30=33,于是e2=c2a2=1+b2a2=43,所以e=233.8.(2018浙江模拟)过点M(0,1)且斜率为1的直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两渐近线交于点A,B,且BM=2AM,则双曲线的离心率为()A.52B.103C.5D.10答案B直线l的方程为y=x+1,两渐近线的方程分别为y=bax
7、,y=-bax.其交点坐标分别为ab-a,bb-a,-aa+b,ba+b.由BM=2AM,得xB=2xA.若ab-a=-2aa+b,则a=3b,则e=ca=a2+b2a=103.若-aa+b=2ab-a,则a=-3b(舍去).故双曲线的离心率为103.9.(2018浙江模拟)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P是双曲线右支上一点,O为坐标原点.若|PF2|,|PO|,|PF1|成等比数列,则双曲线的离心率为() A.2B.3C.2D.5答案A由题意可得2PO=PF1+PF2,且F1F2=PF2-PF1,可得4PO2+F1F22=2PF22+2PF12
8、,又|PO|2=|PF2|PF1|,所以4c2=2(|PF2|2-2|PF2|PF1|+|PF1|2)=2(|PF2|-|PF1|)2=8a2,即c2=2a2,故离心率e=2.10.点F(c,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,点P为双曲线左支上一点,线段PF与圆x-c32+y2=b29相切于点Q,且PQ=2QF,则双曲线的离心率等于()A.2B.3C.5D.2答案C设双曲线的左焦点为F1(-c,0),由题意知,圆心c3,0为线段F1F且靠近F的一个三等分点.因为线段PF与圆x-c32+y2=b29相切于点Q,且PQ=2QF,所以由三角形相似得PF1PF,且|PF1|=b
9、,由双曲线的定义知|PF|=b+2a.由勾股定理得|PF|2+|PF1|2=|F1F|2,所以(b+2a)2+b2=4c2=4(a2+b2),所以ba=2,因此e=ca=5,故选C.11.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)左焦点、左顶点分别为F,C,过原点O的直线与两分支分别交于A,B(异于C点),若直线AF交BC于D点,且AD=2DF,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.4D.32答案A如图,设右焦点为F2,连接BF,AF2,BF2,易知四边形AFBF2为平行四边形,且DCF与BCF2相似,又AD=2DF,所以DFBF2=13,故CFCF2=13,即c-ac+a=13,因此e=2,
10、故选A.12.(2018浙江杭州二中期中)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F的直线l:y=3x-43与C只有一个公共点,则C的焦距为,C的离心率为.答案8;2解析由题意可知,直线l恰与双曲线的渐近线平行,故ba=3,离心率e=ca=a2+b2a2=2.在y=3x-43中,令y=0,得x=4,即c=4,焦距为8.13.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,则该双曲线的离心率为.答案75解析由双曲线的性质可知,|PF1|=2c,|PF2|=2c-2a,|QF2|=3c-3a,|F1Q|=3c-a,cosF1PF2=4c2+4(c-a)2-4c222c(2c-2a)=4c2+25(c-a)2-(3c-a)222c5(c-a),则5c2-12ac+7a2=0,即(c-a)(5c-7a)=0,ac,5c=7a,e=ca=75.14.已知双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的焦距为2c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线的距离为34c,则双曲线的离心率是 .答案233解析由题意可得直线l的方程为xa+yb=1,34c=11a2+1b2,化简得3e4-16e2+16=0,e2=43或e2=4,ab0,e22,e=233.
